高階微分方程小結(jié)課件

1、高階微分方程小結(jié)PPT課件高階微分方程小結(jié)高階微分方程小結(jié) 第十二章第十二章 總結(jié)總結(jié) 高階微分方程小結(jié)PPT課件一基本要求：1 了解了解微分方程的基本概念微分方程的基本概念: : 微分方程的定義、階、解、通解、積微分方程的定義、階、解、通解、積分曲線、特解、初始條件、初值問題；分曲線、特解、初始條件、初值問題；2 會判斷會判斷變量可分離方程、齊次方程、變量可分離方程、齊次方程、一階線性方程、一階線性方程、 伯努利方程；伯努利方程；3 掌握掌握變量可分離方程和一階線性方程變量可分離方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程和伯努利方程；的解法，會解齊次方程和伯努利方程；高階微分方程小結(jié)PPT課件(

2、 )4 ( )( ,)( ,)nyf xyf x yyf y y 了了解解特特殊殊高高階階微微分分方方程程的的降降階階法法：，5 理解理解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；6 掌握掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；7 掌握掌握自由項為自由項為( )( )cosxnf xe P xx ( )( )xmf xPx e 、( )( )sinxnf xe P xx 或或的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式形式高階微分方程小結(jié)PPT課件基本概念基本概念 一階方程一階方程 類類 型型1.1.直接積分法直接積分法

3、2.2.可分離變量可分離變量3.3.齊次方程齊次方程4.4.線性方程線性方程5.5.伯努利方程伯努利方程變量代換變量代換可降階方程可降階方程線性方程線性方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)特征方程及其根特征方程及其根對應(yīng)的通解形式對應(yīng)的通解形式f( (x) )的形式及其的形式及其特解形式特解形式高階方程高階方程 待定系數(shù)法待定系數(shù)法特征方程法特征方程法二內(nèi)容提要二內(nèi)容提要高階微分方程小結(jié)PPT課件1. 基本概念基本概念微分方程微分方程微分方程的階微分方程的階微分方程的解：微分方程的解：通解通解特解特

4、解初始條件初始條件初值問題初值問題高階微分方程小結(jié)PPT課件(1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程2. 一階微分方程的解法一階微分方程的解法()dyyfdxx 形形如如(2) 齊次方程齊次方程xyu 作變量代換作變量代換分離變量法分離變量法解法解法解法解法高階微分方程小結(jié)PPT課件( )( )dyP x yQ xdx形形如如(3) 一階線性微分方程一階線性微分方程齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（分離變量法分離變量法）解法解法非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC （常數(shù)變易法）（常數(shù)變易法）高

5、階微分方程小結(jié)PPT課件(4) 伯努利伯努利( (Bernoulli)方程方程( )( )ndyP x yQ x ydx形形如如)1 , 0( n解法解法 需經(jīng)過需經(jīng)過變量代換變量代換化為線性微分方程化為線性微分方程,1 nyz 令令(1) ( )(1) ( )( )(1).n P x dxn P x dxzeQ xn edx c 1 ny 高階微分方程小結(jié)PPT課件3.可降階的高階微分方程的解法可降階的高階微分方程的解法解法解法( ),yP x 令令特點特點. y不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù) 型型( )(1)( )nyf x 接連積分接連積分n次次, ,得通解得通解(2)( ,)yf x y

6、 型型解法解法,dpyPdx( ),yP x 令令.x不不顯顯含含自自變變量量(3)( ,)yf y y 型型解法解法,dydpPy 高階微分方程小結(jié)PPT課件4. 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1) 二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu): :( )( )0(1)yP x yQ x y 形形如如解的疊加解的疊加高階微分方程小結(jié)PPT課件(2) 二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu): :( )( )( ) (2)yP x yQ x yf x *yYy 定理定理3 設(shè)設(shè)y*是是(2)的一個特解的一個特解, Y是與是與(2)對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程(1)的通解

7、的通解,是二階非齊次線性微分方程是二階非齊次線性微分方程(2)的通解的通解.那么那么高階微分方程小結(jié)PPT課件疊加疊加高階微分方程小結(jié)PPT課件5. 二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程解法解法 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .高階微分方程小結(jié)PPT課件02 qprr0 qyypy特征方程為特征方程為微分方程微分方程高階微分方程小結(jié)PPT課件01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnP

8、rPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應(yīng)項通解中的對應(yīng)項kr若若是是 重重根根rxkkexCxCC)(1110 kj 若若是是 重重共共軛軛復(fù)復(fù)根根xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推廣：推廣： n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法高階微分方程小結(jié)PPT課件6.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法)(xfqyypy 通解通解 yYy.Yy 其其中中 是是對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解，是是非非齊齊次次的的特特解解用用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求特解求特解 y高階微分方程小結(jié)PPT課件(1)( )( )xmf

9、 xePx 型型( ),kxmyx eQx 設(shè)設(shè)特特解解形形式式012k 不不是是特特征征根根是是特特征征單單根根是是特特征征重重根根( )( )mmQxPx其其中中是是與與同同次次的的待待定定多多項項式式. .)(xfqyypy 高階微分方程小結(jié)PPT課件(2)( )( )cosxmf xePxx 型型(1)(2)( )cos( )sin,kxmmyx eRxxRxx (1)(2)( ),( )mmRx Rxm其其中中是是 次次多多項項式式，0;1.iki 不不是是特特征征方方程程的的根根時時是是特特征征方方程程的的單單根根時時( )sinxmePxx 或或設(shè)特解的形式設(shè)特解的形式)(xfq

10、yypy 高階微分方程小結(jié)PPT課件12312,( )( )( ),y yyyp x yq x yf xC C 設(shè)設(shè)線線性性無無關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)都都是是的的解解. .為為任任意意常常數(shù)數(shù)，則則該該方方程程的的通通解解是是 112233112212311221231122123.;.;.1;.1AC yC yC yBC yC yCCyCC yC yCCyDC yC yCCy 答：選擇答：選擇C問題問題1三三 問題與思考問題與思考高階微分方程小結(jié)PPT課件問題問題2. . 以以12,xxyeyxe 為特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為為特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為 20yyy答：正確答：正確.

11、.12,xxyeyxe 121rr 特特征征根根為為0)1(2 r2210,rr即即20yyy高階微分方程小結(jié)PPT課件21.2yyy 求求通通解解例例1解解.x方方程程不不顯顯含含,dPyPyPdy 令令則則代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP 211,PC y解解得得，, 11 yCP11,dyC ydx 即即故方程的通解為故方程的通解為.12211CxyCC 四典型題目四典型題目高階微分方程小結(jié)PPT課件( )f x 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)滿滿足足例例2解解2211( )( )xxf tf txdtxdttt 積積分分變變形形為為方程兩邊求導(dǎo)方程兩邊求導(dǎo)221( )( )( )x

12、f tf tfxdtxtx 兩邊再求導(dǎo)，得兩邊再求導(dǎo)，得( )( )0 xfxfx由原方程和由原方程和(1)(1)式式, ,得初始條件得初始條件(1)1(1)1ff 21( )( )1,( ).xf tf xxdtf xt 求求( ).f x連連續(xù)續(xù)， 右右端端積積分分可可導(dǎo)導(dǎo)高階微分方程小結(jié)PPT課件求解初值問題求解初值問題( )( )0(1)1,(1)1xfxfxff ( ),dzzfxxzdx 令令方方程程變變?yōu)闉?,zC x 解解之之，得得11,C 由由初初始始條條件件，得得( )zxfxx 于于是是，即即221( )2f xxC 從從而而21,2C 由由初初始始條條件件，得得 21(

13、 )12f xx 因因此此，所所求求函函數(shù)數(shù)為為高階微分方程小結(jié)PPT課件例例3 試確定以試確定以 sin 2yx 解解 1sin22yxri 由由為為一一個個特特解解, ,可可知知為為特特征征根根. .22ri 由由于于復(fù)復(fù)根根總總是是成成對對出出現(xiàn)現(xiàn)的的, ,所所以以也也是是特特征征根根， 220riri因因此此特特征征方方程程為為240r 即即從而相應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為從而相應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為40yy 為特解的二階常系數(shù)齊次線性方程為特解的二階常系數(shù)齊次線性方程. .高階微分方程小結(jié)PPT課件14(cos2 ).2yyxx 求求解解方方程程例例4解解 特征方程特

14、征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 對應(yīng)的齊次方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的通解為.2sin2cos21xCxCY 設(shè)原方程的特解為設(shè)原方程的特解為.*2*1*yyy *1(),ya 則則, 0)(*1 y142yyx 代代入入，得得，xbax2144 yaxb*1(1),設(shè)設(shè)高階微分方程小結(jié)PPT課件由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy *2(2)( cos2sin2 ),yx cxdx設(shè)設(shè)*2()(2)cos2(2)sin2 ,ycdxxdcxx 則則,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy 14cos22yyx 代代入入，得得高階微分方程小結(jié)PPT課件故原方程的通解為故原方程的通解為.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 高階微分方程小結(jié)PPT課件yp x yf xxxp xf x21( )( )(1)( ),( )(2). 設(shè)設(shè)有有一一特特解解為為，對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程有有一一特特解解為為，試試求求：的的表表達(dá)達(dá)式式；此此方方程程的的通通解解例例5