09第九章質(zhì)點動力學基本方程

1、第九章第九章 質(zhì)點動力學基本方程質(zhì)點動力學基本方程9-1 9-1 動力學基本定律動力學基本定律9-2 9-2 質(zhì)點運動微分方程質(zhì)點運動微分方程9-1 9-1 動力學基本定律動力學基本定律動力學基本定律動力學基本定律1687 (1642-1727) 發(fā)發(fā)表了著名的表了著名的自然哲學的數(shù)學原理自然哲學的數(shù)學原理牛頓三大定律，它描述了動力學最基牛頓三大定律，它描述了動力學最基本的規(guī)律，是古典力學體系的核心本的規(guī)律，是古典力學體系的核心 任何質(zhì)點如不受外力作用，則將保持其原來靜止的或勻任何質(zhì)點如不受外力作用，則將保持其原來靜止的或勻速直線運動的狀態(tài)。速直線運動的狀態(tài)。第一定律第一定律 (慣性定律慣性定

2、律) 不受外力作用時，物體將保持靜止的或勻速直線運動的不受外力作用時，物體將保持靜止的或勻速直線運動的狀態(tài)，這是物體的屬性，這種屬性稱為慣性。狀態(tài)，這是物體的屬性，這種屬性稱為慣性。第一定律也稱為慣性定律。第一定律也稱為慣性定律。勻速直線運動也稱為勻速直線運動也稱為慣性運動慣性運動。第二定律第二定律（力與加速度之間關(guān)系定律）（力與加速度之間關(guān)系定律）質(zhì)點動力學基本方程質(zhì)點動力學基本方程mfamfa 質(zhì)點受力作用時所獲得的加速度的大小與作用力大小成質(zhì)點受力作用時所獲得的加速度的大小與作用力大小成正比，與質(zhì)點的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。正比，與質(zhì)點的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向

3、相同。式中式中 m 為質(zhì)點的質(zhì)量；為質(zhì)點的質(zhì)量； 質(zhì)量是物體慣性的度量，質(zhì)點的質(zhì)量愈大，保持慣性運動質(zhì)量是物體慣性的度量，質(zhì)點的質(zhì)量愈大，保持慣性運動的能力愈強。的能力愈強。物體的質(zhì)量物體的質(zhì)量 m 與它的重量與它的重量 w 之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：w = mg g 是重力加速度，取是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2 此方程只能直接應用于質(zhì)點。此方程只能直接應用于質(zhì)點。是作用于質(zhì)點的所有力的合力矢。是作用于質(zhì)點的所有力的合力矢。 iff或或第三定律第三定律 (作用與反作用定律作用與反作用定律) 兩物體間相互作用的力總是同時存在，且大小相等、方兩物體間相互作用的力總是同時存在，且大

4、小相等、方向相反、沿同一直線。向相反、沿同一直線。 作用與反作用定律對研究質(zhì)點系動力學問題具有重要意作用與反作用定律對研究質(zhì)點系動力學問題具有重要意義。它給出了質(zhì)點系中各質(zhì)點間相互作用的關(guān)系，從而使質(zhì)義。它給出了質(zhì)點系中各質(zhì)點間相互作用的關(guān)系，從而使質(zhì)點動力學的理論能推廣應用于質(zhì)點系。點動力學的理論能推廣應用于質(zhì)點系。2、慣性參考系、慣性參考系適用牛頓定律的參考系稱為適用牛頓定律的參考系稱為慣性參考系慣性參考系。 什么樣的參考系可以作為慣性參考系呢什么樣的參考系可以作為慣性參考系呢? 實踐結(jié)果證明實踐結(jié)果證明 ：在絕大多數(shù)工程問題中，可取固結(jié)于地球的坐標系為慣性在絕大多數(shù)工程問題中，可取固結(jié)于

5、地球的坐標系為慣性參考系。參考系。 對需考慮地球自轉(zhuǎn)影響的問題（如由地球自轉(zhuǎn)而引起的河對需考慮地球自轉(zhuǎn)影響的問題（如由地球自轉(zhuǎn)而引起的河流沖刷，落體對鉛直線的偏離等）必須選取以地心為原點而流沖刷，落體對鉛直線的偏離等）必須選取以地心為原點而三個軸指向三顆三個軸指向三顆“遙遠恒星遙遠恒星”的坐標系作為慣性參考系，即的坐標系作為慣性參考系，即所謂的地心參考系。所謂的地心參考系。在天文計算中，則取日心參考系，即以太陽中心為坐標原在天文計算中，則取日心參考系，即以太陽中心為坐標原點，三個軸指向三顆點，三個軸指向三顆“遙遠恒星遙遠恒星”。相對慣性參考系作勻速直線平動的參考系，也是慣性參考系。相對慣性參考

6、系作勻速直線平動的參考系，也是慣性參考系。 3、單位制和量綱、單位制和量綱（1）單位制）單位制現(xiàn)在普遍采用國際單位制現(xiàn)在普遍采用國際單位制 (si)。 在在f=ma中，涉及到四個量，每個量都必須用一適當?shù)膯沃?，涉及到四個量，每個量都必須用一適當?shù)膯挝粊矶攘?。在應用公式時，并不是每個量的單位都可以任意位來度量。在應用公式時，并不是每個量的單位都可以任意規(guī)定的。其中只有三個量的單位是可以任意選取的，它們的規(guī)定的。其中只有三個量的單位是可以任意選取的，它們的單位稱為單位稱為基本單位基本單位，這三個量稱為，這三個量稱為基本量基本量；第四個量的單位；第四個量的單位可根據(jù)公式由基本單位導出，稱為可根據(jù)公式

7、由基本單位導出，稱為導出單位導出單位，這個量相應地，這個量相應地稱為稱為導出量導出量 。選取不同的基本單位，就形成不同的單位制。選取不同的基本單位，就形成不同的單位制。 國際單位制：以長度、時間和質(zhì)量的單位為基本單位，分別國際單位制：以長度、時間和質(zhì)量的單位為基本單位，分別為米為米(m)、秒、秒(s)和千克和千克(kg)；力是導出量，等于質(zhì)量與加速度；力是導出量，等于質(zhì)量與加速度的乘積，力的單位是導出單位。的乘積，力的單位是導出單位。 質(zhì)量為質(zhì)量為1kg 的質(zhì)點要產(chǎn)生的質(zhì)點要產(chǎn)生 1m/s2 的加速度，作用在該質(zhì)的加速度，作用在該質(zhì)點上的力的大小為點上的力的大小為1kg1m/s21kgms2m

8、fa（2）量綱）量綱 表示某一物理量由哪幾個基本量按什么規(guī)律組成的式表示某一物理量由哪幾個基本量按什么規(guī)律組成的式子，稱為該物理量的量綱或因次。子，稱為該物理量的量綱或因次。 在國際單位制中，基本量為長度、時間和質(zhì)量，它們在國際單位制中，基本量為長度、時間和質(zhì)量，它們的量綱分別用的量綱分別用l、t、m表示，其它量的量綱都可表示為這表示，其它量的量綱都可表示為這三個量綱的函數(shù)。三個量綱的函數(shù)。 例如：加速度的量綱是例如：加速度的量綱是lt2，而力的量綱是，而力的量綱是mlt2。 力的單位是：力的單位是：kgms2 。 令令1kgms2 = 1n（稱為（稱為1牛）牛） 注意注意：量綱與單位是兩個不

9、同的概念。：量綱與單位是兩個不同的概念。 一個物理量的量綱是一定的，但它的大小可用不同的單一個物理量的量綱是一定的，但它的大小可用不同的單位來度量。位來度量。 物理量的量綱還可以用來檢驗方程的正確性。物理量的量綱還可以用來檢驗方程的正確性。 在同一方程中，各項的量綱必須相同。如果一個方程各在同一方程中，各項的量綱必須相同。如果一個方程各項的量綱不盡相同，則可以斷定該方程必定是錯誤的。項的量綱不盡相同，則可以斷定該方程必定是錯誤的。 在作數(shù)字計算時，還必須做到同一個量的單位要相同。在作數(shù)字計算時，還必須做到同一個量的單位要相同。 例如長度的量綱是例如長度的量綱是l，但可用米、毫米、千米等作為度，

10、但可用米、毫米、千米等作為度量長度的單位。量長度的單位。 9-2 9-2 質(zhì)點運動微分方程質(zhì)點運動微分方程（2 ）質(zhì)點運動微分方程在直角坐標軸上的投影）質(zhì)點運動微分方程在直角坐標軸上的投影222222ddd,dddxyzxyzmf mf mfttt或?qū)憺榛驅(qū)憺橘|(zhì)點動力學基本方程質(zhì)點動力學基本方程:（1）矢量形式的質(zhì)點運動微分方程）矢量形式的質(zhì)點運動微分方程22ddimt rfim af1、質(zhì)點運動微分方程、質(zhì)點運動微分方程22ddimt rf2、質(zhì)點動力學的兩類基本問題、質(zhì)點動力學的兩類基本問題 第一類基本問題：已知運動求力第一類基本問題：已知運動求力.第二類基本問題：已知力求運動第二類基本問

11、題：已知力求運動.混合問題混合問題：第一類與第二類問題的綜合第一類與第二類問題的綜合.由于由于tn,aaan故有故有2ttnb,0vmaf mff（3）質(zhì)點運動微分方程在自然軸上的投影）質(zhì)點運動微分方程在自然軸上的投影b0a 第一類基本問題：已知運動求力，屬于微分問題。第一類基本問題：已知運動求力，屬于微分問題。22ddxxmft例如已知質(zhì)點運動方程：例如已知質(zhì)點運動方程：( )xx t將運動方程對時間求兩階導數(shù)，代入質(zhì)點運動微分方程：將運動方程對時間求兩階導數(shù)，代入質(zhì)點運動微分方程： 求作用于質(zhì)點上的力求作用于質(zhì)點上的力fx即可求得力即可求得力fx第二類基本問題：已知力求運動，屬于積分問題。

12、第二類基本問題：已知力求運動，屬于積分問題。 作用于質(zhì)點的力可以是常力或變力，變力可能是時作用于質(zhì)點的力可以是常力或變力，變力可能是時間、質(zhì)點的位置坐標、速度的函數(shù)，只有當函數(shù)關(guān)系較間、質(zhì)點的位置坐標、速度的函數(shù)，只有當函數(shù)關(guān)系較簡單時，才能求得微分方程的精確解；如果函數(shù)關(guān)系復簡單時，才能求得微分方程的精確解；如果函數(shù)關(guān)系復雜，有時只能求出近似解。雜，有時只能求出近似解。 此外，求解微分方程時將出現(xiàn)積分常數(shù)，這些積分常此外，求解微分方程時將出現(xiàn)積分常數(shù)，這些積分常數(shù)須根據(jù)質(zhì)點運動的數(shù)須根據(jù)質(zhì)點運動的初始條件，初始條件，即初速度和初位置坐標即初速度和初位置坐標來確定。所以，對于這一類問題，除了需

13、要已知作用于來確定。所以，對于這一類問題，除了需要已知作用于質(zhì)點的力以外，還必須知道質(zhì)點運動的初始條件，才能質(zhì)點的力以外，還必須知道質(zhì)點運動的初始條件，才能完全確定質(zhì)點的運動。完全確定質(zhì)點的運動。例如，當作用于質(zhì)點上的例如，當作用于質(zhì)點上的力力fx是常量或時間的函數(shù)時是常量或時間的函數(shù)時，求質(zhì)，求質(zhì)點運動方程：點運動方程：( )xx t將質(zhì)點運動微分方程將質(zhì)點運動微分方程 積分：積分： ddxxm vft22ddxxmft22ddddxxvxmmftt00ddxxvtxxvfvtm00dtxxxfvvtmddxt0000(d )dttxxfxxv tttm 再積分一次，得運動方程再積分一次，得

14、運動方程當作用于質(zhì)點上的當作用于質(zhì)點上的力力fx是位置坐標是位置坐標x的函數(shù)的函數(shù)時，求質(zhì)點的運動。時，求質(zhì)點的運動。將質(zhì)點運動微分方程將質(zhì)點運動微分方程 分離變量，以便積分分離變量，以便積分ddxxvmftddddxxvmxfxtddxxxfvvxm00ddxxvxxxxvxfvvxm當作用于質(zhì)點上的當作用于質(zhì)點上的力力fx是速度是速度vx的函數(shù)的函數(shù)時，求質(zhì)點的運動。時，求質(zhì)點的運動。將質(zhì)點運動微分方程將質(zhì)點運動微分方程 分離變量，以便積分分離變量，以便積分ddxxvmftddxxvmtf00ddxxvtxvxvmtf例例 曲 柄 連 桿 機 構(gòu) 如 圖 所 示曲 柄 連 桿 機 構(gòu) 如

15、圖 所 示 . 曲 柄曲 柄 o a 以 勻 角 速 度以 勻 角 速 度 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動,oa=r,ab=l,當當 比較小時比較小時,以以o 為坐標原點為坐標原點,滑塊滑塊b 的運的運動方程可近似寫為動方程可近似寫為 lr /ttrlx2cos4cos412 如滑塊的質(zhì)量為如滑塊的質(zhì)量為m, 忽略忽略摩擦及連桿摩擦及連桿ab的質(zhì)量的質(zhì)量,試求當試求當 和和 時時 ，連桿，連桿ab所受的力所受的力.20t20t解解: :研究滑塊研究滑塊cosfmax其中其中ttrxax2coscos2 當當20,1,0 xar 時且12mrflrlrax222cos,2且時當lrlfmr2222222rlmrf屬于

16、動力學第一類問題。屬于動力學第一類問題。ttrlx2cos4cos412例例 套筒重套筒重p，在介質(zhì)中沿導桿下滑，受到大小為，在介質(zhì)中沿導桿下滑，受到大小為f0.2pv（v以以m/s計）的阻力的作用，試求：計）的阻力的作用，試求：1、套筒能達到的最大速度；、套筒能達到的最大速度；2、套筒達到、套筒達到2m/s速度所需要的時間。速度所需要的時間。p34fp34解解 取套筒研究取套筒研究fnfxyo35pxpfg(3)5gxvf0.2pv1、求套筒能達到的最大速度、求套筒能達到的最大速度 當套筒達到的最大速度時，當套筒達到的最大速度時，a=0 。得得max3m/svvmaxv稱為極限速度。稱為極限

17、速度。(3)5gxv令令0p34fnfxyof0.2pv2、求套筒達到、求套筒達到2m/s速度所需要的時間速度所需要的時間 (3)5gxv由式由式得得dd35vgtv00dd35vtvgtv3ln35gtv當當2m/sv 時，得時，得5ln30.56stg屬于動力學第二類問題。屬于動力學第二類問題。例例 一圓錐擺一圓錐擺,如圖所示。質(zhì)量如圖所示。質(zhì)量 m=0.1kg 的小球系于長的小球系于長 l=0.3 m 的繩上，繩的另一端系在固定點的繩上，繩的另一端系在固定點o，并與鉛直線成，并與鉛直線成 角。角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求小球的速度如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求小球的速度 v

18、 與繩的張與繩的張力力f。60n96. 1cosmgfsm1 . 2sin2mflv屬于混合問題。屬于混合問題。cos0fmg2sinvmfsinl其中其中解：研究小球解：研究小球60m=0.1kgl=0.3 m例例 銷釘銷釘 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 0.2 kg，由水平槽桿帶動，使其在半徑為，由水平槽桿帶動，使其在半徑為mmm 200rmm/s 400vm的固定半圓槽內(nèi)運動。設水平槽桿以勻速的固定半圓槽內(nèi)運動。設水平槽桿以勻速向上運動，不計摩擦。向上運動，不計摩擦。的作用力。的作用力。 求求 在圖示位置時圓槽對銷釘在圖示位置時圓槽對銷釘 解解 取銷釘取銷釘m 研究研究受力分析受力分析nfmgf水平槽對水平槽對 m 的約束力為的約束力為fn，圓槽對圓槽對 m 的約束力為的約束力為f。e0.4m/svve0.42cos303mvv22n20.441.07 m/s0.23mmvar速度與加速度分析速度與加速度分析ntrmmmaaaamvevrv動點：銷釘，動系：水平槽桿動點：銷釘，動系：水平槽桿tmaran