第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1

1、多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念1偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)2全微分全微分3多元復(fù)合函數(shù)微分法多元復(fù)合函數(shù)微分法4微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用5多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值6平面區(qū)域的概念平面區(qū)域的概念 1多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念2多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限3多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性4小結(jié)小結(jié)5 0p ep 開區(qū)域開區(qū)域.41| ),(22 yxyxxyo.41| ),(22 yxyxxyo有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域0| ),( yxyx無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo1.1.二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等

2、概念因變量等概念.二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念),(yxf例例3 3 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxd 2二元函數(shù)二元函數(shù) 的幾何意義的幾何意義 ),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閐，對于任意，對于任意取定的取定的dyxp ),(，對應(yīng)的函數(shù)值為，對應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、y為縱坐為縱坐標(biāo)、標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)),(zyxm，當(dāng)當(dāng)x取

3、遍取遍d上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集),(),(| ),(dyxyxfzzyx ，這個(gè)點(diǎn)集稱，這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形.（如下頁圖）（如下頁圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(

4、lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在（1） 令令),(yxp沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxp，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但

5、兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxp處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在d d上

6、至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在d d上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在d d上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，