第36工程信號(hào)及其可測(cè)性分析

1、g(/)l(a)(h)圖3j4脈沖函數(shù)的定義與表示3-6典型激勵(lì)信號(hào)描述激勵(lì)信號(hào)在測(cè)試信號(hào)的分析中起著重要的作用。工程測(cè)試中常通過(guò)施加激勵(lì) 信號(hào)來(lái)求取系統(tǒng)的沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)等，以獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)或標(biāo)定傳 感器的靈皺度等。本節(jié)介紹幾種工程測(cè)試小常用的典型激勵(lì)信號(hào)及其頻譜結(jié)構(gòu)。3.6.1沖激函數(shù)及其譜分析1.沖激函數(shù)沖激函數(shù)有兒種不同的定義式。(1) 圖3-14 (a)所示的矩形脈沖g(f),寬為 t ,高為1/其面積為1。保持脈沖面積不變，逐 漸減小廠，則脈沖幅度逐漸增大，當(dāng)tto時(shí)，矩 形脈沖的極限稱為單位沖激函數(shù)，記為5,即/ 函數(shù)，表達(dá)式為(3-53)/=lim£(r +

2、 彳)一 £(/ 一 |)圖形表示如圖314 (b)所示。力表示只在心0點(diǎn)有“沖激”；在(=0點(diǎn)以外各處，函數(shù)值均為0,其 沖激強(qiáng)度(脈沖面積)是lo 一個(gè)強(qiáng)度為e倍單位值的/函數(shù)用來(lái)表示。圖形表示時(shí)在箭頭旁需注上e。如圖314 (b)所示。(2) 狄拉克(diract)定義狄拉克給出的沖激函數(shù)定義為£830s (/) d/ = l(3-54)8(t) = 0,這一定義與上述脈沖的定義是一致的，因此，也把5函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)。 對(duì)于在任意點(diǎn)/ = 處出現(xiàn)的沖激，可表示為(3-55)8 t -r0) at = 12.沖激函數(shù)的性質(zhì)(1)積分篩選特性當(dāng)單位沖激函數(shù)與一個(gè)在/ =

3、 0處連續(xù)且有界的信號(hào)兀相乘時(shí)，其積的 積分只有在(=0處得到x(0),其余各點(diǎn)之乘積及積分均為零，從而有(3-56)(3-57)s(t)x(t)dt =<y(/)x(o)d/ = x(0) t 8(t)at = x(0)丄 00j-00丄 8類似地，對(duì)于fi-oc什 o)什 cos(t-txt)at= r d>(r-r0)x(r0)dr = x(r0) r s(t-tq)dt = x(tq)j-00j-coj-co式(356和式(357)表明，當(dāng)連續(xù)時(shí)間函數(shù)兀與單位沖激信號(hào)5(/)或者s(t -r0)相乘，并在(-8, 8)時(shí)間內(nèi)積分,可得到x。)在/ = 0點(diǎn)的函數(shù)值x(0)或

4、者f = 4點(diǎn)、 的函數(shù)值x(t0),即篩選出x(0)或者x(r0) o(2) 沖激函數(shù)是偶函數(shù)即8(t) = j(-/)(3-58)£"5(-r)x(/)d/ = £'8(t)x(-t)d(-t)= £'5(t)x(0)dt = x(0)(3-59)這里用到了變量置換r = -/o將上面得到的結(jié)果與式(356)對(duì)照，從而證明了沖 激函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)。(3) 乘積(抽樣)特性若函數(shù)x(/)在7 = /。處連續(xù)，則有 x(r)<j(/-r0) = x(/0 w-/o)(3-60)(4) 卷積特性兩個(gè)信號(hào)斗與勺卷積的定義：即定義x (

5、r)x2 (r - r)d r為信號(hào)旺 j-00與兀20)的卷積，記作x(f)*x2«),寫成i(/)*x2(r)= t xj(r)x2 (t - r)dr(3-61)(3-62)卷積公式的積分結(jié)果仍是時(shí)間t的函數(shù)，而任何連續(xù)信號(hào)x(/)和(/)的卷積是 一種最簡(jiǎn)單的卷積積分，結(jié)果就是該連續(xù)信號(hào)%(/),即兀(f) */(/)= £ x(r)8(t - r)dr = x(r)同理，對(duì)于吋延單位脈沖5(7土心)，有(4-00x(/)* j(r±/()=x(r)8t ± r() - r)dr = x(t ± tq) (3-63)j-00連續(xù)信號(hào)與函

6、數(shù)卷積結(jié)果的圖形如圖3-15所示。由圖可見，信號(hào)x(f) 和5(f±z°)函數(shù)卷積的幾何意義，就是使信號(hào)雙/)延遲±5脈沖時(shí)間。(1)d(t(1)6(什ib)(1)0a9 za)0/t0 /-£0上t£ 0rt2 2 2 2圖3-15連續(xù)信號(hào)與沖激函數(shù)的卷積3/信號(hào)的頻譜由傅里葉變換的定義及5(f)的積分篩選特性可得單位沖激函數(shù)(5(f)的傅里 葉變換x(a)=f6(t)= f j(r)e_j6*dr= pj(r)e°dr = l (3-64)丄00j-oc由上式可見，單位脈沖信號(hào)的頻譜為常數(shù)，說(shuō)明信號(hào)包 含了 (一00,+00)所有

7、頻率成分，且任一頻率的頻譜密度函數(shù) 相等，如圖316所示，故稱這種頻譜為“均勻頻譜”， 又稱“白色譜” o同時(shí)由傅里葉逆變換定義,可得0 方圖3 16單位脈沖信號(hào)頻譜a丨6(co)q°)! aco =82兀卜00j3(co)aco =82兀(3-65)上式表明直流信號(hào)的傅里葉變換是沖激函數(shù)。即f 丄=/(0),f1 = 2ti/(0)2兀(3-66)3.6.2單位階躍信號(hào)及其譜分析階躍信號(hào)"可表示w(z)=or>0/<0(3-67)階躍信號(hào)在跳變點(diǎn)t=0處,函數(shù)值未定義，或在t=0處規(guī)定(0)=£。幅值a=1的階躍信號(hào)稱為單位階躍信號(hào)，如圖317所示，

8、可表示為"(/) h/>0/<0(3-68)-qr圖j17單位階躍信號(hào)利用單位階躍信號(hào)可方便地表達(dá)各種單邊信號(hào)，如單邊 正弦信號(hào)為w(/)sin/、單邊指數(shù)衰減振蕩信號(hào) 叩)尿訕血2兀如等。此外，它還能表示單邊矩形脈沖信號(hào)g(t) = u(t)-u(t-t)式屮t為矩形脈沖持續(xù)吋間。由于單位階躍信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接由定義式給出其頻譜，可 把它看成當(dāng)a->0時(shí)的指數(shù)信號(hào)e-刃在時(shí)域上的極限，其頻譜為e"的頻譜在 ato時(shí)的極限。可求得階躍信號(hào)的頻譜為x(co) =(co)=兀(e) + 丄(3-72)頻譜圖如圖3-19所示。由于階躍信號(hào)中含有直流分量，所以階躍信號(hào)的頻譜在血=0處存在沖激，而且它在戶0處有跳變，從而頻譜中還有高頻分量。3.6.3單位斜坡信號(hào)及其頻譜1.斜坡信號(hào)斜坡信號(hào)也稱為斜變信號(hào)或斜升信號(hào)，指從某一吋刻開始隨吋間成正比例增長(zhǎng)的信號(hào)。如果增長(zhǎng)的變化率為1,也稱單位斜坡信號(hào)。其波形如圖3-20所示, 表達(dá)式為0 /<0也可表示成r(t) = t -(3-73 )2