雪花曲線教學(xué)課例.

1、“雪 花 曲 線”教 學(xué) 課 例嘉定教師進(jìn)修學(xué)院 張桂明2003年 12月25日一、教材背景分析“雪花曲線”是高中數(shù)學(xué)（試驗本）第七章中的拓展內(nèi)容教材中介紹了 “雪花曲線” 的作法（生成過程），提出并解決了四個問題由于學(xué)生對雪花有 一定的感性認(rèn)識， 因而對用數(shù)列知識研究解決 “雪花曲線”的問題很感興趣 新 教材把“雪花曲線”編入拓展內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題 的能力通過對雪花曲線的探索與研究， 還可以了解一些分形幾何的初步知識在一期課改的教材中沒有“雪花曲線”這一內(nèi)容，但我感到，學(xué)生在學(xué)完 數(shù)列與極限的知識后，已經(jīng)具備了探究“雪花曲線”的能力結(jié)合嘉定教師進(jìn) 修學(xué)院“研、訓(xùn)、教”

2、一體化的“大師訓(xùn)”教研模式，我選擇了“雪花曲線” 這一教學(xué)內(nèi)容，在嘉定一中高三（ 5）班上了一堂“下海課” ，一方面是探索在 數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)一步滲透研究性學(xué)習(xí)，另一方面是請各基層學(xué)校教師一起進(jìn)行新 教材的教學(xué)研討二、教學(xué)目標(biāo)1進(jìn)一步鞏固數(shù)列與極限的有關(guān)知識2培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力3通過對“雪花曲線” 的探索與研究，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的科學(xué)態(tài)度 及合作交流的學(xué)習(xí)能力三、設(shè)計思路數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的場景，學(xué)生要成為學(xué)習(xí)的主人，成 為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者” ，教學(xué)過程應(yīng)該是學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能 力、體驗數(shù)學(xué)的過程為此，我作了如下的教學(xué)設(shè)計：1創(chuàng)設(shè)情境：學(xué)生熟悉的雪

3、花 從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 對雪花我們可 以研究什么問題?。?啟發(fā)學(xué)生提出問題通過觀察“雪花曲線”的形狀，發(fā)現(xiàn)它是一個和我 們平時研究的多邊形不同的平面多邊形，引導(dǎo)他們從邊數(shù)、邊長、周長、面積 等方面提出問題3要求學(xué)生通過自主探索與合作交流， 用學(xué)過的數(shù)列知識來解決自己所提 出的問題，并反思總結(jié)解決問題過程中所用到的知識和方法4引導(dǎo)學(xué)生對“雪花曲線” 進(jìn)行進(jìn)一步的探究，從而培養(yǎng)學(xué)生對問題進(jìn)行 深入研究的良好思維習(xí)慣四、教學(xué)實施過程（一）問題引入問：前一段時間我們在復(fù)習(xí)什么內(nèi)容？那么今天我們研究什么問題呢？請同學(xué)們觀察大屏幕，看一看屏幕上的圖 形象什么？（大屏幕顯示“雪花曲線”的圖形）從而引出

4、課題：“雪花曲線”雪花曲線其實是一個平面圖形，由瑞典數(shù)學(xué)家科赫首先指出其作法，所以 我們又稱它為科赫雪花曲線 雪花曲線有著非常奇異的特性， 通過我們的研究， 等一會兒我們就可以發(fā)現(xiàn)它的奇異特性圖4我們先來看一看，雪花曲線的作圖方法：（ 1）將一個正三角形（圖 1）的每邊三等分，并以中間的那條線段為一底 邊向形外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖 2；（2）將圖 2 的每條邊三等分，重復(fù)上述作圖方法，得到圖 3；（3）再按上述方法繼續(xù)作下去，就得到圖 4 所示的圖形 重復(fù)以上步驟，我們可以無限地作下去（屏幕顯示迭代過程）（二）問題研究1觀察“雪花曲線”，它有什么特點？ （由學(xué)生通過觀察，歸納“雪花

5、曲線”的形狀特點）2對“雪花曲線”，你認(rèn)為可以從哪些方面進(jìn)行研究， 具體研究什么問題？ （通過學(xué)生的獨立思考與討論交流， 總結(jié)出“雪花曲線” 的四個基本問題）為了交流研究結(jié)果的方便， 我們統(tǒng)一數(shù)據(jù)設(shè)原三角形（圖 1）的邊長為 1，把圖 1，圖 2，圖 3，圖 4 中的圖形依次記為 M1，M2，M3，Mn，求：（1）Mn中的邊數(shù) Nn；（2）Mn中每條邊的長度 Tn；（3）Mn的周長 Ln；（4）Mn所圍成的面積 An3問題的解決以下過程由學(xué)生獨立探究并開展討論，師生合作共同解決問題）所以，Tn 1 *3Tn 1 (n 2)T1 1Tn(13)n11）因為每個圖形中的一條線段在后一個圖形中變成四

6、條線段，所以，Nn 4Nn 1 (n 2)Nn 3 4n1N1 3 n3)因為 Ln Nn Tn，所以 Ln 3 (3)4) A131M 2 是在 M 1 的每條邊上生成一個邊長為 T2 13 的小正三角形， 3于是， A2 A1 3 3T224一般地，1M n 是在 Mn 1的每條邊上生成一個邊長為 Tn （13）n 1 的小正三角33形，所以， An An 1 N n 1 3 Tn24得 An A1 3434A2 A1 ( ) ( ) A14924 4 2 4 n19 9 9A1 A1 35A1A12 3 3 3 4 n15 20 9即 An An 1 Nn 1 Tn A1所以An An

7、1 3 4n 2 (1)n 1 A19即An An 1 (3) (4)n 1 A149用累加法3 4 n 2An 1 An 2 ( ) ( )A1493 4 n 3An 2 An 3 ( ) ( )A1494反思：剛才我們在解決“雪花曲線”的四個基本問題的過程中，用到了數(shù)列中的哪些知識和方法？通過學(xué)生討論，總結(jié)出解題過程中用到的數(shù)列知識與方法）（三）“雪花曲線”的進(jìn)一步研究剛才我們運用數(shù)列的基礎(chǔ)知識和數(shù)列求和的方法解決了雪花曲線的四個基 本問題但是我們好象并沒有發(fā)現(xiàn)它有什么奇異的特性請同學(xué)們思考，對雪 花曲線，我們還有沒有可以進(jìn)一步研究的問題？通過學(xué)生的獨立思考與合作討論發(fā)現(xiàn)，如果從極限的角度

8、考察四個結(jié)果， 我們還可以得出如下結(jié)論：23lnim N n與lnim Ln不存在，而 lnim Tn 0 ， lnim An 253問：這些結(jié)論說明了什么問題？通過討論，得出： 當(dāng)“雪花曲線”的迭代次數(shù)趨向于無窮大時，其邊數(shù)、周長都趨向于無窮 大，而它的邊長趨向于零，它的面積趨向于一個常數(shù)于是我們得出這樣一個 結(jié)論：“雪花曲線”的周長為無窮大，而它所圍成的面積是有限的教師介紹“分形圖”的初步概念，并通過網(wǎng)絡(luò)欣賞一些精美的分形圖（四）練習(xí)反饋謝氏三角的初步研究波蘭數(shù)學(xué)家謝賓斯基給出了如下的一系列三角形：每一步，取一個大的正三角形（記為 P1），連結(jié)各邊的中點，得到 4 個完全相同的小正三角形，

9、挖掉中間的一個；第二步，將剩下的三個小三角形（記為 P2）按上述方法各自取中點，各自分出 4 個小正三角形，各去掉中間的一個小正三角形，得到P3；依次類推，不斷劃分出小的正三角形，同時去掉中間的一個小正三角形，如此可無限進(jìn)行下去觀察如下謝氏三角，求圖形 Pn 中：（1）陰影三角形的個數(shù) Tn ；2）陰影三角形的總邊數(shù) bn ；（ 3）陰影三角形的周長之和 Ln ；（4）陰影三角形的面積之和 Sn 學(xué)生獨立思考，合作討論后完成下表的填寫P1P2P3Pn謝氏角個 數(shù)T1 1T2 3T1T3 3T2Tn 3Tn1Tn3n 1邊 數(shù)b1 3b2 3b1b3 3b2bn 3bn 1bn 3n邊 長a1

10、11 a2 a121a3 a23 2 21 1 n 1 an 2an 1an (2)n 1周 長L1 3L2 a2b2L3 a3b3Ln anbn Ln 3 (3)n 12面 積S13432S2 a2T2432S3a3T343 2 3 3 n 1Snan2TnSn( )n 14 4 4（五）小結(jié)請同學(xué)們思考并總結(jié)一下，今天這一堂課，我們學(xué)到了些什么，對我們有 什么啟發(fā)？（師生討論完成本堂課的小結(jié)）（六）布置作業(yè)（課后探索問題） 1如圖，圖形 C1是一條長度為 1的線段，將 C1三等分，并去掉中間一段， 得到兩條線段組成的圖形 C2，再將 C2 中的兩條線段各自三等分并去掉中間的線段組成圖形 C

11、3，記圖形 Cn中的線段的長度為 cn ，求：1） cn 的通項公式；（ 2） c1 c2cn C1C2C3112下面三幅圖中，設(shè)三種大小不同的正方形的邊長依次為1，31， 91，根據(jù)這三幅圖的規(guī)律，試寫出第 n 幅圖中著色正方形的個數(shù)及面積的表達(dá)式3從極限的角度對上面兩個問題進(jìn)行進(jìn)一步的研究，并對你的結(jié)論加以說明五、教學(xué)反思數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與應(yīng)用應(yīng)十分重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程本節(jié)課從學(xué)生熟悉的 雪花入手，從發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的需要出發(fā)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對“雪花曲線” 進(jìn)行觀察分析，提出問題并通過自主探索、合作討論來解決問題學(xué)生經(jīng)歷 了提出問題、分析問題、解決問題的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生真正成了課堂學(xué)習(xí)的主 人

12、，親身感受到發(fā)現(xiàn)問題與解決問題，從而獲取知識的樂趣，也體會到了數(shù)學(xué) 來自于現(xiàn)實世界，又能廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)和生活實踐本節(jié)課所要解決的幾個問題有很好的層次性，在有關(guān)“雪花曲線”的四個 問題中，前面三個問題的難度都不大， 學(xué)生通過獨立思考， 完全能夠自己解決 而 第四個問題，涉及到數(shù)列求和的方法，有一定的能力要求嘉定一中是市重點 中學(xué)，在日常的教學(xué)中，教師已經(jīng)滲透了研究性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生在探索 新知識方面有一定的探究能力，從實際的教學(xué)過程來看，學(xué)生通過自己的思考 及討論交流，對這一問題也能很好地解決，教師只是在學(xué)生思考與討論過程中 對部分學(xué)生進(jìn)行了個別的點撥與啟發(fā)因為學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)過數(shù)列極限的知識， 因而，當(dāng)教師提出對“雪花曲線”能否進(jìn)行進(jìn)一步的研究時，學(xué)生馬上提出可 以從求極限的