可降階高階微分方程58049

1、第三節(jié)第三節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程第四節(jié)第四節(jié) 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第三節(jié)第三節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 本節(jié)介紹通過(guò)變量代換將特殊的高階微分方程化成一階微分方程的降階法.兩邊積分:連續(xù)積分n次得出含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.一一. 型方程型方程)()(xfyn)()(xfyn1)1()(cdxxfyn再積分:21)2()(cdxcdxxfyn例:xxy sin)3(逐次積分得:122coscxxy ,6sin213cxcxxy32214224coscxcxcxxy如果二階方程不顯含 y,),(pxfp 二二. 型方程型方程),(y

2、xfy 令 ,則py pdxdpy 方程變?yōu)?解出這個(gè)一階方程的通解:),(1cxp則原方程的通解為:21),(cdxcxy例:yyyx ln令 ,則py dxdpy ppdxdpxln方程變?yōu)?dxxppdp1ln解得:xcep1xcey12111cecyxc例:3|, 1|,2)1 (002 xxyyyxyx令 ,則py dxdpy xpdxdpx2)1 (2dxxxpdp212)1 (21xcpy, 3|0 xy因?yàn)?1c)1 (32xy則233cxxy, 1|0 xy因?yàn)?2c所求特解為:133xxy如果方程不顯含 x,),(pyfdydpp三三. 型方程型方程),(yyfy 令 ,p

3、y 方程變?yōu)?解出這個(gè)以 y 為自變量的一階方程的通解:),(1cyyp則原方程的通解為:21),(cxcydy例:02 yyy,dydppdxdydydpdxdpy 則令 ,py ,dydppy 則02 pdydpyp方程變?yōu)?即:0 pdydpy或者0p0 pdydpy的通解為:ycp1ycy1其通解為:xcecy120p即0 y其通解為:cy xcecy12例:12 yy令 ,py ,dxdpy 則12 pdxdp方程變?yōu)?即:dxpdp12此題看作類(lèi)型二和類(lèi)型三皆可,經(jīng)過(guò)嘗試用前者簡(jiǎn)單)tan(1cxp)tan(1cxy21| )cos(|lnccxy練習(xí)的特解滿足求2)0(, 1)0

4、()(2. 12 yyyyyy.4tan,4)tan(arctan,d1d1dd. 121, 11,d2d11).0() 1(2dd),(2dddd 21)0(2222121212xyccxycxyxyyyxycyyycyycpyyppppypyppypypyppypyy故微分方程的特解為：積分得：分離變量得：，則方程化為：代入上式得：時(shí)，把初始條件，即：兩端積分并化簡(jiǎn)得：分離變量得：，否則與已知條件矛盾即：，原方程可化為：，則令的通解求1)(2. 22 yyyx.132, 11,d1d12, 1dd2dd 223111122cxccyxcyxcpxxppppxpxpxpypy：積分得微分方程

5、通解為，即：簡(jiǎn)得：等式兩端同時(shí)積分并化分離變量得：原方程可化為：，則令第四節(jié)第四節(jié) 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:) 1 (),()()()()2(2)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 當(dāng) 時(shí),0)(xf當(dāng) 時(shí),0)(xfn階線性非奇次方程0)()()()2(2)1(1)( yxpyxpyxpynnnnn階線性奇次方程下面以二階方程為例,討論高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).一一. 二階線性奇次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性奇次方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:)2(, 0)()( yxqyxpy顯然, y = 0 是(2)的解.平凡解討論非平凡解:定理1. 如果 是(2)的兩個(gè)解,則

6、 也是(2)的解,其中 為任意常數(shù).)(),(21xyxy)()(2211xycxycy21,cc證明:)(),(21xyxy由于 是(2)的兩個(gè)解,所以0)()(111 yxqyxpy0)()(222 yxqyxpy)()(2211xycxycy將 代入(2)的左端:)()(221122112211ycycxqycycxpycyc 21111)()(cyxqyxpyc )()(222yxqyxpy 000則 也是(2)的解.)()(2211xycxycy11212211)2(cyyccycycy注意: 不一定是通解.2211ycycy例如:1y是(2)的解, 則 也是(2)的解.12y此時(shí)不

7、是通解函數(shù)的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)設(shè) 為定義在 i 上的 n 個(gè)函數(shù),nyyy,21 02211 nnykykyknkkk,21 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù) ,使得線性相關(guān)否則,線性無(wú)關(guān)例如:線性相關(guān)在任意區(qū)間i上:xx22sin,cos, 1取, 1, 1321kkk0sincos122xx2, 1xx線性無(wú)關(guān)要使 ,必須02321xkxkk. 0321kkk對(duì)于兩個(gè)函數(shù):如果它們之比為常數(shù),則線性相關(guān);否則,線性無(wú)關(guān)定理2. 如果 是(2)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則 )(),(21xyxy2211ycycy21,cc是(2)的通解, 為任意常數(shù).例如:0 yyxyxysin,cos21是它的特解

8、,xcxcysincos21線性無(wú)關(guān)通解二二. 二階線性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:)3(),()()(xfyxqyxpy 定理3. 如果 是(3)的一個(gè)特解, 是(3)對(duì)應(yīng)的奇 次方程(2)的通解,則 y2211ycycyyyy是(3)的通解.yyy則 是(2)的通解.而 是(3)的一個(gè)特解y證明: 由于y是(2)的的通解,所以0)()( yxqyxpy)()()(xfyxqyxpy)()( yyxqyyxpyy)()(0 xfxf將 代入(3)的左端:yyy )()(yxqyxpy)()(yxqyxpy注意: y 中含有兩個(gè)任意 常數(shù),因此 y 是通解.注:當(dāng)(3)式的自由項(xiàng)為幾項(xiàng)之和時(shí),特解如何求出?證明:定理4. 如果 分別是 )(),(21xyxy的特解,則 是方程)()()(2xfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy )4()()()()(21xfxfyxqyxpy 的特解.)()(21xyxy將 代入(4)的左端:)()(21xyxy)()(212121yyxqyyxpyy )()(111yxqyxpy)()(222yxqyxpy )()(21xfxf)()(21xyxy則 是(4)的解.3212211321221