求解伯格斯方程的幾種算法

1、求解伯格斯方程的幾種算法摘 要：伯格斯方程(burgers equation)是一個(gè) 具有重要物理意義的數(shù)學(xué)模型。結(jié)合算例比較了基于 不同徑向基函數(shù)(matern和mq)的局部特別解方法 和local kansa method,分析了它們的計(jì)算誤差和優(yōu) 劣。關(guān)鍵詞：burgers方程；徑向基函數(shù)；局部近似特 別解方法一、引言對(duì)很多物理問(wèn)題來(lái)說(shuō)，伯格斯方程(burgers equation)是一個(gè)非常有用的數(shù)學(xué)模型，比如激波、淺 水波問(wèn)題和交通流動(dòng)力學(xué)問(wèn)題等。而且，由于伯格斯 方程是比較少的可以得到精確解的一類非線性偏微分 方程，它又常被用來(lái)檢驗(yàn)數(shù)值方法的好壞優(yōu)劣，這也 使得伯格斯方程在計(jì)算機(jī)時(shí)

2、代具有了重要的應(yīng)用價(jià) 值。近年來(lái)，無(wú)網(wǎng)格方法求解伯格斯方程逐漸受到重 視，它既不需要進(jìn)行網(wǎng)格劃分，又可以有效提高計(jì)算 的精度。其中，基于徑向基函數(shù)(radial basis function, rbfs)的無(wú)網(wǎng)格方法具有形式簡(jiǎn)單和各向同性等諸多 優(yōu)點(diǎn)，并且具有較強(qiáng)的比較能力，在數(shù)學(xué)上得到了大 量研究和成功運(yùn)用。本文結(jié)合算例比較了基于不同徑 向基函數(shù)(mateni和mq)的局部近似特別解(lmaps)方法以及l(fā)ocal kansa method,在求解伯 格斯方程近似解的可行性。二、算例考慮到分別用基于matem徑向基函數(shù)的lmaps 和基于mq函數(shù)的lmaps方法來(lái)求解方程(1),表 1表示節(jié)

3、點(diǎn)在單位正方形的規(guī)則計(jì)算區(qū)域上均勻分 布，如圖1所示。三、比較分析分別取總節(jié)點(diǎn)數(shù)為121和441在匸0.4, re=l,局 部點(diǎn)ns=5的情況下，lmaps分別采用matern徑向基 和mq徑向基函數(shù)，local kansa method方法獲得的 最大絕對(duì)誤差mae,最大相對(duì)誤差mre和均方根誤 差列表rmseo由于matern徑向基函數(shù)不含有形參c, 所以不用像mq函數(shù)作徑向基函數(shù)那樣去考慮形參c 的取值，由下表可以看出不論是用mq作徑向基函數(shù), 還是選取matern徑向基函數(shù)，都能達(dá)到很高的近似精 度，取得令人滿意的效果，但是采用matern rbfs時(shí) 獲得的各種誤差相對(duì)來(lái)講是最大的，

4、這說(shuō)明求解均勻 區(qū)域點(diǎn)均勻分布的偏微分方程并不像求解非均勻分布 的情況那樣能取得較高的近似精度。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)n=121時(shí),采用matern徑向基函數(shù)時(shí) lmaps方法的最大絕對(duì)誤差，最大相對(duì)誤差和均方 根誤差都達(dá)到了 10-5,而采用mq函數(shù)作徑向基函數(shù) 的lmaps方法有更高的近似精度，當(dāng)總節(jié)點(diǎn)數(shù)都增 加到n=441時(shí)，基于兩種不同徑向基函數(shù)的lmaps 方法和local kansa method的近似誤差都有著不同程 度的提高，可見(jiàn)節(jié)點(diǎn)分布越密lmaps方法和local kansa method的計(jì)算精度越高，同時(shí)采用mq徑向基 函數(shù)的lmaps方法比用matern徑向基函數(shù)的 lmaps方法

5、和local kansa method的計(jì)算精度更高， 當(dāng)lmaps方法采用matern rbfs時(shí)近似誤差則會(huì)比 local kansa method 較大一些。但是隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，不論是采用mq徑向基 函數(shù)lmaps方法，還是local kansa method都需要 隨著嘗試改變c的取值，以便取得最好的近似精度。 這里需要說(shuō)明的是lmaps方法和local kansa method 雖然都可以通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)數(shù)提高計(jì)算精度，但由于會(huì) 增加計(jì)算的量，故運(yùn)算也需要更長(zhǎng)的時(shí)間。下圖 2 (a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)都是在正 方形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)均勻分布，總點(diǎn)數(shù)分別取n=121和 n=

6、441,局部區(qū)域點(diǎn)ns=5,邊界點(diǎn)為ns=40和ns=80, 雷諾數(shù)re=l在t=0.4時(shí)分別采用兩種不同徑向基函數(shù) 的lmaps方法和local kansa method獲得的絕對(duì)誤 差圖像。四、結(jié)論在求解burgers方程時(shí),基于全局性質(zhì)的特別解 方法得到的矩陣是滿陣或者是稠密矩陣，這些矩陣往 往是奇異的，如果用來(lái)解決大規(guī)模問(wèn)題甚至是病態(tài)的。 為了規(guī)避這些問(wèn)題，人們找到了局部近似特別解方法(lmaps)o本文釆用三種方法在規(guī)則區(qū)域內(nèi)求解點(diǎn) 均勻分布的伯格斯方程，三種方法的最大絕對(duì)誤差， 最大相對(duì)誤差和均方根誤差都達(dá)到了 10-5以上，證明 都是有效的，誤差和計(jì)算精度都是令人滿意的。參考文獻(xiàn)

7、：1 j. m. burger. a mathematical model illustrating the theory of turbulence in adv. in appl. meeh.i, academic press, new york, 1948： 171-199.2 程玉民.科學(xué)和工程計(jì)算的新方法：無(wú)網(wǎng)格方 法j.計(jì)算機(jī)輔助工程,2009 (1).3 li s, liu w k. meshfree and partical methods and theirapplications.appl. meeh.rev., 2002, 55 (1 )： 1 34.4jj.c. li, y.c. hon, c.s. chen.numeri