離散型隨機(jī)變量地期望與方差同步

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案離散型隨機(jī)變量的期望與方差U知識(shí)回顧1.離散型隨機(jī)變量的期望公式是什么，它反映了什么？E(X) X1P1 X2P2 L XnPn，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.2 .離散型隨機(jī)變量的方差公式是什么，它反映了什么？D(X) (x E(x)2Pi (X2 E(x)2P2 L (Xn E(x)2pn離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對于期望的平均波動(dòng)的大小(離散程度)3 .二項(xiàng)分布的的期望與方差分別是什么？若離散型隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，則E(X) np , D(x) npq (q 1 p).知識(shí)講解離散型隨機(jī)變量的期望與方差

2、1 .離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X所有可能的取的值是 X1 , X2，Xn，這些值對應(yīng)的概 率是pi ,p2，pn，則E(X)X1P1X2P2 LXnPn，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.2 .離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X所有可能取的值是 Xi , X2 ,，人，這些值對應(yīng)的概率是 Pi , P2 ,2 2 2Pn，則D(X)(Xi E(X)Pi(X2E(x)P2L(XnE(x)Pn叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的

3、取值相對于期望的平均波動(dòng)的大小(離散程度)D(X)的算術(shù)平方根D(x)叫做離散型隨機(jī)變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量.3 - X 為隨機(jī)變量,a ,b為常數(shù)，則 E(aX b) aE(X) b , D(aX b) a2D(X)；4 .典型分布的期望與方差：(1 )二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中， 離散型隨機(jī)變量X的期望取值為p，在n次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為np .(2 )二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 n和p的二項(xiàng)分布，則E(X) np ,D(x) npq (q 1 p) (3)超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N , M , n的

4、超幾何分布，nM則 E(X), D(X)Nn(N n )(NM )M1).2N (N題型一選擇填空【例1】下面說法中正確的是( )A .離散型隨機(jī)變量的期望E反映了取值的概率的平均值B .離散型隨機(jī)變量的方差D反映了取值的平均水平C.離散型隨機(jī)變量的期望E)反映了取值的平均水平D.離散型隨機(jī)變量的方差D反映了取值的概率的平均值【例2】投擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為，貝U的數(shù)學(xué)期望為()A. 3B . 3.5C. 4D . 4.5【例3】已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P0.40.20.4則D(X)等于()A . 0B . 0.8C . 2D . 1【例5】樣本共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為【例4】隨機(jī)變量 的

5、分布列如下:101Pabc1其中a, b, c成等差數(shù)列，若E 3.則D的值是a ,o, 3，3若該樣本的均值為1,則樣本方差為A.B. 6C. 2D.2【例6】某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下78910Px00y.1.3已知 的期望E 8.9，則y的值為題型二、綜合題【例7】 編號(hào)3 ,2, 3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為 1, 2 , 3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座 位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是 x .求隨機(jī)變量X的概率分布；求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.文檔【例8】 學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有 3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有 1個(gè) 白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相

6、同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（I）求在1次游戲中，（i）摸出3個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率；（H）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù) X的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（X） 【來源】（2011天津理）【例9】 某校組織“上海世博會(huì)”知識(shí)競賽已知學(xué)生答對第一題的概率是0. 6，答對第二題的概率是0 5，并且他們回答問題相互之間沒有影響.（I）求一名學(xué)生至少答對第一、二兩題中一題的概率；（n）記 為三名學(xué)生中至少答對第一、二兩題中一題的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E 【來源】（2011年豐臺(tái)區(qū)期末理）【例10】甲、乙、丙三人參加了一家公司

7、的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格 就簽約乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)每人面試合格的 概率都是1，且面試是否合格互不影響求簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.2【例11】某項(xiàng)考試按科目 A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目 A成績合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績合格的概率均為 2，科目B每次考試成績合格的概率均為 1 假3 2設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.在這項(xiàng)考試過程中， 假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E 【來源】（2008福

8、建）【例12】某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為12345P0.40.20.20.10.1250 元;商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為分4期或5期付款，其利潤為300元.表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(1) 求事件A :“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率 P(A);(2) 求的分布列及期望E .【例13】在某次測試中，甲、乙、丙三人能達(dá)標(biāo)的概率分別為o.4 , 0.5 , 0.8，在測試過程中，甲、乙、丙能否達(dá)標(biāo)彼此間不受影響.(1) 求甲、乙、丙三人均達(dá)標(biāo)的概率；(2) 求甲、乙、丙三人中至少一人達(dá)

9、標(biāo)的概率；(3) 設(shè)X表示測試結(jié)束后達(dá)標(biāo)人數(shù)與沒達(dá)標(biāo)人數(shù)之差的絕對值，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望EX .【例14】某商場舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金 10元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金 50元.現(xiàn) 有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令x表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額求：(1) X的概率分布；(2) X的期望.【例15】A, B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A A? , A , B隊(duì)隊(duì)員是B , B , B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：A隊(duì)隊(duì)員勝的A隊(duì)

10、隊(duì)員負(fù)的對陣隊(duì)員概率概率Ai 對 Bi213323A2 對 B25523A對B355現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后總分分別為求，的期望.【例16】下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天空氣質(zhì)量指數(shù)（n）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（川）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）【來源】（2013北京高考）實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【例17】甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得

11、比賽的勝利 比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊(duì)獲勝1 2的概率是一外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是一,假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立2 3(I )分別求甲隊(duì)以3:0,3:1,3:2勝利的概率；(H )若比賽結(jié)果為3:0或3:1,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分、 對方得1分求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望【來源】(2013山東卷理)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案隨堂練習(xí)【練1】 某班有甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下:現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名同學(xué)進(jìn)行學(xué)業(yè)檢測.(I)求從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率；(n)記X為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)

12、，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【來源】(2013西城一模理)文檔【練2】某班聯(lián)歡會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，現(xiàn)有六張分別標(biāo)有1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6六個(gè)數(shù)字的形狀相同的卡片，其中標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎(jiǎng)卡片，且獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)與卡片上所標(biāo)數(shù)字相同，游戲規(guī)則如下:每人每次不放回抽取一張，抽取兩次(I)求所得獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)達(dá)到最大時(shí)的概率；(H)記獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望C.3,5實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【來源】（2013東城一模理）文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【練3】 在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)II類志向的考生全部參加了 “數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績分為A,B,C,D,E五個(gè)等

13、級.某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.(I)求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；(H)若等級 A , B, C, D , E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.(i)求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；(ii)若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學(xué)期望文檔【來源】(2013海淀一模理)【練4】一個(gè)盒子中裝有5張卡片，每張卡片上寫有一個(gè)數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4、5，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片(I)從盒子中依次抽取兩次卡片，每次抽取

14、一張，取出的卡片不放回，求兩次取到的卡片的數(shù)字都為 奇數(shù)或偶數(shù)的概率;(n)若從盒子中有放回的抽取(川)從盒子中依次抽取卡片,3次卡片，每次抽取一張，求恰有兩次取到卡片的數(shù)字為奇數(shù)的概率;每次抽取一張，取出的卡片不放回，當(dāng)取到記有奇數(shù)的卡片即停止抽取,否則繼續(xù)抽取卡片，求抽取次數(shù)B. I AUBX的分布列和期望C. I BU e,AD. I AU eiB【來源】(2011昌平二模理16 )課后作業(yè)【題1】 同時(shí)拋擲兩枚相同的均勻硬幣，隨機(jī)變量1表示結(jié)果中有正面向上，0表示結(jié)果中沒有正面向上，貝y e ， d 【題2】 已知離散型隨機(jī)變量 X的分布如下表.若 e x o , d x 1,則a =，b =X1012Pabc112【題3】在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃比賽中，兩人一對一比賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，否則由對方接替投籃.現(xiàn)由甲、乙兩人進(jìn)行一對一投籃比賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是1 , 1 兩人共投籃3次，且第一次由甲開始投籃.假設(shè)每人每次投籃3 2命中與否均互不影響.(1)