高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式課件 蘇教版必修5

1、第2章 2.2等差數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1.掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.2.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的重要性質(zhì).3.能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的通項(xiàng)公式思考答案等差數(shù)列an中，首項(xiàng)為a1，公差為d，如何用a1，d表示an?ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1dddda1(n1)d. (n1)個(gè)梳理梳理一般地，ana1(n1)d稱為等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1和公差d能表示出通項(xiàng)公式ana1(n1)d，如果已知第m項(xiàng)am和公差d，又如何表示通項(xiàng)公式an?知識(shí)點(diǎn)二等差

2、數(shù)列通項(xiàng)公式的幾何意義思考答案設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，則ama1(m1)d，變形得a1am(m1)d，則ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.還記得高斯怎么計(jì)算123100的嗎？知識(shí)點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)思考答案利用1100299.梳理梳理在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和.即a1ana2an1a3an2.注意到上式中的序號(hào)1n2(n1)，有：在等差數(shù)列an中，若mnpq(m，n，p，qn*)，則aman .特別地，若mn2p，則anam .apaq2ap題型探究類型一求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式例例1甲蟲是行動(dòng)較快的昆蟲之一，下表記錄了某種類型的甲蟲的

3、爬行速度：解答時(shí)間t(s)123？60距離s(cm)9.819.629.449？(1)你能建立一個(gè)等差數(shù)列的模型，表示甲蟲的爬行距離和時(shí)間之間的關(guān)系嗎？由題目表中數(shù)據(jù)可知，該數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)9.8，所以該模型是一個(gè)等差數(shù)列模型.因?yàn)閍19.8，d9.8，所以甲蟲的爬行距離s與時(shí)間t的關(guān)系是s9.8t.(2)利用建立的模型計(jì)算，甲蟲1 min能爬多遠(yuǎn)？它爬行49 cm需要多長(zhǎng)時(shí)間？當(dāng)t1 min60 s時(shí)，s9.8t9.860588(cm).解答由于anam(nm)d，要求通項(xiàng)公式，只需求出該數(shù)列的任意一項(xiàng)和公差.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列an：3,7,1

4、1,15，.(1)135,4m19(mn*)是an中的項(xiàng)嗎？試說(shuō)明理由；解答a13，d4，ana1(n1)d4n1.令an4n1135，n34，135是數(shù)列an中的第34項(xiàng).令an4n14m19，則nm5(m，nn*).4m19是數(shù)列an中的第m5項(xiàng).(2)若ap，aq(p，qn*)是數(shù)列an中的項(xiàng)，則2ap3aq是數(shù)列an中的項(xiàng)嗎？并說(shuō)明你的理由.解答ap，aq是數(shù)列an中的項(xiàng)，ap4p1，aq4q1.2ap3aq2(4p1)3(4q1)8p12q54(2p3q1)1，其中2p3q1n*，2ap3aq是數(shù)列an中的第2p3q1項(xiàng).類型二等差數(shù)列通項(xiàng)公式及推廣形式的應(yīng)用命題角度命題角度1列方程

5、列方程(組組)求基本量求基本量例例2在等差數(shù)列an中，已知a25，a817，求數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式.解答所以ana1(n1)d3(n1)22n1.方法二因?yàn)閍8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因?yàn)閍na2(n2)d，所以an5(n2)22n1.反思與感悟把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1，d的方程組求解，是一種常用思想，稱為方程思想.靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運(yùn)算量.解答跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2等差數(shù)列an為遞減數(shù)列，且a2a416，a1a528，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.又a1a5，故a114，a52，d3，故an143(n1)173n.解答取數(shù)列an中任意相鄰兩項(xiàng)an和an1(n1)，求差得

6、anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以an是等差數(shù)列.由于anpnqqp(n1)p，所以首項(xiàng)a1pq，公差dp.命題角度命題角度2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與一次函數(shù)關(guān)系等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與一次函數(shù)關(guān)系例例3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anpnq，其中p，q為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，首項(xiàng)和公差分別是多少？反思與感悟從通項(xiàng)公式代數(shù)特點(diǎn)上看，anknb(k，b為常數(shù)，nn*)an是等差數(shù)列.其中公差為k.借助這一性質(zhì)可以迅速判斷某數(shù)列是否為等差數(shù)列，但不宜用來(lái)證明.證明要用定義：an1and，nn*.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3若an是等差數(shù)列，下列數(shù)列中仍

7、為等差數(shù)列的有_個(gè).|an|；an1an；panq(p，q為常數(shù))；2ann.3設(shè)anknb，則an1ank，故為常數(shù)列，也是等差數(shù)列.panqp(knb)qpkn(pbq)，故為等差數(shù)列.2ann2(knb)n(2k1)n2b，故為等差數(shù)列.不一定是等差數(shù)列，如an2n4，則|an|的前4項(xiàng)為2,0,2,4，顯然|an|不是等差數(shù)列.答案解析類型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例例4已知等差數(shù)列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.解答方法一因?yàn)閍1a72a4，所以a1a4a73a415，即a45.又因?yàn)閍2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)

8、(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.方法二設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5，由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，將代入上式，得(a1d)5(52d)45，即(a1d)(52d)9，解，組成的方程組，得a11，d2或a111，d2，所以an12(n1)2n3或an112(n1)2n13.引申探究引申探究1.在本例中，不難驗(yàn)證a1a4a7a2a4a6，那么，在等差數(shù)列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sn*，是否有amanapaqaras?解答設(shè)公差為d

9、，則ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.2.在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.答案解析20a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.反思與感悟解決等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般方法：一是靈活運(yùn)用等差數(shù)列an的性質(zhì)；二是利用通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差求解，屬于通項(xiàng)方法；或者兼而有之.這些方法都運(yùn)用了整體代換與方

10、程的思想.解答跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4在等差數(shù)列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值.方法一(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差數(shù)列.a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13.a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33，a14d11.a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.當(dāng)堂訓(xùn)練1.在等差數(shù)列an中，已知a310，a820，則公

11、差d_.答案解析12346由等差數(shù)列的性質(zhì)得a8a3(83)d5d，2.在等差數(shù)列an中，已知a42，a814，則a15_.由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.1234答案解析353.等差數(shù)列an中，a4a515，a712，則a2_.1234答案解析由數(shù)列的性質(zhì)，得a4a5a2a7，所以a215123.312344.下列命題中正確的是_.若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列；若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列；若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列；若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列.答案解析a，b，c為等差數(shù)列，2bac，2(b2)(a2)(c2)，a2，b2，c2成等差數(shù)列.規(guī)律與