非齊次方程課件

1、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系5.6 5.6 線性常系數(shù)非齊次方程線性常系數(shù)非齊次方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 常數(shù)變易法常數(shù)變易法觀察法觀察法待定系數(shù)法待定系數(shù)法北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 xyye練習(xí)：求的特解觀察練習(xí)（不求難，只求會(huì)）： yyx練習(xí)：求 的一個(gè)特解思考：觀察法的重點(diǎn)在那里？北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系常見(jiàn)類(lèi)型常見(jiàn)類(lèi)型方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.)()(xPexfmx )(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn ( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 二階

2、常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1( )xmypyqye P x、對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexQy )( 代入方程代入方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè);)(xmexQy 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1( )xmypyqye P x、對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexQy )( 代入方程代入方程)()()()()2()(2xP

3、xQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(;)(xmexQy 是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可設(shè)設(shè);)(xmexxQy 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1( )xmypyqye P x、對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexQy )( 代入方程代入方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(;)(xmexQy 是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(;)(xmexxQy 是特征方

4、程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p .)(2xmexQxy 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.1( )xmypyqye P x、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單

5、根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系cos2i xi xeexsin2i xi xeexi()()( )( )ixixmmypyqyPx ePx e由疊加原理：()( ),ixmypyqyP x e利用歐拉公式利用歐拉公式2 ( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx、()( ),ixmypyqyP x ei北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)有特解：( )( )cos( )si

6、n,kxmmy xx eRxxRxx次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 0,1iki不是根是單根注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程.( )cos( )sinxlnypyqyeP xxP xx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系-sinyyxx例：求 的特解 0yy解：對(duì)應(yīng)的齊次方程21200,1rrrr特征方程：i注意到：不是特征根，可以假設(shè)方程有特解：代入方程：1111222abcd 得：，111()cos(1)sin222yxxxx即：( )()cos()siny xaxbxcxd

7、x北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是是單單根根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例2 2北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方

8、程作輔助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 設(shè)設(shè)代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實(shí)部）（取實(shí)部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的的實(shí)實(shí)部部和和虛虛

9、部部分分別別是是xiAe ,)9431(2*ixeixy 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系22 xyyexx練習(xí)：求的特解北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系txe令lntx則1dydy dtdyydxdt dxx dtdyxydt( )1(1)113 ( )nnnnnnx ya xyaxya yf x、1()( )dydd yx dtydxdx2221()d ydyxdtdt222d ydyx ydtdt北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系25 2x yxyyx例：求方程 的通解22,5()2ttxed ydydyyedtdtdt解：令 則此歐拉方程化為：2232td ydyyedtdt此線性非齊次常系數(shù)方程的通解：1221223yC xC xx原方程的通解：221223tttyC eC ee北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系三、小結(jié)可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQ