第1章 邏輯代數(shù)與EDA技術(shù)基礎(chǔ)

1、第第1 1章章 邏輯代數(shù)與邏輯代數(shù)與EDAEDA技術(shù)基礎(chǔ)技術(shù)基礎(chǔ)概述概述1.11.1 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理1.21.2 邏輯函數(shù)的化簡方法邏輯函數(shù)的化簡方法1.3 1.3 邏輯函數(shù)的表示方法及其相互邏輯函數(shù)的表示方法及其相互 之間的轉(zhuǎn)換之間的轉(zhuǎn)換1.41.4 EDAEDA技術(shù)基礎(chǔ)技術(shù)基礎(chǔ)儀器的操作與使用儀器的操作與使用本章小結(jié)本章小結(jié)概述概述一、邏輯代數(shù)一、邏輯代數(shù) 在客觀世界中，事物的發(fā)展變化通常都是有在客觀世界中，事物的發(fā)展變化通常都是有一定因果關(guān)系的。這種因果關(guān)系，一般稱為邏輯一定因果關(guān)系的。這種因果關(guān)系，一般稱為邏輯關(guān)系，反映和處理這種關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，就是邏關(guān)系，反

2、映和處理這種關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，就是邏輯代數(shù)。輯代數(shù)。 邏輯代數(shù)是英國數(shù)學(xué)家邏輯代數(shù)是英國數(shù)學(xué)家George BooleGeorge Boole在在1919世紀(jì)中葉創(chuàng)立的，也叫世紀(jì)中葉創(chuàng)立的，也叫布爾代數(shù)。布爾代數(shù)。直到直到2020世紀(jì)世紀(jì)3030年代，美國人年代，美國人Claude E. ShannonClaude E. Shannon在開關(guān)電路中在開關(guān)電路中才找到了它的用途，并且很快就成為分析和綜合才找到了它的用途，并且很快就成為分析和綜合開關(guān)電路的重要數(shù)學(xué)工具，因此又稱開關(guān)電路的重要數(shù)學(xué)工具，因此又稱開關(guān)代數(shù)開關(guān)代數(shù)。 和普通代數(shù)比較起來，在邏輯代數(shù)中雖然和普通代數(shù)比較起來，在邏輯代數(shù)中雖然

3、也用英文字母表示變量，但情況要簡單得多。也用英文字母表示變量，但情況要簡單得多。在二值邏輯中，變量取值不是在二值邏輯中，變量取值不是 1 1就是就是0 0，沒有，沒有第三種可能。而且這里的第三種可能。而且這里的0 0和和1 1并不表示數(shù)值的并不表示數(shù)值的大小，它們所代表的是兩種不同的邏輯狀態(tài)。大小，它們所代表的是兩種不同的邏輯狀態(tài)。例如，用例如，用1 1和和0 0分別表示一件事的是與非、真與分別表示一件事的是與非、真與假，電壓的高與低，電流的有與無，一個開關(guān)假，電壓的高與低，電流的有與無，一個開關(guān)的開通與關(guān)斷，一盞電燈的亮與滅等等。在邏的開通與關(guān)斷，一盞電燈的亮與滅等等。在邏輯代數(shù)中，有些公式

4、和定理與普通代數(shù)并無區(qū)輯代數(shù)中，有些公式和定理與普通代數(shù)并無區(qū)別，有些則完全不同。別，有些則完全不同。二、二進制數(shù)表示法二、二進制數(shù)表示法1. 1. 十進制數(shù)十進制數(shù) 十進制是我們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦凶畛Ｓ玫挠嬍M制是我們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦凶畛Ｓ玫挠嫈?shù)進位制。超過數(shù)進位制。超過9 9的數(shù)則需用多位數(shù)表示，低位數(shù)的數(shù)則需用多位數(shù)表示，低位數(shù)和相鄰高位數(shù)之間的關(guān)系是逢十進一，故稱為十和相鄰高位數(shù)之間的關(guān)系是逢十進一，故稱為十進制。任意一個正的十進制數(shù)進制。任意一個正的十進制數(shù)D D都可以展開成：都可以展開成：D=kD=ki i1010i i2. 2. 二進制數(shù)二進制數(shù) 在數(shù)字電路中應(yīng)用最廣的是二進制。低

5、位和在數(shù)字電路中應(yīng)用最廣的是二進制。低位和相鄰的高位之間的進位關(guān)系是逢二進一。任何一相鄰的高位之間的進位關(guān)系是逢二進一。任何一個二進制數(shù)個二進制數(shù)D D均可展開為：均可展開為：D=kD=ki i2 2i i3. 3. 二進制數(shù)的縮寫形式二進制數(shù)的縮寫形式-八進制和十六進制數(shù)八進制和十六進制數(shù)（1 1）八進制數(shù)）八進制數(shù)任何一個八進制數(shù)任何一個八進制數(shù)D D都可展開為：都可展開為：D=kD=ki i8 8i i（2 2）十六進制數(shù)）十六進制數(shù)任何一個十六進制數(shù)任何一個十六進制數(shù)D D均可展開為：均可展開為：D=kD=ki i1616i i4. 4. 幾種常用進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換幾種常用進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)

6、換（1 1）二）二-十轉(zhuǎn)換十轉(zhuǎn)換: :把二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成等值的十進制數(shù)稱把二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成等值的十進制數(shù)稱二二-十轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換時，只要將二進制數(shù)按十轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換時，只要將二進制數(shù)按D=kD=ki i2 2i i展開，展開，然后把所有各項的數(shù)值按十進制相加，就可以得到等值然后把所有各項的數(shù)值按十進制相加，就可以得到等值的十進制數(shù)了。如：的十進制數(shù)了。如：(1011.01)(1011.01) =1=12 23 3+0+02 22 2+1+12 21 1+1+12 20 0+0+02 2-1-1+1+12 2-2-2 =8+0+2+1+0+0.25 = (11.25) =8+0+2+1+0+0.25 = (

7、11.25)1010 （2 2）十）十-二轉(zhuǎn)換：二轉(zhuǎn)換：所謂十所謂十-二轉(zhuǎn)換，就是把二轉(zhuǎn)換，就是把十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為等值的二進制數(shù)。十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為等值的二進制數(shù)。整數(shù)的轉(zhuǎn)換整數(shù)的轉(zhuǎn)換: : 設(shè)十進制數(shù)為設(shè)十進制數(shù)為D D10 10 ，它所對應(yīng)的二，它所對應(yīng)的二進制數(shù)為進制數(shù)為(k(kn nk kn-1n-1k k0 0) ) 2 2，則，則: :D D1010=k=kn n2 2n n+k+kn-1n-12 2n-1n-1+ +k+k1 12 21 1+k+k0 0 =2(k =2(kn n2 2n -1 n -1 +k+kn-1n-12 2n-2n-2+ +k+k1 1)+k)+k0 0小數(shù)的轉(zhuǎn)

8、換：小數(shù)的轉(zhuǎn)換：設(shè)十進制小數(shù)為設(shè)十進制小數(shù)為D D10 10 ，對應(yīng)的二進，對應(yīng)的二進制小數(shù)為制小數(shù)為(0.k(0.kn-1 n-1 k kn-2n-2 k k-m-m) ) 2 2，則，則: :D D1010=k=k-1-12 2-1 -1 +k+k-2-22-2-2 2+ k+ k-3-32 2-3-3 + + +k+k-m-m2 2-m -m 。（3 3）二）二-八轉(zhuǎn)換：八轉(zhuǎn)換：把二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為等值的八把二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為等值的八進制數(shù)，稱二進制數(shù)，稱二-八轉(zhuǎn)換。八轉(zhuǎn)換。例如：將例如：將(10110101.00111101) 2化為八進制數(shù)。化為八進制數(shù)。 (010，110，101. 001

9、，111，010) 2 = ( 2 6 5. 1 7 2 )8（4 4）八）八-二轉(zhuǎn)換：二轉(zhuǎn)換：在將八進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)在將八進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)時，只要按原來順序把每時，只要按原來順序把每1 1位八進制數(shù)用相應(yīng)的位八進制數(shù)用相應(yīng)的3 3位二位二進制數(shù)代替就可以了。進制數(shù)代替就可以了。例如：將例如：將(512.304)8化為二進制數(shù)?；癁槎M制數(shù)。 ( 5 1 2. 3 0 4 )8 =( 101 001 010. 011 000 100) 2（5 5）二）二-十六轉(zhuǎn)換：十六轉(zhuǎn)換：轉(zhuǎn)換原理與二轉(zhuǎn)換原理與二八轉(zhuǎn)換相仿。八轉(zhuǎn)換相仿。由于由于4 4位二進制數(shù)恰好有十六個狀態(tài)，而且當(dāng)把這位二進制數(shù)恰

10、好有十六個狀態(tài)，而且當(dāng)把這4 4位二位二進制數(shù)看成一個數(shù)位時，它向高位的進位又正好是逢十進制數(shù)看成一個數(shù)位時，它向高位的進位又正好是逢十六進一，所以可用六進一，所以可用4 4位二進制數(shù)代表位二進制數(shù)代表1 1位十六進數(shù)。在整位十六進數(shù)。在整數(shù)轉(zhuǎn)換時，只要從數(shù)轉(zhuǎn)換時，只要從2 20 0位開始依將位開始依將4 4位二進制數(shù)劃為一組，位二進制數(shù)劃為一組，并 分 別 代 之 以 相 應(yīng) 的 十 六 進 制 數(shù) 就 可 以 了 。并 分 別 代 之 以 相 應(yīng) 的 十 六 進 制 數(shù) 就 可 以 了 。（6 6）十六）十六-二轉(zhuǎn)換：二轉(zhuǎn)換：只需將原來的十六進制數(shù)逐位只需將原來的十六進制數(shù)逐位用相應(yīng)的二進

11、制數(shù)代替就可以得到所要求的二進制數(shù)。用相應(yīng)的二進制數(shù)代替就可以得到所要求的二進制數(shù)。三、三、二進制代碼二進制代碼 用二進制數(shù)表示文字、符號等信息的過程叫做用二進制數(shù)表示文字、符號等信息的過程叫做編碼編碼，用來進行編碼之后的二進制數(shù)稱為，用來進行編碼之后的二進制數(shù)稱為二進制代二進制代碼碼。在邏輯代數(shù)和整個數(shù)字電路中，使用十分廣泛。在邏輯代數(shù)和整個數(shù)字電路中，使用十分廣泛。 在數(shù)字電路中，由于二進制數(shù)用電路實現(xiàn)起來在數(shù)字電路中，由于二進制數(shù)用電路實現(xiàn)起來比較容易，所以在編碼中廣泛使用的是二進制數(shù)。比較容易，所以在編碼中廣泛使用的是二進制數(shù)。例如，表示十進制數(shù)的十個數(shù)字符號例如，表示十進制數(shù)的十個數(shù)

12、字符號0 09 9，經(jīng)常使用，經(jīng)常使用的就是所謂的就是所謂84218421代碼代碼，見見表表1.0.11.0.1所示。所示。四、四、EDAEDA技術(shù)技術(shù) 略。略。1.11.1、基本概念、公式和定理、基本概念、公式和定理1.1.1 1.1.1 基本和常用邏輯運算基本和常用邏輯運算 在邏輯代數(shù)中，基本邏輯運算有在邏輯代數(shù)中，基本邏輯運算有與、或、非與、或、非三種，常用的邏輯運算是三種，常用的邏輯運算是與非、或非、與或非、異與非、或非、與或非、異或或等。等。一、三種基本邏輯運算一、三種基本邏輯運算1.1.基本邏輯關(guān)系舉例基本邏輯關(guān)系舉例（1 1）電路圖）電路圖 如如圖圖1.1.11.1.1所示電路，

13、是反映所示電路，是反映與、或、非與、或、非三種三種基本邏輯關(guān)系最簡單的例子。根據(jù)電路中有關(guān)定理，基本邏輯關(guān)系最簡單的例子。根據(jù)電路中有關(guān)定理，可以很容易地列出可以很容易地列出表表1.1.11.1.1所示功能表。所示功能表。（2 2）真值表）真值表 在在圖圖1.1.11.1.1中，經(jīng)過設(shè)定變量和狀態(tài)賦值之后，中，經(jīng)過設(shè)定變量和狀態(tài)賦值之后，便可以得到反映開關(guān)狀態(tài)與電燈亮滅之間因果關(guān)系便可以得到反映開關(guān)狀態(tài)與電燈亮滅之間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達形式的數(shù)學(xué)表達形式邏輯真值表邏輯真值表，簡稱，簡稱真值表真值表。設(shè)定變量設(shè)定變量 用英文字母表示開關(guān)和電燈的過程，叫做用英文字母表示開關(guān)和電燈的過程，叫做設(shè)定變設(shè)

14、定變量量?，F(xiàn)用。現(xiàn)用A A、B B、Y Y1 1、Y Y2 2、Y Y3 3分別表示開關(guān)分別表示開關(guān)A A、B B和燈和燈Y Y1 1、Y Y2 2、Y Y3 3 。狀態(tài)賦值狀態(tài)賦值 用用0 0和和1 1分別表示開關(guān)和電燈有關(guān)狀態(tài)的過程，稱分別表示開關(guān)和電燈有關(guān)狀態(tài)的過程，稱為為狀態(tài)賦值狀態(tài)賦值?，F(xiàn)用?，F(xiàn)用0 0表示開關(guān)斷開和燈滅，用表示開關(guān)斷開和燈滅，用1 1表示表示開關(guān)閉合和燈亮。這也叫做開關(guān)閉合和燈亮。這也叫做變量取值變量取值。列真值表列真值表 根據(jù)設(shè)定變量和狀態(tài)賦值情況，由根據(jù)設(shè)定變量和狀態(tài)賦值情況，由表表1.1.11.1.1所示所示功能表，可以很容易地列出如功能表，可以很容易地列出如

15、表表1.1.21.1.2所示的表格，所示的表格，這種表一般稱為真值表。這種表一般稱為真值表。（3 3）三種基本邏輯關(guān)系）三種基本邏輯關(guān)系 與與邏輯關(guān)系：邏輯關(guān)系：當(dāng)決定一件事情的各個條件全部具當(dāng)決定一件事情的各個條件全部具備時，這件事情才會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系，稱之備時，這件事情才會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系，稱之為為與與邏輯關(guān)系邏輯關(guān)系 。 或或邏輯關(guān)系：邏輯關(guān)系：當(dāng)決定一件事情的各個條件中，只當(dāng)決定一件事情的各個條件中，只要有一個具備，這件事情就會發(fā)生，這樣的因果關(guān)要有一個具備，這件事情就會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系，叫做系，叫做或或邏輯關(guān)系邏輯關(guān)系 。 非非邏輯關(guān)系：邏輯關(guān)系：非非就是反，就是否定。

16、就是反，就是否定。2.2.基本邏輯運算基本邏輯運算與運算：與運算：Y Y1 1=A=AB B 或運算：或運算：Y Y2 2=A+B =A+B 非運算：非運算：Y Y3 3=A=A二、邏輯變量與邏輯函數(shù)及幾種常用邏輯運算二、邏輯變量與邏輯函數(shù)及幾種常用邏輯運算1.1.邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯變量邏輯變量 在邏輯代數(shù)中，和普通代數(shù)一樣，也是用英文字母在邏輯代數(shù)中，和普通代數(shù)一樣，也是用英文字母表示變量，叫做邏輯變量。不過其取值十分簡單，在表示變量，叫做邏輯變量。不過其取值十分簡單，在二值邏輯中，不是二值邏輯中，不是1 1就是就是0 0，沒有第三種可能。而且，沒有第三種可能。而且，這

17、里的這里的0 0和和1 1沒有數(shù)值大小的含意，所表示的是事物相沒有數(shù)值大小的含意，所表示的是事物相互對立而又聯(lián)系著的兩個方面，即兩種狀態(tài)。例如，互對立而又聯(lián)系著的兩個方面，即兩種狀態(tài)。例如，圖圖1.1.11.1.1中，開關(guān)的斷開與閉合，電燈的滅與亮等中，開關(guān)的斷開與閉合，電燈的滅與亮等邏輯函數(shù)邏輯函數(shù) 一般地說，如果輸入邏輯變量一般地說，如果輸入邏輯變量A A、B B、的取值的取值確定之后，輸出邏輯變量確定之后，輸出邏輯變量Y Y的值也被唯一地確定了，的值也被唯一地確定了，那么就稱那么就稱Y Y是是A A、B B、的邏輯函數(shù)，并寫成為的邏輯函數(shù)，并寫成為Y =FY =F（A A，B B，） 一

18、般情況下，常用真值表描述變量取值和函數(shù)之一般情況下，常用真值表描述變量取值和函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。由于在二值邏輯中，變量和函數(shù)的間的對應(yīng)關(guān)系。由于在二值邏輯中，變量和函數(shù)的取值都是只有取值都是只有0 0、1 1兩種可能，十分簡單，所以可用兩種可能，十分簡單，所以可用窮舉方法，把變量的各種可能取值和相應(yīng)的函數(shù)值，窮舉方法，把變量的各種可能取值和相應(yīng)的函數(shù)值，以表格形式全部列出來，來表示變量與函數(shù)之間的以表格形式全部列出來，來表示變量與函數(shù)之間的關(guān)系，這種表格就叫做真值表。關(guān)系，這種表格就叫做真值表。表表1.1.21.1.2所示是最簡單的例子。所示是最簡單的例子。2.2.幾種常用邏輯運算幾種常用邏輯

19、運算與非運算：與非運算：Y4=AB或非運算：或非運算：Y5=A+B與或非運算：與或非運算：Y6=AB + CD異異或運算：或運算：Y7=AB + AB =A B三、基本和常用邏輯運算的邏輯符號三、基本和常用邏輯運算的邏輯符號 在數(shù)字電路中，基本和常用邏輯運算應(yīng)用十分在數(shù)字電路中，基本和常用邏輯運算應(yīng)用十分廣泛，是構(gòu)成各種復(fù)雜邏輯運算的基礎(chǔ)。因此都廣泛，是構(gòu)成各種復(fù)雜邏輯運算的基礎(chǔ)。因此都有實現(xiàn)這些運算的稱之為門電路的邏輯電路存在，有實現(xiàn)這些運算的稱之為門電路的邏輯電路存在，而它們也是組成各種數(shù)字電路的基本單元。而它們也是組成各種數(shù)字電路的基本單元。1.1.2 1.1.2 公式和定理公式和定理一

20、、常量之間的關(guān)系一、常量之間的關(guān)系 因為二值邏輯中只有因為二值邏輯中只有0 0、1 1兩個常量，邏輯變量兩個常量，邏輯變量的取值不是的取值不是0 0就是就是1 1，而最基本的邏輯運算又只有，而最基本的邏輯運算又只有與、與、或、非或、非三種，所以常量之間的關(guān)系也只有下列幾種：三種，所以常量之間的關(guān)系也只有下列幾種：公式公式1 01 00=0 0=0 公式公式1 1+1=11 1+1=1公式公式2 02 01=0 1=0 公式公式2 1+0=12 1+0=1公式公式3 13 11=1 1=1 公式公式3 0+0=03 0+0=0公式公式4 0=1 4 0=1 公式公式4 1=04 1=0二、變量和

21、常量的關(guān)系二、變量和常量的關(guān)系公式公式5 A5 A1=A 1=A 公式公式5 A+0=A5 A+0=A公式公式6 A6 A0=0 0=0 公式公式6 A+1=16 A+1=1公式公式7 A7 AA=0 A=0 公式公式7 A+A=17 A+A=1三、與普通代數(shù)相似的定理三、與普通代數(shù)相似的定理交換律：交換律：公式公式8 A8 AB=BB=BA A 公式公式8A+B=B+A8A+B=B+A結(jié)合律：結(jié)合律：公式公式9 (A9 (AB)B)C=AC=A(B(BC)C) 公式公式9(A+B)+C=A+(B+C)9(A+B)+C=A+(B+C)分配律：分配律：公式公式10 A10 A(B+C)=A(B+

22、C)=AB+AB+AC C 公式公式10A+B10A+BC=(AC=(AB)B)(A(AC)C)四、邏輯代數(shù)的一些特殊定理四、邏輯代數(shù)的一些特殊定理同一律：同一律：公式公式11 A11 AA=A A=A 公式公式11A+A=A11A+A=A德德摩根定理摩根定理（系（系De MorganDe Morgan的音譯）的音譯） 公式公式12 A12 AB=A+B B=A+B 公式公式12A+B=A12A+B=AB B還原律：還原律：公式公式13 A=A13 A=A 例例1.1.21.1.2證明公式證明公式12 A12 AB=A+BB=A+B結(jié)果見結(jié)果見表表1.1.41.1.4所示。所示。五、關(guān)于等式的

23、三個規(guī)則五、關(guān)于等式的三個規(guī)則1.1.代入規(guī)則代入規(guī)則 2.2.反演規(guī)則反演規(guī)則 3.3.對偶規(guī)則對偶規(guī)則六、若干常用公式六、若干常用公式公式公式14 A14 AB+AB+AB=A B=A 公式公式15 A+A15 A+AB=A B=A 公式公式16 A+A16 A+AB=A+B B=A+B 公式公式17 A17 AB+AB+AC+BC+BC=AC=AB+AB+AC C公式公式18 A18 AB+AB+AB=AB=AB+AB+AB B1.21.2、邏輯函數(shù)的化簡方法、邏輯函數(shù)的化簡方法1.2.1 1.2.1 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡式1.2.2 1.2.2 邏輯函數(shù)的公式化簡會邏輯函數(shù)的公式化簡會1.2.3 1.2.3 邏輯函數(shù)的圖形化簡法邏輯