理學]線性代數(shù)B習題ppt課件

1、2.12.22.32.43.13.23.33.43.53.63.73.83.93.10 3.114.14.24.34.44.54.64.75.15.25.35.45.55.65.75.85.95.106.16.26.36.46.56.66.76.87.17.27.37.47.57.67.77.8 2.1 設行列式 ，那么第四行各元素余子式之和的值為 . 2235007022220403D111100702222040344434241MMMM解 2811432811140004371112220437132223rr那么 . 2.2 設A為m階方陣, B為n階方陣, 且 ，00,BACbBaA

2、，C 解 對于 將矩陣C的第 列逐列前移至第j列，jn, 2 , 1mjBA00經(jīng)mn次列的交換，C變成 ，而 ，所以abBA00 abCmn1 2.3 五階行列式 . aaaaaaaaaD110001100011000110001解 0001110001100011000111432215443aaaaaaaaaDrrrrrrrr00101100011000110001122115aaaaaaaaaaarar01001100011000110001132321225aaaaaaaaaaaaaraar43243211000110001100011000113325aaaaaaaaaaaaaaa

3、raaar54321100001100011000110001144325aaaaaaaaaaaaraaaar54321aaaaa 2.4 設A是n階矩陣，滿足 (E是n階單位矩陣，AT是A的轉置矩陣)， ，求 . 解 EAATEA0ATTAEAAEAAEAEAAEAEAAATTTT11001AEAAEA 3.1 設矩陣 滿足 ，其中A*為A的伴隨矩陣，AT為A的轉置矩陣。假設a11,a12,a13為三個相等的正數(shù)，那么 。 A B C D 解 由*3211*aAAAAEAT33331333ijaA11aTAA ，03211aA，再由13*2AAEAAAAAAAATT 。，選所以AAa3331

4、1 3.2 知實矩陣 滿足條件: ，其中Aij是aij的代數(shù)余子式； 。計算行列式 。 解 由A 33ijaA3 , 2 , 1,jiAaijij011a TTijTijijijAaAAAa*EAAAAAT*00*101121321221121321221132aaaaAaaaAAEAAAEAAAAAATTT或。1 A 3.3 設A、B、 、 均為n階可逆矩陣，那么BA11BA111BA . A11 BA BBA CBBAA1 D1 BA 解 由于BAABABAB11，EBAABAB111，1111BBAABA 。，故選 CEBBAABA111 3.4 設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，滿

5、足 ，那么( ). (A) 與 均不可逆 (B) 可逆， 不可逆 (C) 不可逆， 可逆 (D) 與 均可逆 解 由AE03AAEAEAEAEAEAEAE可逆。由AE 。可逆。故選 DAE EAEAAEAE32EAEAAEAE32 3.5 設A和B為可逆矩陣， 為分塊矩陣，那么 . 00BAX1X解 由于BAEEBA00000000000011111ABBAEEX所以 3.6 設解 由于，BAPEPErrrrrrrr13211321,21所以 ，選(C)。,133312321131131211232221333231232221131211aaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA,101

6、010001,10000101021PP那么必有 。 BPAPA21 BPAPB12 BAPPC21 BAPPD12BAPP21 3.7 設A是n階可逆方陣，將A的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為B。證明B可逆；求 。 解 將n階單位矩陣E的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為E(i,j)，那么 。由于E(i,j)和A都可逆，所以B可逆，且1ABAjiEB,jiEAjiEAAjiEB,11111jiEjiEAAAB,11 3.8 設4階方陣A的秩為2，那么其伴隨矩陣A*的秩為 . 解 設Mij和Aij分別是矩陣A的(i,j)元的余子式和代數(shù)余子式，那么A*的(i,j)元為 。由于 ，所以A的3

7、階子式 ，從而 jiijjiMA1 2AR0jiM 。，00*ARA 3.9 設三階矩陣 ，假設A的伴隨矩陣的秩為1，那么必有 。 解 。 由 得 ，即A有2階非零子式，從而 。 由 得 。而 。 所以選(C)。abbbabbbaA 02 babaA或 02 babaC且 02 babaB或 02 babaA且310*AR0A0*A0*AR3*ARba 22babaA 3.10 設A是 矩陣，且 ，而 ， 解 由34 可逆，即BBRBrr350002020113 2AR301020201B那么 。 ABR。所以2ABR 3.11 設 , B為三階非零矩陣, 且 ， 解 由于B為非零矩陣， 所以

8、 。又 ，因此 . 否那么A可逆， , 與 矛盾。0AB 00 RABRBR 0BR11334221tA那么 。 t0AB0A 0BR5977899701180221121343tttArrrr。所以95t其中 。那么線性方程組 的解是 . 解根據(jù)克萊姆法那么，方程組 有獨一解 。 4.1 設。，范德蒙行列式01nijjiTjiaaADaa,1111,111132111312112232221321BxxxxXaaaaaaaaaaaaAnnnnnnnnnjijiaaji, 2 , 1,;BXATBXAT。有兩列相同，0321nTDDDAD00 , 1， 4.2 設矩陣 ，矩陣X滿足 ，1111

9、11111AXAXA21*其中A*是A的伴隨矩陣，求矩陣X。 解 由 得 ，兩邊左乘A，有XAXA21*1*2AXEAEXAEA24220020111111111111A101400011440001222100222010222001222,2rEAEA410411004141001004141001101400011440001222r410414141004141X 4.3 設有齊次線性方程組 和 ，其中A，B均為 矩陣，現(xiàn)有4個命題：假設 的解均是 的解，那么 ；假設 ，那么 的解均是 的解；假設 與 同解，那么 ；假設 ，那么 與 同解。以上命題中正確的選項是 。 解 選 。0Ax0

10、Bxnm0Ax0Bx BRAR BRAR0Ax0Bx0Ax0Bx BRAR BRAR0Ax0Bx A B C D B 4.4 設A、B都是n階非零矩陣，且 ，那么A和B的秩 . 必有一個等于零 都小于n 一個小于n，一個等于n 都等于n 解 由于A、B都是非零矩陣，故A、B的秩都大于零。假設A、B之一的秩為n，那么該矩陣可逆，由 可得另一個是零矩陣，與題設矛盾，應選 。0AB A D B C0AB B所以 。綜合可得 。其中 。那么矩陣A的秩 。 4.5 設 ， 解 由于 ，所以 。又因nnbbbaaaA,2121nnnnnnbababababababababaA212221212111nib

11、aii, 2 , 10, 0 ARnibaii, 2 , 10, 0 0AR 1AR 1AR 4.6 設 ，AT為A的轉置矩陣，那么行列式 解 由于ATA是3階矩陣， ，所以321111A。AAT 2ARAART0AAT中 ， ，求證 ；a為何值時，方程組有獨一解，求x1；a為何值時，方程組有無窮多解，求通解。 解 設 ，要證 ，用數(shù)學歸納法。由于 ， ，所以當 時結論成立。設當時結論也都成立，那么當 時，由 4. 7 設矩陣 滿足方程 ，其nnaaaaaA2121222nanA1nDA BAX TnxxX,1TB0 , 0 , 1nnanD1aD212 , 1n223aD 1, 2kknkn

12、221221122kkkkkakakaaDaaDD可見結論成立，所以 。 當 時， ，方程組有獨一解， 當 時，方程組有無窮多解，通解為 ，其中k為恣意常數(shù)。kkakkka112nanA10a0A2212111111annnaanannaDDDxnnnnnn0a0 , 0 , 1 ,k 5.1 設 ，矩陣 ，n為正整數(shù)，那么 T1, 0 , 1TA。nAaE122010010210100010122111111nnnnTnTnTnaaaaaaEaEaEAaE 解 5.2 設 均為三維列向量，記矩陣 ， ，假設 ，那么 。 解 321,321,A32132132193,42,B1AB223491

13、218,2 ,3 ,4 ,9 ,3 ,4 ,9 ,2 ,123213132312231321AB 5.3 設維n列向量組 線性無關，那么n維列向量組 線性無關的充分必要條件為 。 向量組 可由向量組 線性表示 向量組 可由向量組 線性表示 向量組 與向量組 等價 矩陣 與矩陣 等價 解 選 。nmm,21m,21 Am,21m,21m,21mB,21m,21 B C Dm,21mA,21m,21 D 5.4 設A,B為滿足 的恣意兩個非零矩陣，那么必有 。 A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關 A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關 A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關 A的行

14、向量組線性相關，B的列向量組線性相關 解 選 。 A B C D0AB A 5.5 設 ，那么三條直線 其中 交于一點的充要條件是 。 線性相關 線性無關 線性相關， 線性無關 解 三直線交于一點，即方程 有獨一解，從而 ，選 。TTTcccbbbaaa321332123211,0, 0, 0333222111cybxacybxacybxa3 , 2 , 1, 022ibaii321, A321, B C D321,21,21321,RR0321yx2,21321RR D 5.6 是三維列向量， 為 的轉置， 為 的轉置。證 ； 假設線性相關，那么 。 證 ； 假設線性相關，那么存在數(shù)k，使

15、，無妨設有 ，那么,TTATT 2AR, 2AR 211RRRRARTT,kk或TkkA11 211kRARk其中 表示列向量 的轉置， 。 5.7 試證明n維列向量組 線性無關的充分必要條件是n,210212221212111nTnTnTnnTTTnTTTDTiini, 2 , 1nTnTTnTnTTD,21212121 證 2212121,nnTnn,21線性無關0,21n0,221nD 5.8 設三階矩陣A滿足 ，其中列向量3 , 2 , 1iiAiiTTT2 , 1, 2,1 , 2, 2,2 , 2 , 1321試求矩陣A。 解 ，即 3213213 ,2 ,A62234264121

16、2122221A18102612641962032001102218242163236200162234264121212222132231213222cccccccc232323235032037100010001232314323534320311102010001231023231232341122012001312132232223191cccccccc232323235032037A 5.9 知三階矩陣A與三維向量x，使得向量組x,Ax,A2x線性無關，且滿足 。記 ，求三階矩陣B，使 ；計算行列式 。 解 xAAxxA2323xAAxxP2,1 PBPAEAAPPBPBPA1210

17、30100023 ,210301000,222BxAAxxAAxxAAxxP可逆，且xAAxxAAxBxAAxx22223 ,431110311001EBEA 5.10 設 ，其中E是n階單位矩陣， 是n維非零列向量， 是 的轉置，證明： 的充要條件是 ；當 時，A是不可逆矩陣。 證 TEATAA 21T1TTTTTEAEA2201TT是非零向量，01TT 當 時，有 。假設A可逆，那么在等式的兩邊左乘 ，得 ，這與A可逆矛盾。故A不可逆。 1TAA 2AA 21A0A 6.1 設n階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為 ，那么線性方程組 的通解為 。 解 由于A的各行元素之和均為零，所以

18、是該方程組的解。又A的秩為 ，故方程組的根底解系只含一個解。故此，通解為1nT1 , 1 , 10AX為任意常數(shù)。，kkkkXT,1n 6.2 知 是非齊次線性方程組 的兩個不同的解， 是對應齊次線性方程組 的根底解系，k1,k2為恣意常數(shù)，那么方程組的通解普通解必是 . 解 選 。 A21,bAX 21,0AX22121211kk22121211kk B C D22121211kk22121211kk B 6.3 齊次線性方程組 的系數(shù)矩陣記為A。假設存在三階矩陣 使得 ，那么 。 解 由于存在 使 ，知齊次線性方程組 有非零解，從而 ?，F(xiàn)0003213213221xxxxxxxxx0B0A

19、B A02B且 B C D02B且01B且01B且0B0AB013AX 3AR100110110101101111111231231132rrrrrrrrA 又因 ，所以 的根底解系只含兩個解，B的三列作為 的解必線性相關，因此 ，選 。 。，11AR 1AR013AX013AX0B C 6.4 知 ，P為三階非零矩陣，且滿足 ，那么 。 時P的秩必為1 時P的秩必為2 時P的秩必為1 時P的秩必為2 解 。假設 ，那么 ， ；假設 ，那么 ， ，選 。96342321tQ0PQ6t6t6t6t A B C D000600321tQ6t 1QR 21或PR6t 2QR 1PR C 6.5 設n階矩陣A的伴隨矩陣 ，假設 是非齊次線性方程組 的互不相等的解，那么對應的齊次線性方程組 的根底解系 . 不存在 僅含一個非零解向量 含有兩個線性無關的解向量 含有三個線性無關的解向量 解 因 有互不相等的解，知 ；又 ，推知 ，從而 。故此， 僅含一個非零解向量，選 。 0*A4321,bAx 0Ax A B C DbAx nAR0*A 0*AR 1 nAR0Ax B 6.6 設 ，知線性方程組Ax=b有兩個不同的解，求 ；求方程組Ax=b的通解。 解 因Ax=b有兩個不同的解，知 ?，F(xiàn) 11,1101011