2022年函數(shù)定義域值域表示方法教案

1、學習必備歡迎下載函數(shù)的概念定義域基礎(chǔ)知識一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義：設ba、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則f，對于集合a中的每一個數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么這樣的對應叫做從a到b的一個函數(shù)，通常記為axxfy),(. 2、函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)axxfy),(中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做)(xfy的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合axxf)(稱為函數(shù))(xfy的值域 . 3、函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應法則. 注意： （1） “( )yf x”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“( )yg x” ；（2） 函數(shù)符號“( )yf

2、x” 中的( )f x表示與x對應的函數(shù)值， 一個數(shù)，而不是f乘x二、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示三、函數(shù)定義域的求法1、求函數(shù)定義域的一般原則：如果( )f x為整式，其定義域為實數(shù)集r；如果( )f x為分式，則其定義域是使分母不等于0 的實數(shù)集合；若( )f x是偶次根式，則其定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0 的實數(shù)的集合；若( )f x是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實數(shù)的集合，即交集；0( )f xx的定義域是|0 xr x；( )logaf xx(01)aa且的定義域是|0 x

3、x；( )(01)xf xaaa且的定義域是實數(shù)集r. 2、 抽象函數(shù)的定義域：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載函數(shù)( )f x的定義域是指x的取值范圍所組成的集合；函數(shù)( )fx的定義域還是指x的取值范圍，而不是( )x的取值范圍；已知( )f x的定義域為a，求( )fx的定義域，其實質(zhì)是已知( )x的取值范圍為a，求出x的取值范圍；已知( )fx的定義域為b，求( )f x的定義域，其實質(zhì)是已知 ( )fx中的x的取值范圍為b，求出( )x的范圍（值域） ，

4、此范圍就是( )f x的定義域；同在對應法則f下的范圍相同， 即( )f t， ( )fx， ( )f h x三個函數(shù)中的t，( )x，( )h x的范圍相同.例題精講考點一：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)例 1、判斷下列函數(shù)( )f x與( )g x是否表示同一個函數(shù)，說明理由？（1）0( )(1)f xx；( )1g x（2）( )f xx；2( )g xx（3）2( )f xx；2( )(1)f xx（4）( )f xx；2( )g xx解析： （1）不是，定義域不同（ 2）不是，值域不同（ 3）是（4）是變式訓練： 例 1 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）2)(xxf，33)(x

5、xg；（2）xxxf)(，; 01, 01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n n*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg解析： （1）不是，值域不同（2）不是，定義域域不同（3）是（4）不是，定義域域不同（5）是精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載考點二：求函數(shù)定義域例 2、求下列函數(shù)的定義域（1）2( )232xf xxx（2）22( )35f xxx（3）2( )45f xxx

6、（4）24( )1xf xx（5）25( )log (43 )f xxx解析： （1）1|02x xx且（2）5,33,5（3）5,1（4） 2,1)(1,2（5）1(,1,)4考點三：抽象函數(shù)定義域的求法例 3、 （1）已知函數(shù))(xfy的定義域為ba，求)2(xfy的定義域.解析：因為)(xfy的定義域為ba，所以在函數(shù))2(xfy中，bxa2，從而22bxa，故)2(xfy的定義域是2,2ba即本題的實質(zhì)是求bxa2中x的范圍.（2）已知)2(xfy的定義域是ba，求函數(shù))(xfy的定義域.解析：因為函數(shù))2(xfy的定義域是ba， 則bxa，從而222bxa所以函數(shù))(xfy的定義域是

7、2,2ba. 變式訓練1：設( )fx的定義域是 3，2 ，求函數(shù)(2)fx的定義域 . 解析：要使函數(shù)有意義，必須：223x得：221xx 0 220 x2460 x函數(shù))2(xf的定域義為：2460|xx.變式訓練 :2 ：若函數(shù)(1)f x的定義域是 2,3，求(21)yfx的定義域 . 解析：50,2精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載考點四：已知定義域求參數(shù)的取值范圍例 4、若函數(shù)aaxaxy12的定義域是一切實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍 . 解析：210axa

8、xa恒成立，等價于2002140aaaaa變式訓練： 已知函數(shù)32143axyaxax的定義域是r，求實數(shù)a的取值范圍 . 解析：依題意，要使函數(shù)有意義，必須2430axax，要使函數(shù)的定義域為r，必須方程2430axax無解；當0a時，2430axax無解；當0a時，方程2430axax的判別式0，即2(4 )120aa304a綜上可得304a時，已知函數(shù)的定義域為r. 能力提高例 1、求下列函數(shù)的定義域（1）(1)yx xx；（2）221533xxyx解析：|10 x xx且解析：|536x xxx或且例 2、若3( )21xf xx的定義域為a，( )(1)(2)g xxaax(1)a的

9、定義域為b，當ba時，求實數(shù)a的取值范圍 . 解：由題意得(, 1)1,)a，2 ,1ba a11a，12122aaa或, 又11(, 2),12aa例 3、若函數(shù))(xfy的定義域為 1， 1 ，求函數(shù))41(xfy)41(xf的定義域 . 解析：要使函數(shù)有意義，必須：43434543434514111411xxxxx精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載函數(shù))41(xfy)41(xf的定義域為：4343|xx例 4、設xxxf22lg，則xfxf22的定義域為（）a

10、. 4 ,00, 4；b. 4, 11,4；c. 2, 11, 2；d. 4 ,22, 4解析：要求復合函數(shù)xfxf22的定義域，應先求)( xf的定義域。由202xx得，( )f x的定義域為22x，故22,2222.xx解得4, 11,4x; 故xfxf22的定義域為4, 11,4. 選 b. 課堂練習1、下列個組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（d ）1)(11)(.2xxgxxxfa與2. ( )2( )2b f xxg xxx與2.( )( )()c f xxg xx與22.( )21( )21d f xxxg ttt與2、若函數(shù)( )yf x的定義域是 0,2,則函數(shù)(2 )( )1fxg x

11、x的定義域是（b ）.0,1a.0,1)b. 0 , 1)(1,c.( ,1)d3、函數(shù))(xf)4323ln(122xxxxx的定義域為 ( d ) a.),2)4,( b.)1 ,0()0,4( c. 4,0)(0,1 d. 4,0)(0,1)4、若函數(shù)(1)f x的定義域為23，則函數(shù)(21)fx的定義域是；函數(shù)1(2)fx的定義域為 .(50,2,11(,)32) 5、已知函數(shù)268ymxmxm的定義域為r，求m的取值范圍 . 解析：01m課后作業(yè)精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 15 頁 - - - - - - -

12、 - -學習必備歡迎下載1.函數(shù))13lg(13)(2xxxxf的定義域是（c ）1.(,)3a1 1.(,)3 3b1.(,1)3c1.(,)3d2.函數(shù)268ykxxk的定義域為r，則k的取值范圍是（ b ）.09akk或.1b k.91ck.01dk3.設函數(shù)( )f x的定義域為 0,1 ， 則函數(shù)2()f x的定義域為； 函數(shù)(2)fx的定義域為.（1,1 , 4,9）4.已知(2 )xf的定義域為1,2，則12( lo g)yfx的定義域為 .（11,16 4）5.求下列函數(shù)的定義域：（1）23( )lg(31)1xf xxx（2）12log (2)xyx解析： （1）1,13（2

13、）1,26.已知函數(shù)22(1)1xyaxax的定義域是r, 求實數(shù)a的范圍 . 解析：32 2,32 2函數(shù)的概念值域基礎(chǔ)知識一、函數(shù)值域的求法1、基本初等函數(shù)的定義域和值域：一次函數(shù)( )(0)fxkxb k的定義域是r，值域是r；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載反比例函數(shù)( )(0)kf xkx的定義域是(,0)(0,)，值域是(,0)(0,)；二次函數(shù)2( )(0)f xaxbxc a的定義域是r， 當0a時， 值域是(),)2bfa；當0a時，值域是(,(

14、)2bfa；2、求函數(shù)值域的常用方法：觀察法：如求函數(shù)1yx的值域；配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)形式即可化為2( )(0)f xaxbxc a型的函數(shù)，再配方；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值得范圍；換元法：分離常數(shù)法：將形如(0)cxdyaaxb的函數(shù)，分離常數(shù)；反函數(shù)法：例題精講考點一：求函數(shù)的值域例 1、求下列函數(shù)的值域（1） （觀察法）24yx（2） （配方法）2347yxx（3） （判別式法）2224723xxyxx（4） （換元法）21yxx（5） （分離常數(shù)法）5142xyx（6） （反函數(shù)法）221xyx解析： （1）0,2（2）7,)3（3）9,2)2

15、（4）1,)2（5）54yry且（6）0,1)考點二：已知值域求參數(shù)的取值范圍例 2、求使函數(shù)2221xaxyxx的值域為(,2)的a的取值范圍 . 解：令22221xaxxx，22131()024xxx2222(1)xaxxx精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載即2(2)40 xax，此不等式對xr恒成立， =2 (2)4 1 40a解得62a，使函數(shù)2221xaxyxx的值域為(,2)的a得取值范圍為| 62aa. 能力提高例 1、求下列函數(shù)的值域：（1）21(

16、)1f xx（2）28( )45f xxx（3）12yxx解析： （1）(0,1（2）(0,8（3）(,1例 2、若函數(shù)( )yf x的值域是3 ,32，求函數(shù)1( )fxfxf x的值域 . 解析：)(xf可以視為以)(xf為變量的函數(shù)，令)(xft，則)332(1tttf2222)1)(1(111ttttttf，所以，ttf1在 1 ,32上是減函數(shù)，在3 ,1 上是增函數(shù)，故)(xf的最大值是310，最小值是2. 答案：課堂練習1、函數(shù)251xyx的值域為（d ）5.|2a yy.|0by y.|25cy yy且2.|5dy y2、函數(shù)2211xyx的值域為（b ）. 1,1a.( 1,

17、1b. 1,1)c.(, 11,)d3、求下列函數(shù)的值域：（1）223yxx( 10)x（2）21yxx解析：2214yxx解析：令21212ttxx2(1 )4x21( )(0)2tf tt t10 x21(1)2t310, 2精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載函數(shù)的值域為 4, 3函數(shù)的值域為(,0（3）222231xxyxx（4）311xyx解析：22131()024xxx解析：方法一：22(1)223y xxxx3(1)44311xyxx即2(2)(2)30

18、yxyxy401x當2y時，顯然不成立；函數(shù)的值域為|,3y yry且當2y時，22(2)4(2)(3)0yyyy方法二：31(1)yxyxx1023y13yxy即函數(shù)的值域為102,3. 函數(shù)的值域為|,3y yry且. 課后作業(yè)1、 求下列函數(shù)的值域（1）211yx（2）2445yxx解析：221111xx解析：2245(2)99xxx21 10 x20453xx函數(shù)的值域為0,)函數(shù)的值域為1,4. （3）22436xxyxx（ 4）12yxx解析：(1)(3)(2)(3)xxyxx解析：令21122ttxx(1)(3)(2)xyxx21( )(0)2tf tt t2331122xxx2

19、1(1)12t當3x時，原式25y10( )2tf t精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載函數(shù)的值域為2|,1,5y yryy且且函數(shù)的值域為1(,2.2、已知函數(shù)22( )lg(1)(1)1,f xaxax若( )f x的值域為(,)，求實數(shù)a的取值范圍；解析：要使( )fx的值域為(,)，則對對任意22,(1)(1)10 xraxa恒成立21210101110axaaa不成立（1）當即時，成立222210510131410aaaaaa（2）當時，或綜上所述：a的取

20、值范圍為：5(,1(,)33、求函數(shù)2121xxy的值域 . 解析：由題意知1y，從而得1201xyy，所以11y所以函數(shù)的值域是( 1,1). 函數(shù)的表示法基礎(chǔ)知識一、函數(shù)的表示方法： （1）列表法；（2）圖像法；（3）解析法 . 二、 映射的概念： 一般地， 設a、b是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合a中的任意一個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：ab為從集合a到集合b的一個映射（mapping）記作： “:fab”. 三、函數(shù)解析式的求法：（1）代入法；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

21、 - 第 10 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（2）換元法；（3）待定系數(shù)法；（4）消去法；（5）分段函數(shù)的解析式的求法；（6）抽象函數(shù)的解析式的求法. 例題精講考點一：圖表例 1、已知函數(shù)( )f x，( )g x分別由下表給出：則 (1)f g的值為；滿足 ( )( )f g xg f x的x的值是. 解析：由表中對應值知(1)f g=(3)1f；當1x時，(1)1, (1)(1)3f gg fg，不滿足條件當2x時，(2)(2)3, (2)(3)1f gfg fg，滿足條件，當3x時，(3)(1)1, (3)(1)3f gfg fg，不滿足條件，滿足

22、 ( )( )f g xg f x的x的值是2x考點二：求函數(shù)解析式例 2、 （1） （代入法） 已知( )21f xx，求2(1)fx；解析：22(1)21fxx（2） （換元法） 已知(1)2fxxx，求( )fx；解析：2( )1f xx（3） （待定系數(shù)法）若( )2726fff xx，求一次函數(shù)( )f x的解析式；解析：設( )f xaxb，則2( )ff xa xabb，232( )()fffxa a xabbba xa babbx1 2 3 ( )f x1 3 1 x1 2 3 ( )g x3 2 1 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

23、- - - 第 11 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載32273( )32226aafxxba babb（4） （消去法） 已知1( )2( )32f xfxx，求( )f x；解析：依題意可得：1( )2 ()322( )213()2( )2fxfxxf xxxff xxx變式訓練： 已知3(1)2(1)2f xfxx，求( )f x解析：2( )25f xx（5） （分段函數(shù)）已知函數(shù)()( ),()fxf xxr，當0 x時，( )(5)1f xxx，求( )f x在r上的解析式；解析：由()( )(0)0fxf xf當0 x時，0 x，則()(5)1

24、fxxx，即( )()(5)1f xfxxx(5)1,0( )0,0(5)1,0 xxxf xxxxx（6） （抽象函數(shù)）設( )f x是r上的函數(shù)，且滿足(0)1f，并且對于任意實數(shù),x y都有()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的解析式 .解析：令xy得(0)( )(21)1ffxxxx2( )1f xxx變式訓練： 已知函數(shù)( )f x對任意的實數(shù),x y都有()( )2 ()f xyf xy xy， 且( 1 ) 1f，求( )f x的解析式。解析：令0,1xy得(10)(0)2ff又(1)1(0)1ff令0,xyx得22( )(0)2( )21f xfxf xx精品

25、學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載能力提高例 1、已知1( )=1+f xx，求(1)(2)(3)(4)(2011)fffff111( )()()122011fff的值 . 解析：111( )( )1111f xfxxx例 2、函數(shù)( )yf x的定義域為(0,)，且對于定義域內(nèi)的任意, x y都有()( )( )f xyf xf y，且(2)1f，求2()2f的值 . 解析：(2)( 22)(2)(2)1ffff1(2)2f221(2)(2)(2)()222ffff

26、21()22f課堂練習1、下列對應法則f中，構(gòu)成從集合a到集合b的映射是（）a2|:,0|xyxfrbxxab2:,4,2,0 ,2xyxfbac21:,0|,xyxfyybrad2:,1 ,0,2 ,0 xyxfba解析：根據(jù)映射的定義知，構(gòu)成從集合a到集合b的映射是d 2、設f、g都是由a到a的映射，其對應法則如下表（從上到下）：映射f的對應法則是表1 原象1 2 3 4 象3 4 2 1 映射g的對應法則是表2 原象1 2 3 4 象4 3 1 2 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載則與)1(gf相同的是（）a)1( fg b)2( fg c)3( fg d)4( fg解析：a；根據(jù)表中的對應關(guān)系得，1)4()1 (fgf，1)3()1(gfg3、已知)11(xxf=2211xx，則)(xf的解析式為.