2022年全等三角形知識(shí)點(diǎn)與例題

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載19 全等三角形19.1 命題與定理1. 命題可以判斷它是正確的或是錯(cuò)誤的句子叫做命題（proposition） 正確的命題稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題許多命題是由題設(shè)（或已知條件） 、結(jié)論兩部分組成的題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)這樣的命題?？蓪?xiě)成“如果，那么”的形式例 1 把命題“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”改寫(xiě)成“如果，那么”的形式，并分別指出命題的題設(shè)與結(jié)論解這個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等，那么這個(gè)三角形是等邊三角形”這個(gè)命題的題設(shè)是“一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等”，結(jié)論是“這個(gè)三角形是等邊三角形” 要判斷一個(gè)命題是真命題， 可以用邏

2、輯推理的方法加以論證；而要判斷一個(gè)命題是假命題， 只要舉出一個(gè)例子， 說(shuō)明該命題不成立， 即只要舉出一個(gè)符合該命題題設(shè)而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了練習(xí)1把下列命題改寫(xiě)成 “如果， 那么”的形式，并指出它的題設(shè)和結(jié)論（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（2）平行四邊形的對(duì)邊相等2指出下列命題中的真命題和假命題（1）同位角相等，兩直線平行；（2）多邊形的內(nèi)角和等于1802公理、定理數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理（axioms） 我們已經(jīng)知道下列命題是真命題：一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；兩條直線被第三條直線所

3、截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等在本書(shū)中我們將這些真命題均作為公理從公理或其他真命題出發(fā)， 用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理（theorem） 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載19.2 三角形全等的判定1. 全等三角形的判定條件如果兩個(gè)三角形有三組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角），那么會(huì)有哪幾種可能的情況？這時(shí)，這兩個(gè)三角形一定會(huì)全等嗎？練習(xí)1. 如圖，點(diǎn) o是平行

4、四邊形 abcd 的對(duì)角線的交點(diǎn)， aob 繞 o旋轉(zhuǎn) 180o，可以與_ 重合，這說(shuō)明 aob _.這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊是 ao與_，ob與_ ，ba與_；對(duì)應(yīng)角是 aob與_，oba 與_,bao 與_. (第 1 題) （第 2 題）2如圖，ae是平行四邊形 abcd 的高，將 abe沿 ad方向平移，使點(diǎn) a與點(diǎn)d重合，點(diǎn) e與點(diǎn) f重合，則 abe _，f_3如圖，點(diǎn) d是等腰直角三角形 abc內(nèi)一點(diǎn)， ab ac ，將 abd繞點(diǎn) a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，點(diǎn) d與點(diǎn) e重合，則 abd _，ad _，bd _第 3 題2邊角邊如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全

5、等 簡(jiǎn)記為 s.a.s. （或邊角邊）3角邊角現(xiàn)在，討論相對(duì)的情況：如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角、 一條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形能全等嗎？這時(shí)同樣應(yīng)有兩種不同的情況：如圖 19.2.6 所示， 一種情況是兩個(gè)角及這兩精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載角的夾邊；另一種情況是兩個(gè)角及其中一角的對(duì)邊圖 19.2.6 如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)記為 a.s.a. （或角邊角）如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，那

6、么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)記為a.a.s. （或角角邊）4 邊邊邊如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)記為sss （或邊邊邊） . 我們可以將前面探索得到的結(jié)論歸納成下表：對(duì)應(yīng)相等的元素兩邊一角兩角一邊三角三邊兩 邊 及其夾角兩 邊 及 其中 一 邊 的對(duì)角兩 角 及其夾邊兩 角 及 其中 一 角 的對(duì)邊三角形是否全等一定（s.a.s）不一定一定(a.s.a) 一定(a.a.s) 不一定一定(s.s.s) 5斜邊直角邊如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等簡(jiǎn)記為hl （或斜邊直角邊）19.3 尺規(guī)作圖只能使用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺這兩種工具去作

7、幾何圖形的方法稱(chēng)為尺規(guī)作圖1 作一條線段等于已知線段圖 19.3.1 圖 19.3.2 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2作一個(gè)角等于已知角圖 19.3.3 已知： aob 。求作：一個(gè)角，使它等于aob 。步驟如下：(1) 作射線 o a (2) 以 o為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交oa于點(diǎn) c，交 ob于點(diǎn) d (3) 以 o 為圓心，以 oc 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交o a于點(diǎn) c (4) 以點(diǎn) c 為圓心，以 cd的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)d (5) 過(guò) d

8、作射線 o b 則ao b就是所求作的角練習(xí)1 任意畫(huà)出兩條線段ab和 cd ，再作一條線段，使它等于ab 2cd 2 任意畫(huà)出兩個(gè)角 1 和2，使 12，再作一個(gè)角，使它等于123 作已知角的平分線如圖 1934，aob 為已知角，試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地作出aob的平分線第一步：在射線 oa和 ob上，分別截取 od 、oe ，使 od oe ；第二步： 分別以點(diǎn) d 、 e 為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)（大于線段de長(zhǎng)的一半）為半徑作弧，在 aob 內(nèi)，兩弧交于點(diǎn) c；第三步：作射線 oc 射線 oc就是所要作的 aob 的平分線圖 19.3.4 圖 19.3.5 我們可以證明這樣作出來(lái)的射線

9、是符合要求的，即證明aoc boc 如圖 1935，連結(jié) ec 、dc ， odoe ， dcec ，oc oc ， ocd oce （sss ） ， aoc boc （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載練習(xí)1 如圖，已知 a，試作 b12a（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡） (第 1 題) （第 2 題）2 作出圖中三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡） 4 經(jīng)過(guò)一已知點(diǎn)作已知直線的垂線(做過(guò)該點(diǎn)的角平分線 ) 已知點(diǎn)與已知直線可以

10、有兩種不同的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上因此要分別按這兩種情況作圖（1） 經(jīng)過(guò)已知直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線已知直線 ab和 ab上一點(diǎn) c，試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地經(jīng)過(guò)點(diǎn)c作出直線 ab的垂線圖 19.3.6 如圖 1936，由于點(diǎn) c在直線 ab上，因此所求作的垂線正好是平角acb的平分線所在的直線第一步：作平角 acb的平分線 cd ；第二步：反向延長(zhǎng)射線 cd 直線 cd就是所要作的垂線（2） 經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線動(dòng)手試一試，現(xiàn)在你知道具體作法了吧，你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？已知直線ab和 ab外一點(diǎn) c ， 試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地經(jīng)過(guò)點(diǎn)c作出直線 ab的

11、垂線圖 19.3.7 圖 19.3.8 如圖 1937，若以點(diǎn) c為圓心，作能與直線ab相交于 d、e兩點(diǎn)的弧，則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載cde 為等腰三角形，由“等腰三角形底邊上的高就是頂角的平分線”可知，只需作出 dce 的平分線例利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)等于45的角作法： 1 作直線 ab ；2 過(guò)點(diǎn) a作直線 ab的垂線 ac ；3 作cab 的平分線 ad dab 就是所要作的角（如圖1938 所示） 練習(xí)1 如圖，過(guò)點(diǎn) p作o兩邊的垂線(第 1

12、題) （第 2 題）2 如圖，作 abc 邊 bc上的高5 作已知線段的垂直平分線思 考如圖 1939，對(duì)已知線段 ab的垂直平分線上的任意兩點(diǎn) c、d，總有 ca cb ， dadb.由此，你能發(fā)現(xiàn)作垂直平分線的方法嗎？如圖 19310，已知線段 ab ，試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地作出線段ab的垂直平分線第一步：分別以點(diǎn) a和 b為圓心，以大于ab一半的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)c和 d第二步：作直線 cd 直線 cd就是所要作的線段ab的垂直平分線我們可以證明這樣作出來(lái)的直線是符合要求的，即證明直線 cd垂直平分線段 ab 如圖 19311，連結(jié) ca 、cb 、da 、db ， ac

13、bc ， adbd ，cd cd ，圖 19.3.9 圖 19.3.10 圖 19.3.11 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 acd bcd （sss ） ， acd bcd （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） ， cd垂直平分線段 ab （等腰三角形“三線合一” ） 由于直線 cd與線段 ab的交點(diǎn)就是 ab的中點(diǎn)，因此我們可以用這種方法作出線段 ab的中點(diǎn)，從而也可以作出任一個(gè)三角形的三條中線練習(xí)1 四等分已知線段 ab 2 如圖，作 abc 邊 bc的垂直平分線

14、(第 2 題) 習(xí)題 193 完成下列作圖，并寫(xiě)出作法1 如圖，已知線段 ab和 cd ，求作一條線段，使它等于ab 2cd （第 1 題）（第 2 題）2 如圖，已知 a和b，求作一個(gè)角，使它等于a2b3 如圖，已知線段 a 和 b，求作一個(gè)等腰三角形，使它的腰長(zhǎng)等于a，底邊長(zhǎng)等于 b（第 3 題）（第 4 題）4 如圖，已知線段 a 和 b，求作一個(gè)直角三角形，使它的兩條直角邊分別等于線段 a 和 b5 作一個(gè)四邊形，使它的兩組對(duì)邊分別相等6 已知等腰三角形 abc ，ab ac ， a90，在 ac所在的直線上求作一點(diǎn)p，使 pa pb 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

15、 - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載194 逆命題與逆定理1互逆命題與互逆定理一般來(lái)說(shuō)，在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一命題就叫做它的逆命題原命題正確，它的逆命題未必正確例如真命題“對(duì)頂角相等”的逆命題為“相等的角是對(duì)頂角” ，此命題就是假命題如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理2 等腰三角形的判定等腰三角形的底角相等，這是等腰三角形的

16、性質(zhì)定理它的逆命題“ 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等， 那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”也是定理，是判定三角形是否是等腰三角形的一個(gè)重要的方法如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等， 那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等 （簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）3 角平分線角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上三角形三條角平分線交于一點(diǎn)從圖 1946 中可以看出，要證明三條角平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中的兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上就可以了請(qǐng)你完成證明練習(xí)1 如圖，在直線 l 上找出一點(diǎn) p，使得點(diǎn) p到aob 的兩邊 oa 、ob的距離相等圖 19.4.6 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

17、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（第 1 題）（第 2 題）2 如圖，已知 abc的外角 cbd 和bce的平分線相交于點(diǎn)f，求證： 點(diǎn)f在dae的平分線上4 線段垂直平分線垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)從圖 1949 中可以看出，要證明三條垂直平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中的兩條垂直平分線的交點(diǎn)一定在第三條垂直平分線上就可以了試試看，現(xiàn)在你會(huì)證了嗎？練習(xí)1 如圖，已知點(diǎn) a、點(diǎn)

18、b以及直線 l ，在直線 l 上求作一點(diǎn) p，使 pa pb (第 1 題) （第 2 題）（第 3 題）2 如圖，已知 ae ce ， bdac 求證： abcd ad bc 3 如圖，在 abc上，已知點(diǎn) d在 bc上，且 bd ad bc 求證： 點(diǎn) d在ac的垂直平分線上習(xí)題 194 1 寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題：（1） 如果 xy， 那么 x2y 2 ；（2） 如果一個(gè)三角形有一個(gè)角是鈍角，那么它的另外兩個(gè)角是銳角2 如圖，在 abc中，ab ac ， dbdc 求證：圖 19.4.9 （第 2 題）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（1） bae cae ； （2） aebc 3 如圖，在 abc中， abc 、acb的平分線交于點(diǎn) d，ef經(jīng)過(guò)點(diǎn) d，且ef