高等數(shù)學(xué)：2-1 導(dǎo)數(shù)的概念

1、1引例引例導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系求導(dǎo)舉例求導(dǎo)舉例小結(jié)小結(jié) 作業(yè)作業(yè)第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念(derivative)第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分2例例1 1直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)為設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)為試確定試確定t0時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v(t0).導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、一、引例引例).(tss ,0tt 的時(shí)刻的時(shí)刻取一鄰近于取一鄰近于tsv 平均速度平均速度00)()(tttsts ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限得取極限得00( )limttv t

2、瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度00)()(tttsts 0tt t解：解：3例例2 2割線的極限位置割線的極限位置對于一般曲線如何定義其切線呢對于一般曲線如何定義其切線呢?導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念曲線的切線斜率問題曲線的切線斜率問題若已知平面曲線若已知平面曲線),(xfy )(,(000 xfxM如何作過如何作過的切線呢的切線呢.切線位置切線位置.曲線上點(diǎn)曲線上點(diǎn)法國法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1629年提出了如下的定義和求年提出了如下的定義和求法法,從而圓滿地解決了這個(gè)問題從而圓滿地解決了這個(gè)問題.40 x處切線的斜率處切線的斜率.),(000yxM導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念已知曲線的方程已知曲線的方程確定點(diǎn)確定點(diǎn)

3、 如果割線如果割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,極限位置即極限位置即, 0MNC在點(diǎn)在點(diǎn)M處的處的切線切線.如圖如圖,. 0 NMT),(xfy x TxyO)(xfy CN M5),(00yxM設(shè)設(shè)00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf N tan k導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念00)()(xxxfxf ).,(yxN割線割線MN的斜率為的斜率為,0 xx 切線切線MT的斜率為的斜率為C沿曲線沿曲線,M0 xx TxyO)(xfy CN M0limxx6當(dāng)變化是非均勻的時(shí)當(dāng)變化是非均勻的時(shí),需作平均變化率的需作平均變化率的xyx 0lim 在現(xiàn)實(shí)生活中在現(xiàn)實(shí)生活中

4、,凡涉及變化率的問凡涉及變化率的問題題,其精確描述和計(jì)算都離不開此式所其精確描述和計(jì)算都離不開此式所規(guī)定的這一運(yùn)算規(guī)定的這一運(yùn)算.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念xxfxxfx )()(lim000極限運(yùn)算極限運(yùn)算:7定義定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0)(xxfy xxfxxfxy )()(00的的稱為稱為)(xf導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念,00時(shí)時(shí)變到變到當(dāng)自變量從當(dāng)自變量從xxx )()()(00 xfxxfyxfy 的增量的增量函數(shù)函數(shù)之比之比變量的增量變量的增量 x 與自與自平均變化率平均變化率. .二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義,有定義有定義8處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在并說并說0)(xxf,0

5、 xxy )(0 xf 中的任何一個(gè)表示中的任何一個(gè)表示, )(0 xf導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念xy 存在存在,如如如果極限如果極限)1()()(lim000 xxfxxfx 0lim x.)(0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在在xxf或或,dd0 xxxy 0d)(dxxxxf xxfxxfx )()(lim000 或有導(dǎo)數(shù)或有導(dǎo)數(shù). 可用下列記號可用下列記號則稱此極限值為則稱此極限值為9處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.特別當(dāng)特別當(dāng)(1)式的極限為式的極限為有時(shí)也說在有時(shí)也說在x0處導(dǎo)數(shù)是正處導(dǎo)數(shù)是正(負(fù)負(fù))無無注注要注意要注意導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式:,)()(lim)(0

6、000 xfxfxf .)()(lim)(0000 xfxfxf 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念當(dāng)極限當(dāng)極限(1)式不存在時(shí)式不存在時(shí), 就說函數(shù)就說函數(shù) f (x)在在x0在利用導(dǎo)數(shù)的定義證題或計(jì)算時(shí)在利用導(dǎo)數(shù)的定義證題或計(jì)算時(shí),正正(負(fù)負(fù))無窮時(shí)無窮時(shí),窮大窮大,但這時(shí)但這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在.)1()()(lim)(0000 xxfxxfxfx x x x hhhh h h 10如果如果 x0= 0,可以寫成可以寫成)0(f 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念特別特別是是,.)0()(lim0 xfxfx 0(1cos )(0)lim.1cosxfxfAx 令令1( )(0)lim.1nffnBn 0()()

7、lim.2tf atf atCt (0)(0),(0).fAfBf(1)(1)若若已已知知存存在在，則則(0)1-cos0,.AfxA (2)(2)若若已已知知 存存在在，則則未未必必存存在在（充充其其量量只只能能說說明明右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在）11(1/ )(0)lim.1/nfnfBn (0).Bf (3)(3)若若已已知知 存存在在，則則未未必必存存在在sin,0( ),0,0 xf xxx 例例如如，令令1( )sinsin01fnnn 則則1( )(0)00limlim0.11nnffnBnn 從從而而00lim( )limsin( )0 xxf xf xxx 但但不不存存在在，即即在

8、在不不連連續(xù)續(xù)( )0f xx 從從而而在在不不可可導(dǎo)導(dǎo). .12(0)( ).fCfa (4)(4)若若已已知知存存在在，則則0()()lim.2tf atf atCt 00()()()2 ()limlim( ).22ttf atf atfattf atCfatt 01()( )()( )lim( ).2tf atf af atf aCfatt 正正確確：( ).Cfa (5)C(5)C的的逆逆不不真真： 存存在在，未未必必存存在在( )f a 是是否否有有意意義義？13關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念(1) 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率,它反

9、映了它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.(2) 如果函數(shù)如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)的每點(diǎn)處都可內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)導(dǎo),就稱函數(shù)就稱函數(shù) f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).14xxfxxfyx )()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh 注注 )(0 xf導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念,y 記作記作),(xf xydd.d)(dxxf或或即即或或)(xf 0 xx (3) 對于任一對于任一都對應(yīng)著都對應(yīng)著 f (x)的一個(gè)確定的的一個(gè)確定的, Ix 導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值.這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)f (x)的

10、的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù).1553 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念例例 用導(dǎo)數(shù)表示下列極限用導(dǎo)數(shù)表示下列極限.5)()3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx 求求可導(dǎo)可導(dǎo)在在設(shè)設(shè)解解xafxafx5)()3(lim)1(0 )()3(lim0afxafx xafxafx3)()3(lim530 x3).(53af .2)()(lim, 2)()2(0hafhafafh 求求已知已知解解hafhafh2)()(lim)2(0 )()(lim0afhafh )(21af 211 h 16右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)4. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) )(0 xf )(0 xf導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念000()()lim;xf

11、 xxf xx 000()()lim.xf xxf xx 000( )()limxxf xf xxx 000( )()limxxf xf xxx (left derivative)(right derivative)17導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性.)(af 且且)(bf 和和.,)(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在閉區(qū)間在閉區(qū)間就說就說baxf處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在0)(xxf,)()(00都存在都存在和右導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)xfxf 且相等且相等此性質(zhì)常用于判定此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)分段函數(shù)在在分段點(diǎn)分段點(diǎn)如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),都存在都存在,18.0|)(處處的

12、的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解,|)0()0(hhhfhf hfhfh)0()0(lim0 , 1 hfhfh)0()0(lim0 . 1 ),0()0( ff.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念即即hhh 0limhhh 0limxy xyOP71 P71 例例1 119求增量求增量)1(算比值算比值)2(求極限求極限)3(P72P72例例3 3.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 0lim h. 0 0)( C三、求導(dǎo)舉例三、求導(dǎo)舉例( (幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)

13、數(shù)) ) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 步步 驟驟 );()(xfxxfy ;)()(xxfxxfxy .lim0 xyyx 即即CC h 導(dǎo)數(shù)的定義不僅給出了導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義不僅給出了導(dǎo)數(shù)的概念,也提供了計(jì)算方法也提供了計(jì)算方法.0)( C20P72P72例例4 4,sin)(xxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 02lim2cos()2hhhxh.cos x .cos)(sinxx 4)(sin xx.22 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念.)(sin)(sin4 xxx 及及求求4cos xx即即同理可得同理可得.sin)(cosxx 02cos() sin22limh

14、hhxh 21P73P73例例5 5.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx1)( nnnxx更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x如如12121 xx21 )(1 x11)1( x21x 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念即即22P73 P73 例例6 6.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax aaaxxln)( .)(xxee 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念即即23.)1, 0(log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函

15、數(shù)數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 1(log)lnaxxa .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 11log.lnaexxa導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念即即P73 P73 例例7 7241.幾何意義幾何意義表示表示)(0 xf 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念)( ,tan)(0為傾角為傾角 xf)(xfy 曲線曲線,)(,(00切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)xfxM即即四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義0 xxyO)(xfy CT M25).)(000 xxxfyy .0)()()(10000 xfx

16、xxfyy:)(,()(00處的切線方程為處的切線方程為在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線xfxxfy :)(,()(00的法線方程為的法線方程為在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線xfxxfy 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念26例例,)2 ,21(1斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx. 01582 yx導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念.方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線由由導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即

17、即即即)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 272.物理意義物理意義 非均勻變化量的瞬時(shí)變化率非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度;.ddlim)(0tststvt 電量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度電量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度;.ddlim)(0tqtqtit 為物體的線為物體的線(面面,體體)密度密度.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng)交流電路交流電路非均勻的物體非均勻的物體 質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)28該點(diǎn)必連續(xù)該點(diǎn)必連續(xù). .證證,)(可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim0

18、xfxyx )(xfxyxxxfy )(0lim x0 .)(連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念定理定理如果函數(shù)如果函數(shù)則函數(shù)在則函數(shù)在五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,)(xf即即函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系所以所以, ,lim0 x29如如, ,0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)但在但在 x該定理的逆定理不一定成立該定理的逆定理不一定成立.注注導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念,0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxxf.)(0的角點(diǎn)的角點(diǎn)為為xfx 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件, ,不是可導(dǎo)的充分條件不是可導(dǎo)的充分條件. .xy xyO

19、30例例.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf,0處處在在 x xy,1sinx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念.11之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在 xy xx01sin)0(x 031 .,)(002xxbaxxxxxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)為了使為了使 f(x) 在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念解解 首先函數(shù)必須在首先函數(shù)必須在x0處連續(xù)處連續(xù)

20、.由于由于 )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf故應(yīng)有故應(yīng)有.200 xbax 又因又因,20 x,0bax .20 x )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 02020limxxxxxx02x應(yīng)如何選取應(yīng)如何選取a,b ?32導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 020)(lim0 xxxbaxxx 00)()(lim0 xxbaxbaxxx 200 xbax 000limxxaxaxxxa從而從而,當(dāng)當(dāng))(0 xf 02x ,20 xa f(x) 在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo).,20 xb .,)(002xxbaxxxxxf

21、當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)應(yīng)如何選取應(yīng)如何選取a,b?為了使為了使 f(x) 在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 33六、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的變化率問題六、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的變化率問題1 1、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際概念、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際概念在經(jīng)濟(jì)問題中經(jīng)常把一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為該函數(shù)在經(jīng)濟(jì)問題中經(jīng)常把一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)。相應(yīng)地，把導(dǎo)數(shù)值稱為邊際值。的邊際函數(shù)。相應(yīng)地，把導(dǎo)數(shù)值稱為邊際值。例如，在某產(chǎn)品的生產(chǎn)中，它的成本函數(shù)是例如，在某產(chǎn)品的生產(chǎn)中，它的成本函數(shù)是 ，)(xcc 當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量從當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量從 增到增到 時(shí)，成本相應(yīng)的增量為時(shí)，成本相應(yīng)的增量為xxx)()(xcxxccxxcxxcxc)()(而比值而比值表示每增加一個(gè)單

22、位產(chǎn)品，平均需要增加的成本表示每增加一個(gè)單位產(chǎn)品，平均需要增加的成本34令令 ，平均單位成本的極限，平均單位成本的極限0 x)()()(limlim00 xcxxcxxcxcxxx稱稱為為邊邊際際成成本本，它它表表示示在在生生產(chǎn)產(chǎn)了了 單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品后后，再再多多生生產(chǎn)產(chǎn)一一個(gè)個(gè)單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品，所所需需成成本本的的近近似似值值. .( )( )yf xfxx 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)代代表表收收入入時(shí)時(shí)，它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是邊邊際際收收入入，它它可可以以估估計(jì)計(jì)商商人人在在銷銷售售了了 單單位位商商品品后后，再再多多銷銷售售一一單單位位商商品品所所得得收收入入的的近近似似值值. .邊邊際際利利潤潤

23、352( )( )2505P xxP xxx例例 某某企企業(yè)業(yè)生生產(chǎn)產(chǎn)一一種種產(chǎn)產(chǎn)品品，每每天天的的總總利利潤潤（元元）與與產(chǎn)產(chǎn)量量（噸噸）之之間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為： 10(10)150.10 xP 在在時(shí)時(shí)，（元元） 表表示示，在在每每天天生生產(chǎn)產(chǎn)噸噸的的基基 礎(chǔ)礎(chǔ)上上，再再多多生生產(chǎn)產(chǎn)1 1噸噸，總總利利潤潤將將增增加加150150元元. .( )25010P xx 邊邊際際利利潤潤25(25)0.xP 在在時(shí)時(shí)，（元元） 表表示示，在在每每天天生生產(chǎn)產(chǎn)2525噸噸的的基基 礎(chǔ)礎(chǔ)上上，再再多多生生產(chǎn)產(chǎn)1 1噸噸，總總利利潤潤幾幾乎乎沒沒有有變變化化. .30(30)50.xP 在在時(shí)時(shí)，（元元） 表表示示，在在每每天天生生產(chǎn)產(chǎn)3030噸噸的的基基 礎(chǔ)礎(chǔ)上上，再再多多生生產(chǎn)產(chǎn)1 1噸噸，總總利利潤潤就就要要減減少少5050元元. .362 2、經(jīng)濟(jì)學(xué)