實(shí)驗(yàn)3--“微分方程”實(shí)驗(yàn)(共8頁)

1、開課學(xué)院：數(shù)統(tǒng)學(xué)院 實(shí)驗(yàn)室：DS1402 實(shí)驗(yàn)時(shí)間 ：2015年4月3日課程名稱數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名 稱微分方程實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型驗(yàn)證演示綜合設(shè)計(jì)其他指導(dǎo)教師 龔劬成 績(jī)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙饬x1 歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程(組)的基本原理和方法；2 掌握解析、數(shù)值解法，并學(xué)會(huì)用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析；3 熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令；4 通過范例學(xué)習(xí)建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型以及求解全過程； 通過該實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握微分方程(組)求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進(jìn)歐拉法等），對(duì)常微分方程的數(shù)值解法有一個(gè)初步了解，同時(shí)學(xué)會(huì)使用MATLAB軟件求解微分方程的基本命令，學(xué)會(huì)建

2、立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型。這對(duì)于學(xué)生深入理解微分、積分的數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)的分析思維方法，熟悉處理大量的工程計(jì)算問題的方法是十分必要的。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 微分方程及方程組的解析求解法；2 微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進(jìn)算法；3 直接使用MATLAB命令對(duì)微分方程(組)進(jìn)行求解(包括解析解、數(shù)值解)；4 利用圖形對(duì)解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型，并了解建立數(shù)學(xué)模型的全過程。三、實(shí)驗(yàn)步驟1開啟軟件平臺(tái)MATLAB，開啟MATLAB編輯窗口； 2根據(jù)微分方程求解步驟編寫M文件3保存文件并運(yùn)行；4觀察運(yùn)行結(jié)果(數(shù)值或圖形)；5根據(jù)觀察到的結(jié)果和體會(huì)寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。四、實(shí)驗(yàn)要

3、求與任務(wù)根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟，完成以下實(shí)驗(yàn)，要求寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告（實(shí)驗(yàn)?zāi)康膯栴}數(shù)學(xué)模型算法與編程計(jì)算結(jié)果分析、檢驗(yàn)和結(jié)論）基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)1求微分方程的解析解, 并畫出它們的圖形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0<x<1;程序：(1)dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')(2)function f=fun1(x,y)f=y+2*x;x,y=ode23('fun1',0,1,1)plot(x,y);xlabel('x');ylabel('y');hold on;ez

4、plot(-2*x-2+3*exp(x)結(jié)果：ans = -2*x-2+3*exp(x)x = 0 0.0800 0.1800 0.2800 0.3800 0.4800 0.5800 0.6800 0.7800 0.8800 0.9800 1.0000y = 1.0000 1.0899 1.2316 1.4094 1.6268 1.8881 2.1980 2.5615 2.9842 3.4725 4.03314.15463Rossler微分方程組：當(dāng)固定參數(shù)b=2, c=4時(shí)，試討論隨參數(shù)a由小到大變化（如a(0,0.65)而方程解的變化情況function r=sy3d3(t,x)globa

5、l a; global b; global c;r(1,1)=-x(2)-x(3);r(2,1)=x(1)+a*x(2);r(3,1)=b+x(3)*(x(1)-c);endglobal a; global b; global c; b=2; c=4;for a=0:0.02:0.65 at,x=ode45('sy3d3',0,200,0,0,0); subplot(1,2,1); plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x(紅色),y(綠色),z(籃色)隨

6、 t 變化情況');xlabel('t'); subplot(1,2,2); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3); title('x,y,z三維曲線圖')xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pauseend實(shí)驗(yàn)結(jié)果：分析：由圖像可以看出隨著a的值越來越大x y z的值隨著t的增大越來越離散化。4.Apollo衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡的繪制程序：function a=apollo(t,x)u=1/82.45;u1=1-u;r1=sqrt(x(1)+u)2+x(3)2

7、);r2=sqrt(x(1)-u1)2+x(3)2);a(1,1)=x(2);a(2,1)=2*x(4)+x(1)-u1*(x(1)+u)/r13-u*(x(1)-u1)/r23;a(3,1)=x(4);a(4,1)=-2*x(2)+x(3)-u1*x(3)/r13-u*x(3)/r23;endx0=1.2;0;0;-1.04935751;%x0(i)對(duì)應(yīng)與xi的初值 options=odeset('reltol',1e-8);%精度要求為10-8t,y=ode45('apollo',0,20,x0,options); plot(y(:,1),y(:,3) ti

8、tle('Appollo衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌跡') xlabel('X') ylabel('Y') 運(yùn)行結(jié)果：應(yīng)用實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容一個(gè)圓柱形的容器，內(nèi)裝350升的均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時(shí)，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開始時(shí)，容器內(nèi)鹽的含量為7千克。求經(jīng)過時(shí)間t后容器內(nèi)鹽的含量。二、問題分析考慮到鹽在不同濃度的水內(nèi)的擴(kuò)散情況，由于容器體積為350L而純水進(jìn)入和混合鹽水流出的速度都不足15L/s所以可以忽略鹽在不同濃度的水內(nèi)的擴(kuò)散至均勻的時(shí)間。 計(jì)算每個(gè)微小時(shí)間變化后的鹽的含量與變

9、化前鹽的含量之間的關(guān)系，建立方程，然后利用MATLAB進(jìn)行求解 三、數(shù)學(xué)模型的建立與求解(一般應(yīng)包括模型、求解步驟或思路，程序放在后面的附錄中)用y（t）表示容器內(nèi)t時(shí)刻的鹽的含量，用T（t）表示容器內(nèi)t時(shí)刻的水的總量，用Y表示鹽水流出的速度，用C代表純水流入的速度，時(shí)間變化t后容器內(nèi)鹽的含量為y（t+t）?？紤]在tD內(nèi)流出的鹽水的為Yt,則其流出的鹽為y(t)/T(t)*Yt則可建模為:y（t+t）=y(t)-y(t)/T(t)*Yt取t趨近于0；得到微分方程：y(t)+dy=y(t)-y(t)*Y*dt/(T(t0)+(c-y)t)其中Y=10.5L/S C=14L/S T(t0)=350四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析 y = 7000000/(t + 100)3五、附錄（程序等） y=dsolve('Dy=-10.5*y/(350+3.5*t)','y(0)=7')t=linspace(0,300,1000);y =7000000./(t+100).3;plot(t,y)title('鹽的質(zhì)量隨時(shí)間的變化的函數(shù)');xlabel('x');ylabel('y')