無窮小的比較--無窮小的階推薦課件

1、2021/8/221第六節(jié)第六節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較 無窮小的階無窮小的階一、無窮小的比較一、無窮小的比較二、二、 等價無窮小等價無窮小三三、 小結(jié)小結(jié)2021/8/222一、無窮小的比較一、無窮小的比較例如例如, ,23;xx比比要要快快得得多多;sin大大致致相相同同與與xxxxx3lim20,0 xxxsinlim0, 1 觀察下列極限觀察下列極限當(dāng)當(dāng) 時時,0 x 221,sin ,sinx xx xx都是無都是無窮小窮小.不可比不可比. .,不不 存存 在在2201sinlimxxxxxx1sinlim0 00型型極限不同極限不同, ,反映了無窮小趨向于零的速度的反映了無窮小趨

2、向于零的速度的“快慢快慢”程度不同程度不同. .2021/8/223定義定義: :lim0, (1)如果如果 則稱則稱 是比是比 高階高階的無窮小的無窮小設(shè)設(shè) 是同一過程中的兩個無窮小是同一過程中的兩個無窮小, 且且0 ( )o 記作記作 (2)如果如果 ,lim 則稱則稱 是比是比 低階低階的無窮??；的無窮??； (3)如果如果 , lim0C 則稱則稱 與與 是是同階同階的無窮?。坏臒o窮??；特殊地特殊地,如果如果lim1, 則稱則稱 與與 是是等價等價的無窮小；的無窮小；;記作記作 (4)如果如果 ,lim0,0kCk k無窮?。粺o窮??； 則稱是的則稱是的 階的階的2021/8/224，03

3、lim20 xxx例如，因為例如，因為所以當(dāng)所以當(dāng)0 x 時，時，sin x與與x是等價無窮小是等價無窮小2(3 ),(0).xoxx 即即所以當(dāng)所以當(dāng)0 x 時，時，2x是比是比3x高階的無窮小高階的無窮小因為因為，1sinlim0 xxxsin,(0).xxx 即即2201lim9(3 )xxx ，而而所以當(dāng)時，所以當(dāng)時，0 x 2x是是3x二階無窮小二階無窮小2021/8/225證明證明 因為因為30 xxxxsintanlim )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 例例1 1 證明：證明：0 x 當(dāng)

4、當(dāng)時，時，tansinxx 為的三為的三x階無窮小階無窮小所以所以tansinxx 為為x的三階無窮的三階無窮小小301sin(1)coslimxxxx 30sin (1cos )limcosxxxxx 2021/8/226二、等價無窮小代換二、等價無窮小代換(2), lim 定理定理( (等價無窮小代換定理等價無窮小代換定理) )證證 limlimlim(3)lim 存在存在 lim則則是同一極限過程是同一極限過程的的(1) ( )( )( )( )xxxx 、無窮??；無窮小；lim() limlim 2021/8/227幾個常見的等價無窮小幾個常見的等價無窮小:上述等價無窮小中的上述等價無

5、窮小中的 可以是可以是函數(shù)形式函數(shù)形式,xsin;xx211cos;2xx sinxx tan x arcsin x arctan x ln(1)x 1,xxe (1)1,(0)axaxa 1 lnxaxa 當(dāng)當(dāng) 時時,0 x 但在所考慮的極限過程中但在所考慮的極限過程中,此函數(shù)的此函數(shù)的極限極限應(yīng)為零應(yīng)為零. 2021/8/228例例2 2解解22021)2(limxxx 原原式式.8 例例3 求極限求極限201sin1lim1xxxxe 解解 因為因為0 x11sin1sin ,2xxxx 221 xex 所以所以有有20sin 2lim.1cosxxx 求求211cos,2xx sin2

6、 2 .xx0 x 當(dāng)當(dāng)時時,201sin1lim1xxxxe 201sin2limxxxx 12 2021/8/229例例4 4.1sin)1(lim0 xxexx求求解解.1,sin,0 xexxxx 時時當(dāng)當(dāng)xxxx) 1(lim0 原原式式. 1 )1(lim0 xx若未定式的分子或分母為若干個因子的若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積乘積,不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換. .切記切記: :只可對函數(shù)的只可對函數(shù)的乘積因子乘積因子作無窮小等價代作無窮小等價代換換, ,注意：注意：則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換等

7、價無窮小代換, 而不會改變原式的極限而不會改變原式的極限對于對于代數(shù)和代數(shù)和中各無窮小中各無窮小不能不能分別代換分別代換.2021/8/2210解解解解錯錯例例5 530tansinlim.sin 2xxxx 求求當(dāng)當(dāng) 時時,0 x tan,sin.xxxx 30lim(2 )xxxx 原式原式0. 23012lim(2 )xxxx 原式原式1.16 301sin(1)coslim(2 )xxxx 30sin(1cos )lim(2 ) cosxxxxx 2021/8/2211例例 6 計算計算)()ln()ln(sinlim型型0022220 xexxexxxx 解解)ln()sinln(l

8、im112220 xxxexxe因為因為,時時0 x,sin)sinln(xexexx221 xx )ln( 1,所以所以22221xexexx )ln(于是于是xexxexxxx2)ln()ln(sinlim2220 xxxexxe2220sinlim 1 22220ln(sin)lnlimln()lnxxxxxxeexee 原式原式2021/8/2212解解)()(lim0 xxx 201arcsincoslim( 1arcsincos)xxxxkxxxx )arcsincos1(lim2120 xxxxkx )121(21 k1 34k 當(dāng)當(dāng) 時時, 與與 0 x2)(kxx xxxxc

9、osarcsin1)( _ k是等價無窮小是等價無窮小, 則則例例7 (0702)2021/8/2213例例8 (040210)計算極限計算極限1)3cos2(1lim30 xxxx解解)1ln(t t由由 與與 等價等價 得得:)0( t113232 xxxexcosln)cos(原式原式20cos13limxxx 0 xcos13xx 16 32xxcosln2021/8/2214三、小結(jié)三、小結(jié)1 1、無窮小的比較、無窮小的比較反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速兩無窮小趨于零的速度快慢度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較比較.2、等價

10、無窮小的代換、等價無窮小的代換:求極限的又一種方法求極限的又一種方法, , 注意適用條件注意適用條件. .高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 無窮小的階無窮小的階.2021/8/2215練習(xí)練習(xí) (030104)21ln(1)0_lim(cos )xxx 解解221lncosln(1)ln(1)00lim(cos )limxxxxxxe 20lncoslimln(1)xxx 20cos1limxxx 20ln(1cos1)limxxx 211ln(1)20lim(cos ).xxxe 12 2021/8/2216練習(xí)練習(xí)),( ,sinsinlim且且不不同同時時為為零零求

11、求 xxeexxx0解解xxeexxx222110 cossinlim原原式式)cossincossin(limxxexxexxx222122210 而而xxexx2cos2sin21lim0 xxx)(lim02021/8/2217xxexx2cos2sin21lim0 所以所以xxeexxx sinsinlim0 1 xxx)(lim0 2021/8/2218任何兩個無窮小都可以比較嗎？任何兩個無窮小都可以比較嗎？思考題思考題2021/8/2219思考題解答思考題解答,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不為無窮

12、大不存在且不為無窮大不能不能時時例例如如，當(dāng)當(dāng) x故當(dāng)故當(dāng) x函數(shù)函數(shù))()(xgxf和和不能不能比較比較.2021/8/2220一、一、 填空題：填空題：1 1、2 2、3 3、4 4、_;2sin3tanlim0 xxx_;)(sinarcsinlim0 nmxxx_;)21ln(lim0 xxx_;arctan1sin1lim20 xxxxx練習(xí)題練習(xí)題2021/8/22215 56 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_. _;2sin2lim nnnx2021/8/22227 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時，時，)0(3 aaxa 對于對于x是是_階無窮小階無窮小 . . 8 8、 當(dāng)、

13、當(dāng)0 x時， 無窮小時， 無窮小xcos1 與與nmx等價，等價，則則 ._,nm 2021/8/2223二、求下列極限二、求下列極限axaxax tantanlim(1) xxxx30sinsintanlim (2) eelim(3)xxxx sinsinlim0 (4)2021/8/2224三、三、 證明： 若證明： 若 ,是無窮小， 則是無窮小， 則)(0 . . 四、 設(shè)四、 設(shè) f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達(dá)式的表達(dá)式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . . 2021/8/2225一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、na； 7 7、3