平面向量基本定理

1、平面向量基本定理平面向量基本定理一般地一般地, ,實數(shù)實數(shù) 與向量與向量 的積是一個向量的積是一個向量, ,記作記作: : aa(1)(2)當(dāng)當(dāng) 時時, 的方向與的方向與 的方向相同的方向相同; 當(dāng)當(dāng) 時時, 的方向與的方向與 的方向相同的方向相同;(3)當(dāng)當(dāng) 時時,或或 時時,| |;aa000aaaa0a一、數(shù)乘的定義：一、數(shù)乘的定義：它的長度和方向規(guī)定如下它的長度和方向規(guī)定如下:二、二、數(shù)乘數(shù)乘的運(yùn)算律：的運(yùn)算律：(2)(2)第一分配律第一分配律: :(1)(1)結(jié)合律結(jié)合律: :(3)(3)第二分配律第二分配律: :()()aa ()aaa()abab0a平面向量基本定理1. 1. 定

2、理定理: :向量向量 與非零向量與非零向量 共線的共線的充要條件充要條件是有是有且只有一個實數(shù)且只有一個實數(shù) , ,使得使得. . abab三、向量共線的充要條件：三、向量共線的充要條件： 利用向量共線定理，能方便地證明幾何中的三點共線和兩直線平行問題利用向量共線定理，能方便地證明幾何中的三點共線和兩直線平行問題. .但要注但要注意的是意的是: :向量平行和直線平行在重合概念上有區(qū)別向量平行和直線平行在重合概念上有區(qū)別. .一般說兩直線平行不包含兩直線一般說兩直線平行不包含兩直線重合重合, ,而兩向量平行則含兩向量重合而兩向量平行則含兩向量重合. . 探究探究1 1探究探究2 2. 21212

3、1之之間間的的關(guān)關(guān)系系，與與不不共共線線，探探究究向向量量與與是是同同一一平平面面內(nèi)內(nèi)任任一一向向量量共共起起點點，向向量量，與與向向量量向向量量eeaeeaeea. 2121之之間間的的關(guān)關(guān)系系，與與量量內(nèi)內(nèi)的的任任一一向向量量，探探究究向向是是這這一一平平面面?zhèn)€個向向量量，向向量量同同一一平平面面內(nèi)內(nèi)不不共共線線的的兩兩，向向量量eeaaee知識點一知識點一 平面向量基本定理平面向量基本定理1e2ea分解分解平移平移共同起點共同起點1e1ea2eOABOBOAa11eOA22eOB2211eea2ea21ee , a2211eea 21 , ee2. 2. 定理說明定理說明（1 1）基底）

4、基底 不共線，零向量不能做基底不共線，零向量不能做基底. .21ee 、（2 2）定理中向量）定理中向量 是任一向量，實數(shù)是任一向量，實數(shù) 唯一唯一. .a21 與與（3 3） 叫做向量叫做向量 關(guān)于基底關(guān)于基底 的分解式的分解式. . 2211ee a21 , ee(4)基底給定時基底給定時,分解形式唯一分解形式唯一. 典典 例例 精精 析析 典典 例例 精精 析析c dcd試試判判斷斷不不共共線線，且且，若若向向量量,badbacba232【例例1 1】. 能能否否作作為為基基底底與與向向量量dc勝利彼岸勝利彼岸) ( ee作作為為基基底底的的下下面面的的四四組組向向量量中中不不能能量量的

5、的一一組組基基底底，則則所所有有向向是是表表示示平平面面內(nèi)內(nèi)，若若跟跟蹤蹤練練習(xí)習(xí)21. D. 33 .C 6423 B. . A212122112212121eeeeeeeeeeeeeee和和和和和和和和 典典 例例 精精 析析 典典 例例 精精 析析aba b勝利彼岸勝利彼岸,ab._,/, .的的值值為為則則實實數(shù)數(shù)且且向向量量的的一一組組基基底底，若若向向量量是是表表示示平平面面內(nèi)內(nèi)所所有有向向量量，設(shè)設(shè)向向量量變變式式訓(xùn)訓(xùn)練練baeebeeaee2121212 .,.上上一一定定在在直直線線并并且且滿滿足足上上式式的的點點的的分分解解式式為為關(guān)關(guān)于于基基底底，使使得得存存在在實實數(shù)數(shù)

6、求求證證：直直線線上上任任意意一一點點外外一一點點，是是直直線線上上任任意意兩兩點點，點點是是直直線線，已已知知點點例例lPOBOAtOPOBOAOPtPlolBA )( 3 1 典典 例例 精精 析析 典典 例例 精精 析析勝利彼岸勝利彼岸思路分析：思路分析：以基底為出發(fā)點，應(yīng)用平面向以基底為出發(fā)點，應(yīng)用平面向量基本定理結(jié)合向量共線，推證結(jié)論量基本定理結(jié)合向量共線，推證結(jié)論. . 課本課本P P9797例例2 2BOPA),OBOAOPABPt （的的中中點點，則則是是點點令令2121OPAB 鞏鞏 固固 練練 習(xí)習(xí) 鞏鞏 固固 練練 習(xí)習(xí). _ _;), , , 3. 則則（若若的的重重心

7、心，設(shè)設(shè)為為已已知知RbaAGbACaABABCG._,. 122123642eeeBCeABABCDo則則的的中中心心，是是平平行行四四邊邊形形若若點點 拓拓 展展 反反 饋饋 拓拓 展展 反反 饋饋1.1.下面三種說法：下面三種說法：一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；量的基底；一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作該平面所有向量的一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作該平面所有向量的基底；基底；零向量不可作為基底中的向量，零向量不可作為基底中的向量， 其中正確的說法是其中正確的說法是( ( ) )A A B B C C D

8、 D知識點二、向量的夾角與垂直知識點二、向量的夾角與垂直:OABba兩個非零向量兩個非零向量 和和 ,作作 ， ,則則abAOB叫做向量叫做向量 和和 的的夾角夾角OAa OBb ab夾角的范圍：夾角的范圍：00180,0180 與與 反向反向abOABab記作記作ab90 與與 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:兩向量必須兩向量必須是是同起點同起點的的0 與與 同向同向abOABab特別的：特別的：例例2.在等邊三角形中，求在等邊三角形中，求 (1)AB與與AC的夾角；的夾角； (2)AB與與BC的夾角。的夾角。ABC60C01201. 平面向量基本定理平面向量基本定理2.平面向量基本定

9、理的應(yīng)用平面向量基本定理的應(yīng)用3.向量的夾角與垂直向量的夾角與垂直4.轉(zhuǎn)化思想方法及其應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想方法及其應(yīng)用向量的正交分解向量的正交分解121 12 212,e eeee e 一個平面向量用一組基底表示成 的形式，我們稱它為向量的分解。當(dāng)互相垂直時，就稱為向量的正交分解。在平面上，如果選取互相垂直的向量作在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便為基底時，會為我們研究問題帶來方便2.3.2平面向量正交分解及坐標(biāo)表示平面向量正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示Oxy平面內(nèi)的任一向量平面內(nèi)的任一向量 ,有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù)x,y,使使 成立

10、成立aaxiy j則稱（則稱（x，y）是向量是向量 的坐標(biāo)的坐標(biāo)aji 如圖如圖,在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與分別取與x軸、軸、y軸正方向軸正方向同向的兩個同向的兩個單位向量單位向量 作基底作基底.i j 、記作：記作：( , )ax y（1）與）與 相等的向量的坐標(biāo)均為（相等的向量的坐標(biāo)均為（x, y)aa注意：注意：a(4)如圖以原點如圖以原點O為起點作為起點作 ，點，點A的位置的位置 被被 唯一確定唯一確定.aOA a Oxy1212abxxyy且平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示aaji(x, y)A此時點此時點A的坐標(biāo)即為的坐標(biāo)即為 的坐標(biāo)的坐標(biāo)a（5）區(qū)別點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)）區(qū)別點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)相等向量的坐標(biāo)是相同的相等向量的坐標(biāo)是相同的,但起點、終點的坐標(biāo)可以不同但起點、終點的坐標(biāo)可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij （1）與）與 相等的向量的坐標(biāo)均為（相等的向量的坐標(biāo)均為（x, y)a注意：注意：（3）兩個向量）兩個向量 相等的等價條件：相等的等價條件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)22axy 例例1如圖，用基底如圖，用基底 ， 分別表示向量分別表示向量 并求它們的坐標(biāo)并求它們的坐標(biāo)解：由圖可知解：由圖可知1223aAA