淺談如何提高學生的數(shù)學解題能力.doc

1、淺談如何提高學生的數(shù)學解題能力寧波市第二技師學院 數(shù)學組 聶德升美國著名數(shù)學家G"波利亞說過“問題是數(shù)學的心臟",“掌握數(shù)學意味著什么？那就是善于解題。”但數(shù)學問題千變?nèi)f化,無窮無盡,“題海"茫茫。要使學生身臨題海而得心應手，身居考室而處之泰然，就必須培養(yǎng)他們的解題應變能力。有了較強的應變能力，在漫游“題?！睍r,才能隨機應變。教師在教學中如何更好地引導學生解答數(shù)學問題，不斷提高學生的數(shù)學解題能力是一件不容易的事，它是一項長期性的工作。解決數(shù)學問題是數(shù)學的核心，學數(shù)學就意味著解題。顯然,解題能力標志著一個人的數(shù)學水平.那么做為數(shù)學教師，能否培養(yǎng)并提高學生的解題能力,

2、不僅直接關(guān)系到學生學習數(shù)學成功與否,而且也是該教師數(shù)學教學業(yè)務水平高低的重要標尺之一，尤其是以問題的解決為重心的職業(yè)高中里的專業(yè)應用數(shù)學教學。教給方法，培養(yǎng)能力，是什么原因造成了學生“解題技能”和“解題智能”發(fā)展不均衡?這恐怕要涉及“教”、“學”、“思”三方面的原因。任教以來,在培養(yǎng)和提高學生解題能力方面,我進行了一些初步的探索。那就是古人所謂的“授之以漁"。 那么如何培養(yǎng)學生的解題應變能力呢？我在這方面做過一點嘗試，在此淺談，以其引玉。 一、就“教”而言 我認為提高學生的數(shù)學解題能力,教師應重視如下幾個方面 w。21cn1、在平時的課堂教學中重視對學生的數(shù)學基礎知識的掌握和基本技能

3、的訓練.對教學大綱中要求掌握的基礎知識，基本技能,不能粗枝大葉，蜻蜓點水。因為，數(shù)學中的許多問題都是基礎知識的綜合，數(shù)學中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理是進行推理、判斷、演算、解題的依據(jù)，因此，對數(shù)學中的基本概念、性質(zhì)、公式、定理等，教師在教學時要注意它們的形成過程和推理依據(jù),并引導學生注意知識之間的銜接,讓學生隨著學習的深入，對它們的認識和理解不斷深化。例如：在教學絕對值的概念時,要重點分析“當0時,;當0時， "的深刻含義，并在學生理解絕對值概念之后，可以給出以下習題加以鞏固。1、如果2，則_2、如果2，則_3、化簡：_;_4、已知+0，求_5、有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如下圖,試比較

4、大?。海?）與；(2）與。 10 1通過這些習題的訓練，讓學生對絕對值的概念有了更深刻的認識和理解。另外，在基本技能的訓練中,學生運算能力的提高也是十分關(guān)鍵。因為運算是解題的根本，只有運算準確,才能使綜合訓練得以順利進行，但是，許多學生的運算能力比較差是一直存在的老問題。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是多方面的，其中最重要的是許多學生在解題時往往是動腦不動手，動嘴不動筆，往往容易造成計算的錯誤。因此，只有讓學生在思想上真正認識到提高運算能力的重要性，并在平時解題過程中克服粗心的毛病,才能逐漸提高學生的運算能力。解題教學的本質(zhì)是“思維過程"，受年齡等因素的限制，學生思維發(fā)展有其特定的規(guī)律，這需要解

5、題教學遵循學生認知特點,設置最近發(fā)展區(qū)，進行有針對性的訓練.2、在平時的教學練中讓學生熟練地掌握基本的數(shù)學思維方法和常用的數(shù)學方法。數(shù)學中的思維方法是在整體上指導我們分析和理解數(shù)學問題的一般原則，巧妙地運用數(shù)學方法是我們解答數(shù)學題的有效途徑。作為教師在平時的教學中，一方面要善于引導學生一些基本的思維方法，另一方面又要重視指導學生學習數(shù)學的方法與掌握聯(lián)想、類比、猜想、歸納等研究問題的方法。解答綜合題的基本方法是分析綜合,這種思維方法就是：由“已知”猜想“可知”,由“未知”猜想“需知”。若能夠?qū)ⅰ翱芍?quot;與“需知”聯(lián)系起來，解題的途徑就會水到渠成。com mp在平時的課堂教學中，我非常重視

6、例題的典范作用.因為現(xiàn)在學生的解題仍較依賴例題的解題模式、思路和步驟，從而實現(xiàn)解題的類化.記得在梯形這部分內(nèi)容的一節(jié)復習課中，我只講了一道例題:                                      

7、      2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng)： mp； 21世紀教育網(wǎng)：http：/ mp;s如圖,梯形ABCD中，ABCD，                        2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng):http：/ mp； 21世紀教育網(wǎng):以AD、AC為邊作平行四邊形ACED，  

8、;        D C 2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng)： mp；& 2育E 網(wǎng)：http:/www。21cnjy。co延長DC交EB于F，求證:EF=FB。A                 B 2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng): mp;& 21世紀教育網(wǎng):http：/通過

9、分析、討論，進行一題多解,總共概括了8種解法，這8種證明方法將梯形問題中重要輔助線添法、中位線的知識等都囊括其中。 2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng)：http：/ mp;& 21世紀教育網(wǎng)：http：/ mp；s可見，一道好例題的教學，對學生思維品質(zhì)和解題能力的提高有著積極的促進作用。 2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng):http：/ mp； 21世紀教育網(wǎng): mp；s而且在講解例題的過程中,我也堅持不懈地對學生進行數(shù)學思想的培養(yǎng)，并注意與實際聯(lián)系，收到了較好的效果.比如像函數(shù)部分有這么一道題:已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經(jīng)過點（3，0），則

10、a+b+c的值(   ）A、等于0          B、等于1            C、等于1           D、不能確定此題若從數(shù)上考慮，可得=2，9a+3b+c=0, 用含a的代數(shù)式表示b、c后,代入求解。但若利用函數(shù)圖象,非常容易發(fā)現(xiàn)（3，0）關(guān)于對稱x軸x=2的

11、對稱點為（1，0)，代入函數(shù)解析式,  即得a+b+c=0。                                            &

12、#160; 1       3可見，數(shù)形結(jié)合思想是一種重要數(shù)學思想，不僅達到事半功倍的效果,還可激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學中最重要的方法之一,人們一般把代數(shù)稱為“數(shù)”,把幾何稱為“形”。數(shù)與形看上去是兩個相互對立的概念，其實它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。代數(shù)方法容易操作,若不配以“形",許多問題過于抽象，理解困難;幾何圖形比較直觀，但證明幾何問題常需添加輔助線，又使人感到難以捉摸，這就要借助“數(shù)”的方法去揭示其內(nèi)在規(guī)律。數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，反過來圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題，而數(shù)形結(jié)合就是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的有

13、效途徑。例如：在學習“不等式”這一章時,特別要注意介紹“數(shù)形結(jié)合”的思想方法；在學習“函數(shù)及其圖像”時又要善于從圖像運動的變換這一特性去尋找規(guī)律。解題中的數(shù)學思維源于對基礎知識的深刻理解，所以習題的訓練要回歸課本中所涉及的基礎知識?？荚囶}往往涉及多個知識點，所以提高學生的數(shù)學解題能力應加強綜合能力的培養(yǎng).考試題對考生的能力要求，尤其對思維能力的要求越來越高,因此在平時的試題訓練中，應有意識地培養(yǎng)學生從不同層次、不同角度、不同方向?qū)栴}進行分析，以活躍思維。提高學生的數(shù)學解題能力是一項重要而艱巨的任務,但不能急于求成，了不能盲目地搞題海戰(zhàn)術(shù),習題的訓練要有針對性，講求質(zhì)量,講求效益。在平時的數(shù)學

14、教學中，我們教師應多引導學生進行思考，逐步使學生的思維能力由單向性發(fā)展為多向性。讓學生在解題過程中獲得樂趣，產(chǎn)生靈感、悟出解題的正確思路和方法?，F(xiàn)實生活中，我們在解決問題時,常說的一句話：多動腦筋，用較少的錢做更多的事,不正是這個思想的真實寫照嗎?當然,在分析、講題的過程中，我也不忘暴露自己在解題過程中的思維過程?！盀槭裁匆@樣做”、”怎么想到的？"， 這些問題是學生最感困難的。所以我就盡可能地將自身或者前人是如何看待問題、又是如何找出解決問題的辦法這一思維進程展示給學生，幫助他們認識和理解知識發(fā)生和發(fā)展的必然的因果關(guān)系，從中領悟到分析、思考和解決問題的思想方法和步驟,而且在適當時機

15、，我也會展示自己思維受阻、失敗的探索過程，分析其原因，從反面襯托正確思路的必要性與合理性，給學生以啟示。3、在平時的教學中，注重讓學生對解題后的“反思”，以提高學生的數(shù)學解題能力。 提高學生的數(shù)學解題能力，受諸多條件和因素的影響.長期的學習經(jīng)驗表明，不少的同學在完成作業(yè)或進行解題訓練的過程中，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環(huán)節(jié)，就是解題后的“反思".一道數(shù)學題經(jīng)過反復思考，苦思冥想解出答案之后，就心滿意足了,而不再去思考、探索：這道題考查了我們哪些方面的概念、知識和能力？解答的每一步推理是否合理？這道題有沒有其他的解法？多種方法中哪一種比較簡單一點？把這道題的條件或結(jié)論進一步推廣又會

16、如何?等等.為了幫助學生養(yǎng)成解題后的“反思”這種良好的學習習慣，提高解題技巧，在教學時，可選擇一些多種解題的習題，給學生訓練。例如：已知：如圖,AB切O于點C.求證：CBDABD。這道題可以引導學生添加輔助線，有四種證法，如圖（證明過程從略)ADCOCDAEOE（2）(1)BBEECADDCOAOBB（4）（3）證法一：如圖（1），延長AO交O于點E，并連結(jié)EB，則ABDDEB，DBE.證法二:如圖（2)，過D作O的切線DE交AB于E，則DEAO，ABDBDE.證法三：如圖（3）,延長BC交O于點E，并連結(jié)ED,則ABDDEB，又由垂徑定理可得CBDDEB。證法四：如圖（4）,連結(jié)BO并延長B

17、O交O于點E，連結(jié)DE，則ABDDEBEDO,EDB。二、就“學”而言 2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng)： mp; 21世紀教育網(wǎng)： mp；s學生提高解題能力的兩條主渠道：一是聽課學習、二是解題實踐 學生在聽課的過程中，確有一部分同學重“結(jié)論”勝于“過程”，重“程序”勝于“意義”，對老師精心設計的“知識生長過程”、“結(jié)論發(fā)生過程”袖手旁觀，絲毫沒有投身其間、勇于探索的熱情,眼巴巴地等待“結(jié)論”的出現(xiàn)、“程序”的發(fā)生，久而久之,勢必造成數(shù)學思維的程序化，喪失鉆研問題與解決問題的思維銳氣，最后只有對見過的題型可以“照貓畫

18、虎”，對不熟悉的題型則一籌莫展，消極地等待“外援"。在解題時，學生多數(shù)為完成作業(yè)而“疲于奔命”，缺乏解題前的深刻理解題意和解題后的檢驗回顧，這種急功近利式的解題方式，造成了數(shù)學作業(yè)量雖大但效益低下。更有甚者,有的學生迫于教師必收作業(yè)的壓力，盲目抄襲、對答案，老師改后也不改錯,形成數(shù)學作業(yè)“一多”、“二假”、“三無效”(學生解題和老師批閱均為無效勞動)。針對學生在學習的過程中存在的問題，老師可以在平時的教學中從以下幾方面加強對學生的訓練:1、培養(yǎng)學生善于進行總結(jié)歸納的習慣！解題后，可以從解題方法、解題規(guī)律、解題策略等方面進行多角度、多側(cè)面的總結(jié)。這樣才能舉一反三，觸類旁通,提高解題能力

19、。例如,（高二代數(shù)）已知a，b，c，d都是正數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd1。證法一：由已知條件，得a2+b2+ c2+d2=2。根據(jù)算術(shù)平均與幾何平均不等式,有2(ac+bd) a2+b2+ c2+d2=2,ac+bd1。這樣從已知條件出發(fā),借助基本不等式直接證得結(jié)論，顯得簡捷明了。證法二：由已知條件可知1，1，1，1。于是設a=sin，c=sin,則b=cos,d=cos。 ac+bd= sinsin+ coscos=cos(）， ac+bd1。這一證法,使用問題轉(zhuǎn)化的策略，將代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為三角問題，使證法顯得更為簡明。當然，無論哪種解法，都應將解題方法及時進行歸

20、納總結(jié)，以促進解題能力的提高。2、善于進行引伸解完一道題之后,要善于把它“改頭換面"。變成為多個與原題內(nèi)容或形式不同，但解法類似或相似的題目，這樣可以擴大視野，深化知識,從而提高解題能力。P BD N CE A K FM G例如:（初中平面幾何）邊長為4的正方形CDEF，截去一角成五邊形ABCDE，其中AF=2,BF=1，P是AB上一點，AP:PB=2（如圖示)，求矩形PNDM的面積。解：延長NP交EF于K，延長MP交CF于G，得PG=AF=，PK=BF=，矩形PNDM的面積=MP×NP=（4）（4）=。解完這道題后可以作如下引伸：去掉條件“AP:PB=2”.于是矩形PND

21、M的面積因P 點在AB上的不同位置而變化，可引伸為如下的題目:邊長為4的正方形CDEF,截去一角成五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=1，若P是AB上的一個動點，并將矩形PNDM的面積記為S,求S的變化范圍。若條件不變又可引伸為：S的最大值、最小值分別是多少？P點在怎樣的位置時S的值為10？這樣從不同角度引伸，有助于培養(yǎng)學生的解題能力。3、善于進行推廣當一道數(shù)學題解完之后,如果將命題中的特殊條件一般化，從而推得更為普遍的結(jié)論,這就是數(shù)學命題的推廣。善于進行推廣所獲得的就不只是一道題的解法，而是一組題、一類題的解法.這有利于培養(yǎng)學生深入鉆研的良好習慣，激發(fā)他們的創(chuàng)造精神。例如：求“2549&g

22、t;49！”推廣為“求證n！(nN)”；三角形中的余弦定理是直角三角形的勾股定理的實質(zhì)推廣。 又如，求之值。解完這道題后，可以引導學生作如下推廣：求之值（a>0）；求之值（n>1，nN)；求之值（n1,nN。a0）;求之值（a0）。這種推廣對活躍思路,開闊視野，培養(yǎng)解題能力是大有裨益的。培養(yǎng)學生的解題能力，對發(fā)展學生的辯證唯物主義數(shù)學觀,有重要的教育意義。在解題教學中，教師要引導學生在實踐中演練，感知，體會解題的思想方法,逐步形成一系列行之有效的解題策略，如，化繁為簡，化生為熟，化整為零，化曲為直，以形論數(shù)，以數(shù)論形，等等.在遇到新的問題情景時，能以有效的思維策略，去探索轉(zhuǎn)化的途徑

23、。為了抵制學生重“結(jié)論”的學習傾向，徹底走出數(shù)學作業(yè)“一多”、“二假”、“三無效”的誤區(qū)？醞釀再三，我對學生提出了如下兩條教學策略:一是精選數(shù)學作業(yè)題，使學生脫離“題?！保涸谧鳂I(yè)方面，我能減則減，以學生通過精當?shù)木毩?，實現(xiàn)教師所期望的發(fā)展為度，而且對于不同層次的學生我還采取了分層作業(yè)，服從學生“解題技能”和“解題智能”的均衡發(fā)展的需要，實現(xiàn)數(shù)學題“算法型”和“思辨型”的合理搭配。二是建立“我能行”數(shù)學檔案袋，彌補課堂教學的不足在課堂教學中，由于時間有限，不可能每道題都由學生講解、分析,這就少了很多給學生鍛煉的機會。因而，課后我讓學生精選自己認為的好題進行分析,重點寫出分析過程、解決這一問題時用

24、到的知識、掌握的技能及最大收獲等。通過這一策略，強化學生對所學知識的復習，對所用技能、方法的鞏固，是提升解題能力的點睛之筆。三、就“思”而言 2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng)： mp；& 21世紀教育網(wǎng): mp;s解數(shù)學題決不能解一題丟一題,這樣做無助于解題能力的提高。解題后的反思是提高解題能力的一個重要途徑。一道數(shù)學題經(jīng)過一番艱辛,苦思冥想解出答案之后，必須要認真進行解題反思:命題的意圖是什么?考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷

25、有據(jù)，嚴密完善？本題有無其他解法一題多解？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結(jié)論進一步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論舉一反三，多題一解?但許多同學在完成作業(yè)方面,因為學習態(tài)度和心理狀態(tài)的不同，或者老師缺少必要的指導和訓練，大部分都缺少這一重要環(huán)節(jié)，未能形成良好的解題習慣，解題能力和思維品質(zhì)未能在更深和更高層次得到有效提高和升華。學習數(shù)學，也就只能登堂未能入室。為了提高學生的解題能力，我經(jīng)常倡導和訓練學生進行有效的解題反思：鼓勵學生從解題方法、解題規(guī)律、解題策略等方面進行多角度、多側(cè)面的總結(jié)。想想以前有沒有做過與原題內(nèi)容或形式不同,但解法類似或相似的題目。如果將題目的特殊條件一般化，能否推

26、得更為普遍的結(jié)論，這樣所獲得的就不只是一道題的解法，而是一組題、一類題的解法. 2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng)： mp； 21世紀教育網(wǎng)：http：/ mp；s就拿以下一題來說,已知如圖:和是直立在地面上的兩根石柱,cm，某一時刻在陽光下的投影cm。請在圖中畫出此時在陽光下的投影；在測量的投影時,同時測出在陽光下的投影長為cm，請你計算的長。D 2wh8vj2 21世紀教育網(wǎng)： mp；& 21世紀教育網(wǎng)： mp；s A這道題主要是利用相似三角形的知識解決實際問題， 說明數(shù)學知識來源于實際又服務于實際。在分析這一題時 ，   我先做好題前反思,預見學生在解題過程中可能出現(xiàn)的錯B