教學(xué)設(shè)計(jì)平面向量的數(shù)量積

1、平面向量的數(shù)量積教案一、教學(xué)目的：1.掌握平而向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平而向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3.了解用平而向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平而向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平而向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：復(fù)習(xí)課教具：多媒體教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.向量共線定理；2.平面向量基本定理；3.平而向量的坐標(biāo)表示；4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算二、講解新課：1.兩個(gè)非零向星夾角的概念己知非零向量a與b,則ZAO B= 9 ( 0 WOWJI)叫a與b的夾角.說明：(1)當(dāng)。=0時(shí)，a與b同向；(2)當(dāng)0=兀時(shí)

2、，a與b反向；(3)當(dāng)0 =90度時(shí)，a與b垂直，記a丄b；(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它 們的夾角是o ,則數(shù)W： I a | b cos叫a與b的數(shù)量積，記作a b,即有a b = a|b|cos ,（0 W（）W 兀）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1） 兩個(gè)向量的數(shù)暈積是一個(gè)實(shí)數(shù)， 不是向量， 符號(hào)由cos的符 號(hào)所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積aXb,而a b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分. 符號(hào)“”在

3、向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“X”代替.3.“投影”的概念：作圖定義：|b | cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)夾角為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)夾角為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)夾角為直角時(shí)投影為0；4.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.三、講解范例：例1己知a =5,|b|=4,a與b的夾角0 =120o,求a*b.例2己知a =6,|b|=4,a與b的夾角為60o求(a+2b) (a3b).例3已知a =3,b二4,且a與b不共線，k

4、為何值時(shí)，向量a+kb與akb互相垂直.例4判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由.1a 0 = 0；。，a = 0:。一=:|a b| = |a|b|；若aHO,則對(duì)任一非零b有a bH0；a b = O,則a與b中至少有一個(gè)為0；對(duì)任意向量a , b , c都有(a b ) c = a(b c )；a與b是兩個(gè)單位向量，則a 2 = b 2 .解：上述8個(gè)命題中只有正確；對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0 a = 0；對(duì)于： 應(yīng)有0 a =0；對(duì)于：由數(shù)量積定義有丨a b丨=I a I丨b I I cos()丨 W 丨a| I b I ,這里0是a與b的夾角，只有()=0或0=開時(shí)， 才有|a b

5、| = |a|b|；對(duì)于：若非零向量a、b垂直，有a b = O；對(duì)于：由a b = 0可知a丄b可以都非零；對(duì)于：若a與c共線，記a =入c .則a*b = (Ac) b = X ( c b ) = X ( b c ),.( a*b) c = X ( b c ) c = ( b c ) X c = (b*c) a若a與c不共線，貝I(a b ) c H ( b c ) a .評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.例6己知|a|=3,| b 1=6,當(dāng)ab,a丄b,a與b的夾角是60時(shí)，分別求a b.解：當(dāng)ab時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角（） =0,：a b = I

6、 a I I b | cosO:=3X6X1 = 18；若a與b反向，則它們的夾角0=180 , a b = I a I I b I coslSO0=3X6X （-1） =-18；2當(dāng)a丄b時(shí)，它們的夾角0=90 ,/. a b = 0 ；3當(dāng)a與b的夾角是60時(shí)，有a b = I a I I b I cos60t:=3X6X=9評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0 ,180 ,因此，當(dāng)ab時(shí)，有0或180。兩種可能.四、課堂練習(xí)：1.已知|a|=l, |b|=,且-b）與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A. 60B. 30C. 135D. 4 502.己知ai=2, |b|=l,

7、 a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（）A. 2B. 2C. 6D. 123.已知a、b是非零向量,貝lj |a| = |b|是（a+b）與（a-b）垂直的（ ）A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件I a+b | | ab | =.5.已知a+b=2i8j, a-b=8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a*b=6.已知a丄b、c與a、b的夾角均為60 ,且|a|=b b二2, |c|=3,則(a+2b-c) 2 =_ .7.己知a|=l, b|=,若a/7b,求a b； (2)若8、b的夾角為60 ,求a+b i ； (3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角.8.設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量， 其夾角為6 0：i， 求