定積分的概念

1、 第五章第五章 定積分定積分 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念 一、問題的提出一、問題的提出 二、定積分的定義二、定積分的定義 三、存在定理三、存在定理 四、幾何意義四、幾何意義 五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題abxyo? a曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形

2、面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）1xix1ixxabyo解決步驟解決步驟 :在區(qū)間在區(qū)間 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 個分點個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線用直線ixx 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形個小曲邊梯形;在第在第i 個窄曲邊梯形上個窄曲邊梯形上任取任取作以作以,1iixx為底為底 ,)(if為高的小矩形為高的小矩形, 并以此小并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積窄曲邊梯形面積,ia得得)()(1iiiiiixxxxfa),2, 1,nii(1)分割: (2)近似代替: (3)求和:

3、niiaa1niiixf1)(令, max1inix則曲邊梯形面積niiaa10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi(4)取極限: 實例實例2 2 （求變速直線運(yùn)動的路程）（求變速直線運(yùn)動的路程） 設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21tt上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得

4、到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值解決步驟解決步驟:, ,1iiitt任取, ),2, 1(,1nittii,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在ntt),2, 1(nisi), 2, 1(nin 個小段過的路程為iniitvs1)(iniitvs10)(lim)max(1init(1)分割: (2)近似代替: (3)求和:(4)取極限: 解決問題的方法步驟相同 :“分割,近似代替, 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba

5、上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點一點i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfs )(1 ，二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不

6、不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時時，和和s總趨于總趨于確定的極限確定的極限i，我我們們稱稱這這個個極極限限i為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定義中區(qū)間的分法和）定義中區(qū)間的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）當(dāng)函數(shù)）當(dāng)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時，上的定積分存在時，而而與與積積分分變

7、變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積. 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在三、存在定理區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. ., 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值四、定積分的幾何意義()y f xabyx1a2a3a4a5a54321d)(aaaaaxxfba各

8、部分面積的代數(shù)和 這是因為baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010 幾何意義：幾何意義：積取負(fù)號積取負(fù)號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx

9、,)( 例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點點為為nixi ，(ni, 2 , 1 )小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx o1 xy2xy nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 利用幾何意義求定積分 解 函數(shù) y1x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y1x為曲邊, 以區(qū)間0, 1

10、為底的曲邊梯形的面積 因為以y1x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是一個直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以 例2 例 2 用定積分的幾何意義求10)1 (dxx 211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx 五、定積分的性質(zhì)v兩點規(guī)定 (1)當(dāng) ab 時, 0)(badxxf (2)當(dāng) ab 時, abbadxxfdxxf)()( 性質(zhì)1 2 babadxxfkdxxkf)()( 證證 )( 2 線性性質(zhì)性質(zhì) , d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf . ,為常數(shù)、式中由定積分定義及極限運(yùn)算性質(zhì)：niiiixbaxg

11、fxxgxf10|)()(limd)()(niiixniiixxgxf10|10|)(lim)(lim . d)(d)(babaxxgxxf 3 () 性質(zhì)對區(qū)間的可加性bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)( . ,bca其中證證 . ),()( , ),()( ),()( bcrxfcarxfbarxf , , t則成為分點使點選擇適當(dāng)?shù)姆址╟,)()()(bciicaiibaiixfxfxf , 0 | 由可積性即得的極限取xbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 這是因為g(x)f(x)0, 從而 如果在區(qū)間a,

12、b上 f (x)0, 則 性質(zhì)4 badxxf0)(ab) babadxxgdxxf)()(ab) bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(, babadxxgdxxf)()( 所以推論2 babadxxfdxxf| )(|)(|(ab) bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|, 因為|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以即 babadxxfdxxf| )(|)(| )( 5 估值定理性質(zhì) , , )( , 則最小值上的最大在分別為設(shè)baxfmm . )(d)()(abmxxfabmba證證. , )( ),()( baxmxfmbarxf由于baxx

13、fd)(所以abxbadbaxmabmd)( . )(dabmxmba 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個點 , 使下式成立: 這是因為, 由性質(zhì)5 性質(zhì)6(定積分中值定理) 積分中值公式 由介值定理, 至少存在一點a, b, 使兩端乘以ba即得積分中值公式baabfdxxf)()( baabmdxxfabm)()()(, 即 bamdxxfabm)(1, badxxfabf)(1)(, 解解,sin31)(3xxf, 0 x, 1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxxp153 1 3（3） 作業(yè)五、小結(jié)定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù))(xf 在在 ba ,上的定積分是積分和的極限，上的定積分是積分和的極限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定積分的值只與定積分的值只與_及及_有關(guān)，而與有關(guān)，而與_的記法無關(guān)的