高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案時(shí)間，20xx/3/18注意：本試卷均為解答題.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.總分150分, 考試時(shí)間120分鐘.1.（本小題總分值15分）設(shè)集合 4 = x|x2 -3x+2 = 0,b = x|x' + 2（ + l）x + （" -5）= o,e ,<1）假設(shè)an/j = 2求”的值；<2）假設(shè)ajr = a，求。的取值范圍：<3）假設(shè)u = r,api（gb）=a,求”的取值范圍.2.(本小題總分值 15 分)設(shè)m = xf(x)=x,n = (x|/(x)=x,< 1)求證：m c n:（2） /"）

2、為單調(diào)函數(shù)時(shí)，是否有m =n ?請(qǐng)說明理由.3. (本小題總分值15分)己知函數(shù) f (x) = 2(sin4 x + cos4 x) 4-/(sinx + cos.r)4在 xe|0.y有最大值 5, 求實(shí)數(shù)m的值.4. (本小題總分值15分)函數(shù)人0在r上滿足fi2-x) =fi2+x). fil-x) =/(7+x).r在閉區(qū)間0.7上，只有項(xiàng)1)=用)=0,試判斷函數(shù)y=j(x)的奇偶性：(2)試求方程av)=0在閉區(qū)間一2 011,2 011 上根的個(gè)數(shù).并證明你的結(jié)論.5. (本小題總分值15分)己知二次函數(shù)/3 = “小+*+1 (。力cr“>0),設(shè)方程f(x) = x的

3、兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 和弓.(1) 如果<2 <x2 <4 9設(shè)函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸為尤=孔，求證：x0 > -1 ；(2) 如果國(guó)<2,區(qū)一也|=2,求力的取值范圍.6. （本小題總分值15分）如圖，直三棱柱abc-a&c中，ac = bc = aa,。是棱aa的中點(diǎn),dc, ± bd -(1) 證明：dqbc:(2) 求二面角a - bd-g的大小。7. (本小題總分值15分)在平面直角坐標(biāo)系刀。，中，設(shè)二次函數(shù) f(=x+2x+b(x er)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn).經(jīng)過三點(diǎn)的圓記為c(1) 求實(shí)數(shù)力的取值范圍：(2) 求圓(的方程：(3) m。

4、是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與力無美)？靖證明你的結(jié)論.8. （本小題總分值20分）設(shè)f （x）是定義在r上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線后1對(duì)稱, 對(duì)任意xbx：g0.:都有/6+芯）=/（印/（巴）且f（1）=a>0.（| > 求/（!）,/（!）；24（ii）證明/（同是周期函數(shù)：（iii）記 = /（2/1 +-）,求 lim（ln % ）.9.(本小題總分值20分)設(shè)/(x)是r上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 。時(shí)，/(x) = lg(x2 -or+10) ae r.(1) 假設(shè)/(d = lg5,求f(x)的解析式：(2) 假設(shè) =0,不等式/(a2') + /(4'+a + 1

5、)a0恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍：(3) 假設(shè)/()的值域?yàn)閞,求召的取值范圍.高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案1、解：a = 1,2(1) 9： acb = 2:. 2 elf即，22+2(。+ 1)2 + (。25) = 0,解得 =-3如=-1 當(dāng)=. 3 時(shí)，« = (r|x2-4x + 4 = o=2 當(dāng)” =1 時(shí).8 = 曰/一4 =()=22綜上 a 6 (-1,-3(2) ajb = a:.bq a 當(dāng)b時(shí)，那么該一元二次方程無解，即«,.2（心1）-4.（/一5）<0,即"<-3 當(dāng)b® 時(shí)，那么該一元二次方程有解，即no,即“2

6、-31. 當(dāng) =一3 時(shí)，b = 12. 當(dāng)"> -3時(shí),該一元二次方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根1和2r51 + 2 = -2(“ +1),即。=212 = </-5,即a = ±v?(舍)，.綜上。e(8,(3) :ar(cub) = a:.acb = 當(dāng)«時(shí)，即 v-3, b = e，滿足要求 當(dāng)二0時(shí)，即 =一3, b = 2, adah。，舍 當(dāng)（）"，即>一3，所以只缶1任8且將1代入方程中得。=t 士、&將2代入方程中得。=-3或 =-i 所以。/一3、"工-1 和qh-1 士 j5綜上，“的取值范圍為（-8l3）

7、u（-3.t-75）u（t->5li）u（-1l1 + v5）u（-1 + v5e）2、證明：(1)假設(shè),竹=們顯然有mqn,假設(shè)m牙口,那么存在,滿足/(&) = "所以 ) = / (o ) = xo ,故吒 gn.所以 m ;n;(2) m=n.用反證法證明假設(shè)m會(huì)n ,由于m c n ,必存在r, n.但 x, m 9 因此/(x, ),假設(shè)/«)>%,由于/為單調(diào)增函數(shù)，所以/h)>/h)»即，矛盾；假設(shè)/皿,由于/(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以/(&)</(占)，即</(%),矛盾。綜合、可知/(.功小，因此 e

8、m,與假設(shè)矛盾， 所以假設(shè)不能成立，即m = n.3、解：/(x) = 2(sin2 a +cos2 x)2 -4sin2 xcos2 a +，(sinx + cosx)“=2 (2sin acosx)2 + /(sin x + cosx)4令 t = sin x + 8s x = visin(x + ) e l v2.4那么2sinxcosx = / -1,從而/(x) = 2-(/2 - i)2 +/ =(】一 1) +2z? +1 令u = r e|l, 2,由題意知g(") = (i-l)2 +2w +1 在w el, 2仃最大值 5.當(dāng)川-1=0時(shí)，g(“)= 2 + l在

9、 =2時(shí)有最大值5.故j = 1符合條件；當(dāng) w -1 > 0 時(shí)，g(z/)max i(2)>2x2 + l =5.矛盾！當(dāng) m -1 < 0 時(shí),g(“)v 2 +1 £ 5 ,矛盾！綜上所述，所求的實(shí)數(shù)m = l.l解(1)假設(shè)y=/lr)為偶函數(shù)，那么頂一x)=k2-(x+2)=/l2+cr+2)= 頂 4+x)=/u),.頊7)=/13)=0,這與處)在閉區(qū)問0,7上，只有/u)=3)=o矛盾；因此/u)不是偶函數(shù).假設(shè) y=ax)為奇函數(shù)，那么/10)=人一0)=/10),./0)=0,這些/u)在閉區(qū)間0,7上，只有/u)=k3)=0矛盾；因此頂x)不

10、是奇函數(shù).綜上可知：函數(shù)/u)既不是奇函數(shù)也不是信函數(shù)./u)=/12+(x-2)=2-cr-2)=/(4-x),/tr)=7+cr-7)=/n-(x7)=/u4x),./i14-x)=/l4-x),即10+(x-4)=/m-x) ./u+io)=kx),即函數(shù)"n的周期為io. 又.頂1)=汽3)=0, .ju)=/u + 10/，)=0(gz), 3)=/(3+lo)=o(gz),即 x= l + 10/i 和 x=3+10(wz)均是方程>1x)=0 的根.由一2 011wl + 10w2 011 及cz 可得 =0, ±1, ±2, ±3,

11、，±201,共 403 個(gè)；由一2 011w3+10w2 011 及缶z 可得 =0, ±1, ±2, ±3,，±200, 201,共 402 個(gè)；所以方程ax)= 0在閉區(qū)間1-20xx,20xx上的根共有805個(gè).5、解：設(shè)g(x) = /(x)-x = a?+(一1)*+1，那么 g(x) = 0的二根為x和吐.(1)由>0及石<2<2<4,可得40,即1位 + 4一3>034-3-<0f2a 4a-4-2- + <(),2a 4a兩式相加得gvl,所以，易>一1；2a(2) 由(x.-xj

12、2 =()2-,可得 2. + 1= 頂+1.a a又=一>0,所以工",問號(hào). ax<2. |沔一|=2等價(jià)于，0 < x. <2 <x2“ + l = j(b 1)2 + 1 或g(2)>0< a?(0) > 02 + 1 = js-w + l*2) > 0或 g(0) > 02a + l = -滬+1解之得b<或/，>；446、【解析】(1)在rtadac中，ad = ac得：zadc = 45”同理：z/x； =45 =>zcdc； =90&得：dc.ldc.dc.lbddc.l 面 bcd

13、n £x； l 8c(2) dc、上 bc.cq l bc n bc1 面 acga=>3cl4c取a3的中點(diǎn)。，過點(diǎn)。作oh lbd于點(diǎn).連接c0chag = &g=c;o«laq,面arg 1 面affo=>cto±面oh lbdc.h lbd得：點(diǎn)與點(diǎn)d至合且cdo是二面角a - bd-c,的平面角設(shè)ac = a.那么co =號(hào)，go = m = 2gon/qdo = 3(y既二面角4 一 bo-c的大小為307、【解答】(1)令x=0,得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0, b)；令f(x)=x2+2x+b=09由鬼意質(zhì)0且j>0,解得8v1

14、且力。0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+r+dx+ey+f=0.令y=0得x2+/)x+f=0,這與x2+2x+b=(i是同一個(gè)方程.故。=2, f=b.令x=0得v+y+)=0,此方程有一個(gè)根為加代入得出e=-b-l.所以bq c的方程為尸+尸+*0+1)+8=0.(3) 圓c必過定點(diǎn)，證明如下：假設(shè)ibcii定點(diǎn)(出，)(血，只不依賴于8),將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓c的方程， 并變形為對(duì)+)咕+2xqv(i+z>( 1 火)=0.()為使(*)式對(duì)所有滿足5<1俗尹0)的力都成立，必須有1 一火=0,結(jié)合(*)式得n+ ji+2xo)x»=o,經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0.1), (

15、 2,1)均在圓c上，因此，圓c過定點(diǎn).分析：由處）是定義在"的例函數(shù)嘲象零焉稱由圖象關(guān)于宜線x=1對(duì)稱頊/0-x）力兩項(xiàng)2-力由對(duì)任意x、x“h；，邦有/(x x;) = /(x )fix i/(1) = < >0處頃責(zé)展修。狷附洋(i四要證明/(x)周期函數(shù)，只需證明:八5./«)/(l-x)=/(l+x)/(x) = /(2-x)/h) = /(x)/(-)=/(2+x)=/(x)所以t=2要求 liming)in珈 = /（2 +土） =2*（2混撲心）/（i）=尼+£+-+£）+（土+£+£）n 耕佰）卜機(jī)土）2仙4冬= /(2” + 5)kliming >o一>x9、解:(1)因?yàn)閒=也5,那么/(x) = lg(ll-? = lg5,所況=6所以 當(dāng)¥<0111, /(a) = -/(-x) = -lg(r + 6x +10),又f(0) = 0,故lg(x2 -6x+10)»x>0仙=凸=0-lg(x2 +6x+10),x<0假設(shè) =0,貝/在/?上單調(diào)遞增，故如2勺+ /(4'+a + l)>0等價(jià)于l2w