2022年《實變函數》試卷一與參考答案

1、精品資料歡迎下載學院第學年度第學期實變函數試卷一專業(yè)_ 班級_ 姓名學號注 意 事 項1、本試卷共 6 頁。 2、考生答題時必須準確填寫專業(yè)、班級、學號等欄目，字跡要清楚、 工整。一、單項選擇題 （3 分5=15分）1、1、下列各式正確的是（）（a）1limnknnknaa ; （b）1limnknknnaa ; （c）1limnknnknaa ; （d）1limnknknnaa ; 2、設 p為 cantor 集，則下列各式不成立的是（）（a）p c (b) 0mp (c) pp (d) pp3、下列說法不正確的是（）(a) 凡外側度為零的集合都可測（b）可測集的任何子集都可測(c) 開集和

2、閉集都是波雷耳集（d）波雷耳集都可測4、設( )nfx是 e 上的. .a e有限的可測函數列 , 則下面不成立的是 ( ) 題號一二三四五總分得分得 分考生答題不得超此線精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載（a）若( )( )nfxf x, 則( )( )nfxf x (b)sup( )nnfx是可測函數（c） inf( )

3、nnfx是可測函數 ; （d）若( )( )nfxf x,則( )f x可測5、設 f(x) 是,ba上有界變差函數，則下面不成立的是（）(a)(xf在,ba上有界 (b)(xf在,ba上幾乎處處存在導數（c ）)(xf在,ba上 l 可積 (d) baafbfdxxf)()()( 二. 填空題 (3 分5=15分)1、()()ssc ac baab_ 2、設 e是 0,1 上有理點全體，則e =_,oe=_,e=_. 3、設e是nr中點集，如果對任一點集t都有_ ，則稱 e是 l 可測的4、)(xf可測的 _條件是它可以表成一列簡單函數的極限函數. （填“充分”， “必要” ， “充要” ）

4、5 、 設( )f x為,a b 上 的 有 限 函 數 ， 如 果 對 于,a b 的 一 切 分 劃 ， 使_, 則 稱( )f x為, a b 上的有界變差函數。三、下列命題是否成立?若成立 , 則證明之 ; 若不成立 , 則舉反例說明 .(5 分4=20分)1、設1er ，若e是稠密集，則 ce是無處稠密集。2、若0me，則 e 一定是可數集 . 得 分得 分精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

5、- 第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載3、若|( )|f x是可測函數，則( )f x必是可測函數。4設( )f x在可測集 e 上可積分，若,( )0 xe fx，則( )0ef x四、解答題 （8 分2=16分）. 1、 （8分）設2,( )1,xxf xx為無理數為有理數，則( )f x在 0,1 上是否 r可積，是否 l可積，若可積，求出積分值。得 分精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - -

6、- - - - - - - - - 第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載2、 （8分）求0ln()limcosxnxnexdxn五、證明題 （6 分4+10=34分）. 1、 （6 分）證明 0,1 上的全體無理數作成的集其勢為c.2 、 （ 6 分 ） 設( )f x是,上 的 實 值 連 續(xù) 函 數 ， 則 對 于 任 意 常 數得 分精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

7、 - - - 第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載,|( )a ex fxa是閉集。3、 （6 分）在, a b 上的任一有界變差函數( )f x都可以表示為兩個增函數之差。4、 （6 分）設,( )mef x在 e 上可積，(|)neefn，則 lim0nnn me.精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -

8、精品資料歡迎下載5、（10分） 設( )f x是 e上. .a e有限的函數，若對任意0， 存在閉子集fe，使( )fx在f上連續(xù)，且()m ef，證明：( )f x是 e 上的可測函數。 (魯津定理的逆定理 ) 試卷一（參考答案及評分標準）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載一、1. c 2 d 3. b 4. a 5. d

9、 二、12、 0,1 ；0,13、*()()m tm tem tce4、充要5、11|()() |niiif xf x成一有界數集。三、1錯誤 2 分例如：設 e是 0,1 上有理點全體，則 e 和 ce都在 0,1 中稠密 .5 分2錯誤 2 分例如：設 e 是cantor 集，則0me，但ec ， 故其為不可數集 .5 分3錯誤 2 分例如：設 e是, a b 上的不可測集，,;( ),;x xef xx xa be則|( )|f x是,a b上 的 可 測 函 數 ， 但( )f x不 是, a b上 的 可 測 函數.5 分4錯誤 2 分0me時，對 e上任意的實函數( )f x 都有

10、( )0ef x dx5 分四、 1( )f x在 0,1 上不是 r可積的，因為( )f x僅在1x處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集 .3 分因為( )f x是有界可測函數，( )f x在 0,1 上是l可積的 6 分因為( )f x與2x. .a e相等，進一步，120,101( )3f x dxx dx8 分2解：設ln()( )cosxnxnfxexn，則易知當n時，( )0nfx.2分又因2ln1 ln0tttt，(3t)，所以當3,0nx時，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -

11、精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載ln()ln()ln3ln3(1)33xnnxxnnxxnnxnn 4 分從而使得ln 3|( ) |(1)3xnfxx e6 分但是不等式右邊的函數，在0,上是 l 可積的，故有00lim( )lim( )0nnnnfx dxfx dx8 分五、1設0,1,e,().aeq beeqbmb是無限集，可數子集 2 分.aamm是可數集，.3 分(),(),()(),(),bmb meabambmambmmbm且 .5 分,.ebbc6

12、 分2,limnnnxeexxx則存在 中的互異點列使.2 分,()nnxefxa.3 分( )( )lim()nnf xxf xf xa在 點連續(xù)，xe5 分e是閉集 .6 分3.對1，0，使對任意互不相交的有限個(,)( , )iia ba b當1()niiiba時，有1( )()1niiif bf a 2 分將 , a bm等 分 ， 使11niiixx， 對:t101ixzzkizx， 有11()()1kiiifzfz，所以( )f x在1,iixx上是有界變差函精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 9 頁 - - -

13、- - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載數.5 分所 以1()1 ,iixxfv從 而()bafmv， 因 此 ，( )f x是 , a b上 的 有 界 變 差 函數.6 分4、( )fx在 e 上可積lim(|)(|)0nmefnmef2 分據積分的絕對連續(xù)性，0,0,eeme，有|()|efxdx.4 分對 上 述0 ,( |knkm efn， 從 而|( ) |nnen mefxdx， 即l i m0nnnm e 6 分5,nn存在閉集1,( )2nnnfe m eff x在nf連續(xù)2 分令1nknkff，則,nnn kxfk xfnk xff x在f連續(xù)4 分又對任意 k,()()nnn kn km efm efmef1()2nkn km ef.6 分故()0,(