文科考研第六章無窮級數(shù)

1、1第六章第六章無窮級數(shù)無窮級數(shù)2 nnnuuuuu32111 1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和定義定義級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散3性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4

2、: :收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)4常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂4. 萊布尼茨定理萊布尼茨定理3. 按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);1.;,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若ssn2.;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun交錯級數(shù)交錯級數(shù)5.條件收斂條件收斂5定義定義0,1 nnnuu.有上界有上界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)

3、列正項(xiàng)級數(shù)收斂正項(xiàng)級數(shù)收斂ns2 2、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法充分必要條件充分必要條件:(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .6比較審斂法的極限形式：比較審斂法的極限形式：, ,設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù) 如果如果,limlvunnn , ,當(dāng)當(dāng)時時; ;則則(1) (1) 兩級數(shù)有相同的斂散性兩級數(shù)有相同的斂散性 l0 (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時時, , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, ,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ; l (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時

4、，若時，若收斂收斂, ,則則收斂收斂; ;0 l 1nnv 1nnu7幾幾何何級級數(shù)數(shù) 0nnaq, , 當(dāng)當(dāng)1| q時時收收斂斂；1| q時時發(fā)發(fā)散散； p級級數(shù)數(shù) 11npn, , 當(dāng)當(dāng)1 p時時收收斂斂；1 p時時發(fā)發(fā)散散； 特特別別, ,調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù) 11nn發(fā)發(fā)散散. . qa 1以下兩個級數(shù)是常用的比較對象：以下兩個級數(shù)是常用的比較對象： 8比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 d da al le em mb be er rt t 判判別別法法) ) 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu 則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂;1 時級數(shù)發(fā)

5、散時級數(shù)發(fā)散; 1 時失效時失效.根根值值審審斂斂法法 ( (柯柯西西判判別別法法) ) 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim)( 為為數(shù)數(shù)或或 , , 則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂; ; 1 時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; ;1 時失效時失效. .9定義定義 正正 、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯錯級級數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, , 則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1u

6、s , ,其其余余項(xiàng)項(xiàng) nr的的絕絕對對值值1| nnur. . )0( nu其中其中3 3、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法10定義定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù).定定理理 若若 1|nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂. 定定義義 若若 0|nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ; 若若 1|nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, ,則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. . 4 4、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法115 5、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1) (1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,)

7、,(),(21xuxuxun是是定定義義在在ri 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間i上上的的( (函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .(2) (2) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域如如果果ix 0,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂, 則則稱稱0 x 為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn), , 否則稱為否則稱為發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn). .12函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù))(1xunn 的所有收斂點(diǎn)的全體稱為的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函

8、數(shù)的函數(shù) )(xs, , 稱稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). . 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .13(1) (1) 定義定義形如形如nnnxxa)(00 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù). ,00時時當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).5 5、冪級數(shù)、冪級數(shù)nnnxa 0( (2 2) ) 定定理理( (abel 定定理理) ) ( (1 1) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, , 則則它它在在滿滿足足不不等等式式|0 xx 的的一一切切 x 處處絕絕對對收收斂斂; ; ( (2 2) ) 如如果果

9、級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在 滿滿足足不不等等式式|0 xx 的的一一切切 x 處處發(fā)發(fā)散散. . 14定定理理 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na, 則冪級數(shù)則冪級數(shù) 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為 , 00 , 0 , 1/r, , 設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim) 簡簡單單地地講講, ,就就是是 1lim nnnaar. . (3) (3) 收斂半徑收斂半徑 15(4) (4) 和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)：和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)設(shè)冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的收收斂斂半半徑徑為為r, , 收收斂斂域域?yàn)?/p>

10、為i, ,且且和和函函數(shù)數(shù)為為)(xs. .下下面面介介紹紹)(xs的的三三個個性性質(zhì)質(zhì). . 性性質(zhì)質(zhì) 1 1 )(xs在在 0nnnxa的的收收斂斂域域i內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). . 性性質(zhì)質(zhì) 2 2 )(xs在在 0nnnxa的的收收斂斂域域i內(nèi)內(nèi)可可積積, ,且且有有逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分公公式式： .1d)(100 nnnxxnaxxs且收斂半徑仍為且收斂半徑仍為r. . 16性性質(zhì)質(zhì) 3 3 )(xs在在),(rr 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且有有逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式： )(xs .11 nnnxna且收斂半徑仍為且收斂半徑仍為r. . 注注: : ( (1 1) ) 實(shí)實(shí)際際上上, ,)(xs在在

11、),(rr 內(nèi)內(nèi)任任意意階階可可導(dǎo)導(dǎo). . ( (2 2) ) 端端點(diǎn)點(diǎn)處處的的收收斂斂性性可可能能發(fā)發(fā)生生變變化化. . 176 6、冪級數(shù)展開式、冪級數(shù)展開式 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù). (1) 定義定義18定理定理 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xu 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)0)(lim xrnn. .(2)

12、 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , , 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且展開式是唯一的且展開式是唯一的. . 19(3) 展開方法展開方法a.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:，求求!)()1(0)(nxfann ,| )(|0lim)2()(mxfrnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展

13、開式利用常見展開式, 通過通過變量變量代換代換, , 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, , 恒等變形恒等變形, , 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), , 逐項(xiàng)逐項(xiàng)積分積分等方法等方法,求展開式求展開式.并并求求出出收收斂斂半半徑徑r； 20),(,!1!211e2 xxnxxnx,! )12()1(!51!31sin1253 nxxxxxnn),( x,! )2()1(!41!211cos242 nxxxxnn),( x(4) 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式21)1 , 1( x )1(x )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x nxnnxx!)1()1(!2)1(12 ( ( 不為正整數(shù)不為正

14、整數(shù)) ),110 nnxx)1, 1( x22典型例題典型例題題型題型1 1：判定數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性：判定數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性 例例1 1 11)1(nnnnnnn判別下列級數(shù)的收斂性：判別下列級數(shù)的收斂性：解解nnnnnnnnu)1(1 nnnn)11(21 , )(1 n所以原級數(shù)發(fā)所以原級數(shù)發(fā)散散23(88,6(88,6 分分) ) 討論級數(shù)討論級數(shù) 11! )1(nnnn的的斂斂散散性性. . 解解例例2 2nnnuu1lim 12)!1()1()!2(lim nnnnnnn1)11(12lim nnnnn,1e1 用比值審斂法用比值審斂法, , 所以級數(shù)收斂。所以級數(shù)收斂。24( (9

15、91 1, ,3 3 分分) ) 設(shè)設(shè)nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 則則下下列列級級數(shù)數(shù)中中肯肯定定收收斂斂的的是是 解解例例3 3(a)(a) 1nna (b) (b) 1)1(nnna (c) (c) 1nna (d)(d) 12)1(nnna 由由nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 得得 2221|)1( |naannn ， 而而級級數(shù)數(shù) 121nn收收斂斂， 所以級數(shù)所以級數(shù) 12)1(nnna絕對收斂絕對收斂. . 【答案】【答案】 應(yīng)應(yīng)選選( (d).). 25( (9 91 1, ,3 3 分分) ) 設(shè)設(shè)nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 則

16、則下下列列級級數(shù)數(shù)中中肯肯定定收收斂斂的的是是 解解例例3 3(a)(a) 1nna (b) (b) 1)1(nnna (c) (c) 1nna (d)(d) 12)1(nnna ( (a) )、( (c) )反反例例：nan21 ； 【評注】【評注】 ( (d) ) 反例：反例： 為偶數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)nnnan ,21 , 0 . . 26( (9 94 4, ,3 3 分分) ) 設(shè)設(shè)常常數(shù)數(shù)0 ，且且級級數(shù)數(shù) 12nna收收斂斂，則則 解解例例4 4( (a a) ) 條條件件收收斂斂 ( (b b) ) 絕絕對對收收斂斂 ( (c c) ) 發(fā)發(fā)散散 ( (d d) ) 斂斂散散性

17、性與與 有有關(guān)關(guān). . 由于由于 12nna和和 121nn 都是收斂的，都是收斂的， 從而原級數(shù)絕對收斂從而原級數(shù)絕對收斂. . 由基本不等式可知，由基本不等式可知， , )1(21|222 nanann級級數(shù)數(shù) 12|)1(nnnna 由由比比較較審審斂斂法法可可知知， 12|nnna 收收斂斂， 【答案】【答案】 應(yīng)應(yīng)選選( (b).). 27解解（a a）若若 12nnu和和 12nnv都都收收斂斂, ,則則 12)(nnnvu也也收收斂斂； （b b）若）若 1nnnvu收斂收斂, ,則則 12nnu和和 12nnv都收斂；都收斂； （c c）若正項(xiàng)級數(shù)）若正項(xiàng)級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散

18、, ,則則nun1 ； （d d）若若 1nnu收收斂斂, ,且且nnvu , ,則則 1nnv也也收收斂斂. . 例例5 5(96,3(96,3分分) ) 下列各選項(xiàng)正確的是（下列各選項(xiàng)正確的是（ ）. . 由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法可得結(jié)論由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法可得結(jié)論. . 【答案】【答案】 應(yīng)應(yīng)選選( (a).). , )(22)(22222 nnnnnnnnvuvvuuvu 因因?yàn)闉?8解解(a)(a) 1nnu與與 12nnu都收斂；都收斂； (b) (b) 1nnu與與 12nnu都發(fā)散；都發(fā)散； (c)(c) 1nnu收斂而收斂而 12nnu發(fā)散；發(fā)散；(d)(d) 1nnu發(fā)散而

19、發(fā)散而 12nnu收斂收斂. . ( (9 95 5 二二 3 3) )設(shè)設(shè))11ln()1(nunn , ,則則正正確確的的是是（ ）. . 1nnu為為萊萊布布尼尼茲茲型型級級數(shù)數(shù), ,收收斂斂； 例例6 622)11ln( nun nn112 , 因因 11nn發(fā)發(fā)散散, , 由由比比較較審審斂斂法法, , 知知正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 12nnu發(fā)發(fā)散散. . 【答案】【答案】 應(yīng)應(yīng)選選( (c).).29解解( (0 00 0 二二 3 3) ) 設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，則則下下列列級級數(shù)數(shù)中中必必收收斂斂的的是是（ ）. . （a a） 1)1(nnnnu （b b） 12nnu

20、（c c） 1212)(nnnuu （d d） 11)(nnnuu 因因?yàn)闉?1nnu、 11nnu都都收收斂斂, , 所所以以 11)(nnnuu也也收收斂斂. . 例例7 7【答案】【答案】 應(yīng)應(yīng)選選( (d).).30解解（a a） 1)1(nnnnu （b b） 12nnu （c c） 1212)(nnnuu （d d） 11)(nnnuu （a a）反反例例： 1ln)1(nnn； （b b）反反例例： 1)11ln()1(nnn； 例例7 7（c c）反反例例： 1) 1(nnn. . ( (0 00 0 二二 3 3) ) 設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，則則下下列列級級數(shù)數(shù)中中

21、必必收收斂斂的的是是（ ）. . 31解解判判斷斷級級數(shù)數(shù) 21sinln1nnn的的收收斂斂性性。 因因?yàn)闉?22lnlndln1xxxx, , 故故 21sinln1nnn與與 2ln1nnn同同斂斂散散, , 由由積積分分判判別別法法知知, , 2ln1nnn發(fā)發(fā)散散, , 柯柯西西積積分分判判別別法法: :設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf非非負(fù)負(fù), ,單單減減, ,則則級級數(shù)數(shù) 1)(nnf 與與廣廣義義積積分分 1d)(xxf同同斂斂散散. . 例例8 8,111sinlimln11sinln1lim nnnnnnnn所以原級數(shù)也發(fā)散所以原級數(shù)也發(fā)散. . 32( (0 03 3, ,4 4 分

22、分) ) 設(shè)設(shè)2|nnnaap ，2|nnnaaq ，, 2, 1 n，則則下下列列命命題題正正確確的的是是 ( (a a) ) 若若 1nna條條件件收收斂斂，則則 1nnp與與 1nnq都都收收斂斂 ( (b b) ) 若若 1nna絕絕對對收收斂斂，則則 1nnp與與 1nnq都都收收斂斂 ( (c c) ) 若若 1nna條條件件收收斂斂，則則 1nnp與與 1nnq的的斂斂散散性性都都不不定定 ( (d d) ) 若若 1nna絕絕對對收收斂斂，則則 1nnp與與 1nnq的的斂斂散散性性都都不不定定 例例9 9【答案】【答案】 應(yīng)應(yīng)選選( (b b).). 33( (0 03 3,

23、 ,4 4 分分) ) 設(shè)設(shè)2|nnnaap ，2|nnnaaq ，, 2, 1 n，則則下下列列命命題題正正確確的的是是 例例9 9【評注】【評注】 應(yīng)了解以下結(jié)論：應(yīng)了解以下結(jié)論： ( (1 1) ) 1nnu絕絕對對收收斂斂 12|nnnaa與與 12|nnnaa都都收收斂斂； ( (2 2) ) 1nnu條條件件收收斂斂 12|nnnaa與與 12|nnnaa都都發(fā)發(fā)散散； (3)(3) 12|nnnaa與與 12|nnnaa一個收斂， 一個發(fā)散一個收斂， 一個發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散. . 34解解(05,4(05,4 分分) ) 設(shè)設(shè), 2 , 1, 0 nan若若 1nna發(fā)散，發(fā)

24、散， (a) 112nna收收斂斂, 12nna發(fā)發(fā)散散 (b) 12nna收收斂斂, 112nna發(fā)發(fā)散散 例例1010 11)1(nnna收收斂斂，則則下下列列結(jié)結(jié)論論正正確確的的是是 收斂級數(shù)加括號仍收斂，故收斂級數(shù)加括號仍收斂，故( (d) )正確正確. . （a a） （b b）反反例例：nan1 ； 由性質(zhì)：正項(xiàng)級數(shù)加括號或去括號不改變其斂散性，由性質(zhì)：正項(xiàng)級數(shù)加括號或去括號不改變其斂散性，可判定可判定( (c)c)選項(xiàng)是錯誤的選項(xiàng)是錯誤的. . (c) )(1212 nnnaa收收斂斂 (d) )(1212 nnnaa收收斂斂 35斂斂？如如果果收收斂斂，是是否否收收判判斷斷級級

25、數(shù)數(shù) 1ln)1(nnnn解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnnnn即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂, 0ln11limln1lim nnnnnnn一方面一方面,xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx是條件收斂還是絕對收斂？是條件收斂還是絕對收斂？例例111136,ln)1(1收斂收斂交錯級數(shù)交錯級數(shù) nnnn由萊布尼茨定理知由萊布尼茨定理知,),0(ln)( xxxxf令令),1(011)( xxxf另一方面另一方面,), 1()(上上單單增增在在 xf,ln1單減單減即即xx ,1ln1時單減時單減當(dāng)當(dāng)故故 nnn故原級

26、數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂37解解討討論論級級數(shù)數(shù) 1)22)(2(642)12(531nnnn的的斂斂散散性性. . 記記此此級級數(shù)數(shù)的的通通項(xiàng)項(xiàng)為為nu, , 22)22(121221243432121 nnnnnun 2)22)(12(1 nn, , 12)22(1 nnun 2/3221n,(,(當(dāng)當(dāng) n) ) 2)22(112221254433221 nnnnn 例例121238而而 12/31nn收收斂斂, , 注注： 此此題題若若用用比比值值法法, ,結(jié)結(jié)果果是是1lim1 nnnuu, ,失失效效. . 12)22(1 nnun 2/3221n,(,(當(dāng)當(dāng) n) ) 由正項(xiàng)

27、級數(shù)的比較判別法知由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知, ,原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂. . 本題這種放大通項(xiàng)的辦法本題這種放大通項(xiàng)的辦法, ,有一定的難度有一定的難度. . 討討論論級級數(shù)數(shù) 1)22)(2(642)12(531nnnn的的斂斂散散性性. . 例例121239題型題型2 2：求冪級數(shù)的收斂域：求冪級數(shù)的收斂域 例例1 1( (0 09 9, ,4 4 分分) )冪冪級級數(shù)數(shù) 12)1(ennnnxn的的收收斂斂半半徑徑為為 . . 12ennnxn的收斂半徑為的收斂半徑為e1，而，而 12)1(nnnxn的收斂半徑為的收斂半徑為1，取兩者較小者即可，取兩者較小者即可. . 解解1lim nnn

28、aar1122)1(e)1()1(elim nnnnnnn,e1 【評注】【評注】 也可以這樣求解：也可以這樣求解： 40解解( (0 02 2, ,3 3 分分) ) 設(shè)設(shè)冪冪級級數(shù)數(shù) 1nnnxa與與 1nnnxb的的收收斂斂半半徑徑分分別別為為35與與31，則則冪冪級級數(shù)數(shù) 122nnnnxba的的收收斂斂半半徑徑為為 例例2 2【答案】【答案】 應(yīng)應(yīng)選選( (a)a). . ( (a a) ) 5 ( (b b) ) 35 ( (c c) ) 31 ( (d d) ) 51 212122lim nnnnnbaba2121lim nnnnnbbaa.5)31()35(22 41解解(92

29、,3(92,3 分分) ) 求求 124)2(nnnnx的收斂域的收斂域. . nnnnnnnnnxnxxuxu4)2(4)1()2(lim)()(lim21221 22)2(41)1(4)2(lim xnxnn, , 當(dāng)當(dāng) 1) 2(412 x, , 即即40 x時時, ,級級數(shù)數(shù)收收斂斂； 在端點(diǎn)在端點(diǎn)0 x和和4 x處處, ,級數(shù)均為級數(shù)均為 11nn, ,發(fā)散；發(fā)散； 所以收斂域?yàn)樗允諗坑驗(yàn)?4, 0(. . 例例3 342解解( (數(shù)一數(shù)一 00,600,6 分分) )求冪級數(shù)求冪級數(shù) 1)2(31nnnnnx的收斂域的收斂域. . 當(dāng)當(dāng)3 x時時, , 而而 121nn發(fā)發(fā)散散,

30、 , 因?yàn)橐驗(yàn)閚nnnn213)2(31 , , 故原級數(shù)在點(diǎn)故原級數(shù)在點(diǎn)3 x處發(fā)散處發(fā)散; ; 當(dāng)當(dāng)3 x時時, , 例例4 4因因?yàn)闉閚nnn1)2(3)3( 收斂半徑收斂半徑 nnrnnnnn )2(3)1()2(3lim11,3 43且且 11)1(nnn和和 11)2(32nnnnn( (由比值法由比值法) )都收斂都收斂, , 故故原原級級數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)3 x處處收收斂斂, , 所所以以收收斂斂域域?yàn)闉?) 3, 3 . . 當(dāng)當(dāng)3 x時時, , 因因?yàn)闉閚nnn1)2(3)3( 1)2(31nnnnnx,1)2(321)1(nnnnnn 44( (0 01 1, ,7 7 分分)

31、 ) 已已知知)(xfn滿滿足足xnnnxxfxfe)()(1 ( (n 為為正正整整數(shù)數(shù)) )， 且且nfne)1( ， 求求函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 1)(nnxf的的和和. . 題型題型3 3：求冪級數(shù)的和函數(shù)：求冪級數(shù)的和函數(shù) 例例1 1方方程程化化為為 xnnnxxfxfe)()(1 ， 解解由一階線性方程的通解得由一階線性方程的通解得 )dee(e)(d1dcxxxfxxnxn )d(e1cxxnx , )1(ecxnnx 代入條件代入條件nfne)1( ， 得， 得0 c， 所以所以 nxxfnxne)( ， 45nxxfnxne)( 于是于是 11e)(nnxnnnxxf 101d

32、enxnxxx xnnxxx011de xxxx01de)1ln(exx 收收斂斂域域?yàn)闉?) 1, 1 . . 46( (0 02 2, ,7 7 分分) ) （1 1）驗(yàn)驗(yàn)證證函函數(shù)數(shù) ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn)( x滿滿足足微微分分方方程程xyyye ； 例例2 2解解（1）易易知知冪冪級級數(shù)數(shù) 03! )3(nnnx的的收收斂斂域域?yàn)闉?,( ， （2 2）利利用用（1 1）的的結(jié)結(jié)果果求求冪冪級級數(shù)數(shù) 03! )3(nnnx的的和和函函數(shù)數(shù). . 逐項(xiàng)求導(dǎo)得逐項(xiàng)求導(dǎo)得 ,! )13(!8!5!2)(13852 nxxxxxyn47,! )13(!8!5!2

33、)(13852 nxxxxxyn,! )23(!7!4)(2374 nxxxxxyn,! )3(!9!6!31)(3963 nxxxxxyn,exyyy 所所以以 yyy .e!3!2132xnnxxxx 48xyyye )2( 特特征征方方程程 012 rr， 特特征征根根 ir23212 , 1 ， 對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解為為 )23sin23cos(e212xcxcyx ； 設(shè)設(shè)特特解解為為 xaye ， 代代入入得得 31 a，即即 xye31 ， 所所以以方方程程的的通通解解為為xxxcxcye31)23sin23cos(e212 ， 代代入入初初始始條條件件 1)0(

34、 y及及0)0( y， 得得 0,3221 cc， 所以冪級數(shù)所以冪級數(shù) 03! )3(nnnx的和函數(shù)為的和函數(shù)為 xxye3123cos32 . . 49( (0 03 3, ,9 9 分分) ) 求求冪冪級級數(shù)數(shù))1| (2) 1()(12 xnxxfnnn的的和和函函數(shù)數(shù))(xf及及其其極極值值. . 例例3 3解解 112)1()(nnnxxf,12xx 兩邊兩邊0 0到到x積分，得積分，得 xxxxfxf02d1)0()(, )1ln(212x 由由1)0( f，得得 )1ln(211)(2xxf ，)1| ( x. . 令令0)( xf, ,得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)0 x， 導(dǎo)數(shù)左正

35、右負(fù)，導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)， ,1)(2xxxf 所以所以1)0( f為極大值為極大值. . 50( (0 05 5, ,9 9 分分) ) 求求冪冪級級數(shù)數(shù) 12)1121(nnxn在在區(qū)區(qū)間間)1, 1( 內(nèi)內(nèi)的的和和函函數(shù)數(shù))(xs. . 例例4 4解解設(shè)設(shè) 12)1121()(nnxnxs， 記記 121121)(nnxnxs， 122)(nnxxs， 則則 )()()(21xsxsxs ，)1, 1( x. . ,1)(22122xxxxsnn )1, 1(,1) )(22121 xxxxxxsnn51,)1121()(12 nnxnxs,1)(22122xxxxsnn )1, 1(,1)

36、)(22121 xxxxxxsnn,11ln21d1)(0221 xxxxtttxxs由由于于0)0(1 s,故故 ,0 , 0 1|0 ,11ln211)(1 xxxxxxs.0 , 0 1|0 ,1111ln21)(2 xxxxxxxs所以所以52(06,10(06,10 分分) )求冪級數(shù)求冪級數(shù) 1121)12()1(nnnnnx的收斂域及和的收斂域及和函數(shù)函數(shù))(xs. . 例例5 5解解當(dāng)當(dāng)1|2 x，即即1| x時時，冪冪級級數(shù)數(shù)收收斂斂； )12()1()12)(1()1(lim12132 nnxnnxnnnnn,|2x 當(dāng)當(dāng)1| x時時，冪冪級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； 當(dāng)當(dāng)1 x時，

37、級數(shù)時，級數(shù) 11)12()1(nnnn、 1)12()1(nnnn均收斂，均收斂， 所所以以收收斂斂域域?yàn)闉?1, 1 . . 53 1121)12()1()(nnnnnxxs 121)12(2)1(2nnnnnxx, )(21xxs ,)12(2)1()(1211 nnnnnxxs,12)1()(11211 nnnnxxs 12211)1()(nnnxxs,112x ,arctand11)0()(0211xttsxsx 0)0(1 s，所所以以 xxsarctan)(1 ， xtsxs011darctan)0()(, )1ln(21arctan2xxx ,0)0(1 s所以所以)1ln(2

38、1arctan)(21xxxxs ， 54, )(2)(1xxsxs )1ln(21arctan)(21xxxxs 故故 )1ln(arctan2)(22xxxxxs . . 由于所給冪級數(shù)在由于所給冪級數(shù)在1 x處都收斂處都收斂, ,且且)(xs在在1 x處連續(xù)，故上式在處連續(xù)，故上式在1, 1 成立成立. . 55答案答案: :求求冪冪級級數(shù)數(shù) 121)12(11()1(nnnxnn的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間與與和和函函數(shù)數(shù). . 類題類題05(16)1205(16)12, )1ln(arctan21)(222xxxxxxf .1 x56( (9 99 9, ,3 3 分分) ) 級級數(shù)數(shù) )2

39、1(11 nnn. . 題型題型4 4：求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和：求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和 例例1 1令令 11)(nnnxxs， 解解于于是是 4)21()21(11 snnn. . )()( 1 nnxxs則則)1( xx,)1(12x 1| x57解解求求級級數(shù)數(shù) 022)1()1(nnnnn的的和和. . 原原式式 02)21()21)(1(nnnnnn, , 322/111)21(0 nn, , 2)1(nnxnn 222)1(nnxnnx )(22 nnxx )111(2 xxx 32)1(2xx , , 1| x； 將將21 x代代入入, , 得得 274)21)(1(2 nnnn, , 所所以以原

40、原式式272232274 . . 例例2 2(93(93五五7)7)58( (9 98 8, ,6 6 分分) ) 設(shè)設(shè)有有兩兩條條拋拋物物線線nnxy12 和和2) 1(xny 11 n，記記它它們們交交點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)的的絕絕對對值值為為na， （1 1）求求這這兩兩條條拋拋物物線線所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積ns； （2 2）求求級級數(shù)數(shù) 1nnnas的的和和. . 例例3 3解解解解方方程程組組 11) 1(122nxnynnxy 得得 )1(12 nnx， 從從而而 )1(1 nnan. . 59xyo)1(1 nnan nanxnxnnnxs022d11) 1(

41、12 naxxnn02d)1(12,)1()1(134 nnnn因因此此 )1(134 nnasnn)111(34 nn， 于于是是 1nnnas)111(34lim nn34 . . 60( (0 00 0, ,6 6分分) )設(shè)設(shè) 40dcossin xxxinn, , 1 , 0 n， 求求 0nni. . 例例4 4解解 40dcossin xxxinn 40sindsin xxn401sin11 xnn ,)22(111 nn 010)22(11nnnnni,)22(11 nnn所以所以考慮冪級數(shù)考慮冪級數(shù) ,)(1 nnnxxs,11)(11xxxsnn 1| x 01d)0()(

42、xxsxs, )1ln(x 11 x所以所以. )22ln()221ln()22(0 sinn61( (+ +0 08 8, ,9 9 分分) )利利用用正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)判判斂斂方方法法說說明明級級數(shù)數(shù) 1211nnnn 是是收收斂斂的的； （2 分分） （2）求求出出上上面面收收斂斂級級數(shù)數(shù)的的和和。 （7 分分） 。 解解例例5 5(1)(1)0211 nnnna，正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)， nnnaa1lim 所以級數(shù)收斂；所以級數(shù)收斂； 考慮冪級數(shù)考慮冪級數(shù) 11nnxnn， (2)(2)它它的的收收斂斂域域是是 )1, 1( ； nnnnnnn2112121lim1 用比值判別法，用比值判別

43、法，,121 62考慮冪級數(shù)考慮冪級數(shù) 11nnxnn， (2)(2)它它的的收收斂斂域域是是 )1, 1( ； 和函數(shù)和函數(shù) 11)(nnxnnxs 1)111(nnxn 1111nnnnxnx, )(111xsxxx 0 x其其中中 11111)(nnxnxs， 逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)求導(dǎo)， 11)(nnxxsxx 1， 63, )(11)(1xsxxxxs 0 x所以所以 1211nnnn)21(s 2ln22 . . xxxs 1)(1所以所以)0(d1)(101sxxxxsx , )1ln(xx 于是于是)(11)(1xsxxxxs )1ln(11xxxxx , )1ln(111xxx ,1|0 x64( (9 95 5, ,6 6 分分) ) 將將函函數(shù)數(shù))21ln(2xxy 展展開開成成 x 的的冪冪級級數(shù)數(shù)，并并指