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1、 ( )0 ( )(f xxxf 改改寫寫成成, 連連續(xù)續(xù))1 1. . 建建立立: :把把 ,.,., 121,nnx xxx 則則產(chǎn)產(chǎn)生生數(shù)數(shù)列列若若此此數(shù)數(shù)列列收收斂斂,不不妨妨設(shè)設(shè)極極限限為為則則 一一. 迭代法的建立與收斂性迭代法的建立與收斂性01 () (0, 1, 2,.)nnxxxn 取取 定定 初初 值值 1limlim (), i.e., ( )nnnnxx 所以所以, 為為f的根的充要條件是的根的充要條件是 為為 的不動點。的不動點。2.2 2.2 迭代法迭代法 1( )0nf xnx 即即 是是當(dāng)當(dāng)時時為為。的的根根,故故充充分分大大, ,可可作作的的近近似似值值( )
2、3331011:。xxxxxxx 形形式式不不唯唯一一, 我我們們該該怎怎樣樣取取它它?或或如如 3103101 1.51 1.5 nnnnxxxxxx取取取取前者收斂前者收斂:1.5; 1.35721; 1.33086; 1.32588; 1.32494; 1.32476; 1.32473; 1.32472; 1.32472;后者發(fā)散后者發(fā)散: : 1.5; 2.375; 12.39; 問題:何時收斂?問題:何時收斂?xyy = xxyy = xxyy = xxyy = x y= (x)y= (x)y= (x)y= (x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x
3、1p12.2.收斂定理收斂定理 (2)1, , , |( )|.lxa bxl 存存在在常常數(shù)數(shù)使使得得有有 ( ) ( ) ;1 (3) 1 (4) 011101() , 2 , ,(,|.1nnnnnnnxxa bxa bxxxxxllxxxl 則則:方方程程在在上上有有唯唯一一根根;)收收斂斂到到 1 , ( );xa baxb ( ) ,有有( ) , xa b 設(shè)設(shè)在在上上滿滿足足下下列列兩兩項項條條件件定理定理2.2.12.2.1 (1) ()(), ( )( )0, ( )( )0,g xxxg aaag bbb 證證 :設(shè)設(shè)則則 , , ( )0a bg 故故至至少少有有一一個
4、個使使。 ( )1( )0, ( ) g xxg x ,。遞遞增增故故根根 惟惟一一 又又(2) (2) 即即xn收斂。收斂。 21100 ()nnl xlxn , 1()( ) =()() nnnnnxxxl x (中中值值定定理理) (2.2.1) 1nnx 故故 當(dāng)當(dāng)時時 , 1111()() ()().2.2.3 nnnnnnnnnxxxxxxl xx (中中值值定定理理)()(3)(3) (4)(4) 11.2.2.2 1nnnxxxl ()111 ()() ( (1)nnnnnnnnnxxxxxxxl xl x 由由(2.2.12.2.1) 式式), 110 (2.2.2) (2.
5、2.3) .11nnnnllxxxxxll 由由和和式式得得注1:l l越小,收斂越快。越小,收斂越快。由定理結(jié)論由定理結(jié)論(3)(3)或或(2.2.2)(2.2.2),只要前后兩次迭代值的差值足,只要前后兩次迭代值的差值足 夠小,就可使近似值夠小,就可使近似值 達(dá)到任意的精度。在實際計算達(dá)到任意的精度。在實際計算 中,一般用中,一般用 來控制迭代過程結(jié)束來控制迭代過程結(jié)束。1nx1|nnxx定理條件非必要條件,可將定理條件非必要條件,可將a, b縮小,定義縮小,定義局部收斂性局部收斂性:定義定義2.2.1 若存在若存在 的某的某 鄰域鄰域 b = x | | x | , 使使由由 x0 b
6、開始的迭代都收斂開始的迭代都收斂, 則稱迭代法具有則稱迭代法具有局部收斂性局部收斂性。定理定理2.2.2 設(shè)設(shè)(x)在在 的某的某 鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù), 且且 | ( ) | 1, 則迭代法則迭代法xn+1 = (xn)具有局部收斂性具有局部收斂性。證明證明 省略省略。3 3編程停機判斷編程停機判斷 nnxx1時,由(時,由(2.2.22.2.2)式知)式知 l11 nx 比較小,此時停機,比較小,此時停機,1n x )(1nnxx (取定初值(取定初值x0)計算,當(dāng))計算,當(dāng) 由由二二. .迭代法的收斂階迭代法的收斂階( (收斂速度收斂速度) )1| (0), |limnpnnxccx 則稱則稱xn p階收斂階收斂, ,相應(yīng)的迭代法稱為相應(yīng)的迭代法稱為p階方法階方法. . 特別特別, , p=1=1時叫線性收斂時叫線性收斂, ,此時要求此時要求00c1;0,0,使使 定義定義2.2.22.2.2: : 設(shè)設(shè)定理定理2.2.32.2.3 設(shè)設(shè)(x)在在 的某鄰域的某鄰域 內(nèi)有充分多階連續(xù)內(nèi)有充分多階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則迭代
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