2022年初中平面幾何一題多變

1、平面幾何一題多變在完成一個數(shù)學(xué)題的解答時，有必要對該題的內(nèi)容、形式、條件、結(jié)論，做進(jìn)一步的探討，以真正掌握該題所反映的問題的實質(zhì)。如果能對一個普通的數(shù)學(xué)題進(jìn)行一題多變，從變中總結(jié)解題方法；從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)“不變”，必將使人受益匪淺。“一題多變”的常用方法有：1、變換命題的條件與結(jié)論；2、保留條件，深化結(jié)論；3、減弱條件，加強(qiáng)結(jié)論；4、探討命題的推廣；5、考查命題的特例；6、生根伸枝，圖形變換；7、接力賽，一變再變；8、解法的多變等。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精

2、品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -19、 （增加題1 的條件） ae 平分 bac 交 bc 于 e，求證： ce：eb=cd ：cb 20、 （增加題1 的條件） ce 平分 bcd ，af 平分 bac 交 bc 于 f 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 34 頁

3、- - - - - - - - -求證： （1）bf ce= be df （2）aecf （3）設(shè) ae 與 cd 交于 q，則 fqbc 21、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab，d 為垂足，以cd 為直徑的圓交ac 、bc于 e、f，求證：ce：bc=cf ：ac（注意本題和16 題有無聯(lián)系）22、已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，以ad 為直徑的圓交ac 于 e，以 bd 為直徑的圓交bc 于 f，求證：ef 是 o1 和 o2 的一條外公切線23、已知， abc 中， acb=90 度， cdab， d 為垂足，作以ac 為直徑的圓o1

4、，和以 cd 為弦的圓 o2，求證：點 a 到圓 o2 的切線長和ac 相等（ at=ac ）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -24、已知， abc 中， acb=90 度， cdab，d 為垂足，e 為 acd 的中點，連ed 并延長交cb 的延長線于f，求證： df：cf=bc ：ac 25、如圖， o1 與 o2 外切與點d， 內(nèi)

5、公切線 do 交外公切線ef 于點 o，求證： od 是兩圓半徑的比例中項。題 14 解答：因為 cd2=ad db ac2=ad ab bc2=bd ab 所以 1/ac2+1/bc2 =1/（ad ab ）+1/（bd ab ）=（ad+db ）/（ad bd ab ）=ab/adbd ab 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -=1/

6、ad bd =1/cd2 15 題解答：因為 m 為 ab 的中點，所以am=mb ，ad-db=am+dm-(mb-dm)=2dm ac2-bc2=ad*ab-db*ab =(ad-db)ab =2dm*ab 26、 （在 19 題基礎(chǔ)上增加一條平行線）已知， abc 中， acb=90 度，cdab ，d 為垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f， fgab 交 bc 于點 g，求證： ce=bg 27、 （在 19 題基礎(chǔ)上增加一條平行線）已知， abc 中， acb=90 度，cdab ，d 為垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f， fgb

7、c 交 ab 于點 g，連結(jié) eg，求證：四邊形cegf 是菱形28、 （對 19 題增加一個結(jié)論）已知， abc 中， acb=90 度，cdab ，d 為垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f，求證： ce=cf 29、 （在 23 題中去掉一個圓）已知，abc 中， acb=90 度，cdab ，d 為垂足，作以ac 為直徑的圓o1，求證：過點d 的圓 o1 的切線平分bc 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - -

8、 - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -30、 （在 19 題中增加一個圓）已知， abc 中， acb=90 度，cdab ，d 為垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e，交 cd于 f，求證： ced 平分線段af 31、（在題1 中增加一個條件）已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， a=30 度，求證： bd=ab/4 （滬科版八年級數(shù)學(xué)第117 頁第 3 題）32、 （在 18 題基礎(chǔ)上增加一條直線）已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，作bce=bcd p為

9、ac 上任意一點，直線pq 交 cd 于 q，交 cb 于 m，交 ce 于 n 求證： pq/pn=qm/mn 32 題證明：作 nscd 交直線 ac 與點 s，則 pq/pn=cq/sn 又 bce=bcd qm/mn=cq/cn （三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理）bce+ ncs=bcd +acd nscd， nsc=acd nsc=ncs 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 3

10、4 頁 - - - - - - - - -sn=cn pq/pn=qm/mn 題 33 在“ 題一中 ” ，延長 cb 到 e，使 eb=cb ，連結(jié) ae、de ，求證： de ab= ae be 題 33 證明cb2= bd ab 因 eb=cb eb2= bd ab eb：bd=ab ：be 又 ebd= abe ebd abe eb：ab=de ：ae de ab= ae be 題 34 （在 19 題基礎(chǔ)上增加一條垂線）已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，ae 平分 cd 于 f，egab 交 ab 于點 g，求證： eg2= be ec 精品學(xué)習(xí)資料

11、可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -證明：延長 ac 、ge，設(shè)交點為h， ebg ehc eb：eh=eg：ec eh eg= be ec 又 hgcd，cf=fd eh=eg eg2= be ec 題 35（在題 19 中增加點f）已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，ae 平分 bca 交 bc 于點 e，交 cd 于

12、 f，求證： 2cf fd = af ef 題 36、 （在題 16 中，減弱條件，刪除acb=90 度這個條件）已知， abc 中， cdab ，d 為垂足， deac 于 e，dfbc 于 f，求證： ce/bc=cf/ac 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題 37 （在題 17 中， 刪除 acb=90 度和 cdab，d 為垂

13、足這兩個條件，增加 d 是 ab 上一點，滿足 acd= abc ）已知， abc 中， d 是 ab 上一點，滿足acd= abc ，又 ce 平分 bcd 求證： ae2= ad ab 題 38 已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， pc 為 abc 的切線求證： pa/ad=pb/bd 題 39 （在題 19 中點 e“ 該為 e 為 bc 上任意一點 ” ）已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，e 為 bc 上任意一點，連結(jié)ae，cfae ，f 為垂足，連結(jié)df，求證： adf aeb 題 40：已知， abc 中， acb=9

14、0 度， cdab ，d 為垂足求證： sadc ：sbdc=ad ：db 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題 41 已知，如圖，abc 中，cd ab，d 為垂足，且ad/cd=cd/bd ，求 acb 的度數(shù)。題 42 已知， cd 是 abc 的 ab 邊上的高，d 為垂足，且ad/cd=cd/bd ，則 acb 一定是 90

15、度嗎？為什么？題 43：已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， adc 的內(nèi)切圓 o1，bdc 的內(nèi)切圓 o2，求證： so1：so2=ad ：db 題 44：已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， adc 的內(nèi)切圓 o1 的半徑 r1，bdc 的內(nèi)切圓 o2 的半徑 r2， abc 的內(nèi)切圓 o 的半徑 r，求證： r1+r2+r=cd 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

16、- - - - - - - - - 第 10 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題 45、已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，作以ac 為直徑的圓o1，和以 bd為直徑的圓o2，設(shè) o1 和 o2 在 abc 內(nèi)交于 p 求證：pad 的面積和 pbc 的面積相等題 45 解：cap= cdp=dbp（圓周角、弦切角）rtapcrtbpd ap pd= bp pc 又 apd 和 cpb 互補（ apc+ bpd=180 度）s pad=1/2 ap pd sinapd s pbd=1/2 bp pc sincpb s pad= s pbd 題

17、46（在題 38 的基礎(chǔ)上變一下）已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， pc 為 abc 的切線，又ce 平分acb 交 abc 與 e，交 ab 與 d ，若 pa=5，pc=10，求 cd ce 的值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題 47 在題 46 中，求 sin pca 題 48（由題 19

18、 而變）已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，ae 平分 acb 交 bc 于 e，egab 交 ab 于點 g，求證： （1）ac=ag （2） 、ag2= ad ab （3） 、g 在 dcb 的平分線上（4） 、fgbc （5） 、四邊形 cefg 是菱形題 49 題 49 解答：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 34 頁 - - - - -

19、 - - - -題目 50（題 33 再變）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab，d 為垂足，延長cb 到 e，使 eb=cb ，連結(jié)ae 交 cd 的延長線于f，如果此時ac=ec ，求證：af= 2fe 題 50 解：過點 e 作 emcf，m 為垂足，則ad：db=ac2 ：cb2=4 ：1 又 db ：em=1：2 所以， ad ：em=2 ：1 adf emf af：ef=ad ：em=2 ：1 af=2ef 題目 51（題 50 中連一線）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab，d 為垂足，延長cb 到 e，使 eb=cb ，連結(jié)ae 交 cd 的延長

20、線于f，連結(jié) fb，如果此時ac=ec ，求證：abc= ebf 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -（題 51 的幾種解法）解法 1、作 acb 的平分線交ab 于點 g，易證 acg cef cg=ef 證 cbg ebf abc= ebf 題 51 解法 2 作 acb 的平分線交ab 于點 g，交 ae 于點 p，則點 g 為

21、 ace 的垂心， gfce 又 aec= gce，四邊形 cgfe 為等腰梯形cg=ef 再證 cbg ebf abc= ebf 題 51 解法 3 作 acb 的平分線交ab 于點 g，交 ae 于點 p，則點 g 為 ace 的垂心，易證 apg cpf（aas ）pg=pf 又 gpb=fpb，pb=pb pbg fbp（sas） pbg=fbp abc= ebf 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

22、 - - - 第 14 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題 51 解法 4（原題圖）由題 50 得， af=2ef af：ef=ac ：be=2 又 caf=bef=45 度 acf ebf acf=ebf 又 acf=cba abc= ebf 題 51 解法 5 作 me ce 交 cd 的延長線于m，證 abc cme（asa ） abc= m 再證 mef bef（sas） ebm= m abc= ebf 題 51 解法 6 作點 b 關(guān)于點 c 的對稱點 n，連結(jié) an，則 nb=2be ，又由題 50，af=2ef ，bfan ebm= n 又 abc= n（對稱

23、點）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 34 頁 - - - - - - - - - abc= ebf 題 51 解法 7 過點 c 作 chbf 交 ab 于 m，b 為 ce 的中點， f 為 he 的中點又由題 50，af=2ef ，h 為 af 的中點又 chbf m 為 ab 的中點 mcb= mbc 又 ebm= mcb abc= ebf 題目 52（題 50、51

24、 結(jié)論的引伸）已知， abe 中， ac=ec ， ace=90 度，cdab 交斜邊 ab 于 f，d 為垂足，b 為 ce 的中點，連結(jié)fb，求證：（1）、 af=2ef （2）、 abc= ebf （3）、 ebf= e+bae （4）、 abf=2 dac 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -（5）、 ab ：bf=ae ：e

25、f （6）、 cd：df=ae ：af （7）、 ad ：db=2af ： ef （8）、 cd/df fa/ae eb/bc=1 題目 53 （題 52 的一部分）已知如圖，、 ac=ce 、 acce 、 cb=be 、 cfab 求證：、 af=2ef 、 abc= ebf （題 53 的 14 個逆命題中，是真命題的請給出證明）題目 54（題 53 的逆命題1）已知如圖，、 af=2ef 、 acce 、 cb=be 、 cfab 求證：、 ac=ce 、 abc= ebf 平面幾何一題多變題目 55（題 53 的逆命題2）已知如圖，、 ac=ce 、 af=2ef 、 cb=be 、

26、 cfab 求證：、 acce 、 abc= ebf 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題目 56（題 53 的逆命題3）已知如圖，、 ac=ce 、 acce 、 af=2ef 、 cfab 求證：、 cb=be 、 abc= ebf 題目 57（題 53 的逆命題4）已知如圖，、 ac=ce 、 acce 、 af=2ef 、

27、cb=be 求證：、 cfab 、 abc= ebf 題目 58（題 53 的逆命題5）已知如圖，、 cb=be 、 abc= ebf 、 acce 、 cfab 求證：、 af=2ef 、 ac=ce 題目 59（題 53 的逆命題6）已知如圖，、 ac=ce 、 cfab 、 cb=be 、 abc= ebf 求證：、 af=2ef 、 acce 題目 60（題 53 的逆命題7）已知如圖，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

28、- - - - - - - - - 第 18 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -、 ac=ce 、 acce 、 abc= ebf 、 cfab 求證：、 af=2ef 、 cb=be 題目 61（題 53 的逆命題8）已知如圖，、 ac=ce 、 acce 、 cb=be 、 abc= ebf 求證：、 af=2ef 、 cfab 題目 62（題 53 的逆命題9）已知如圖，、 af=2ef 、 cfab 、 cb=be 、 abc= ebf 求證：、 ac=ce 、 acce 題目 63（題 53 的逆命題10）已知如圖，、 acce 、 af=2ef 、 cfab 、

29、abc= ebf 求證：、 ac=ce 、 cb=be 題目 64（題 53 的逆命題11）已知如圖，、 cb=be 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -、 abc= ebf 、 acce 、 af=2ef 求證：、 ac=ce 、 cfab 題目 65（題 53 的逆命題12）已知如圖，、 ac=ce 、 af=2ef 、 cfab

30、 、 abc= ebf 求證：、 acce 、 cb=be 題目 66（題 53 的逆命題13）已知如圖，、 ac=ce 、 af=2ef 、 cb=be 、 abc= ebf 求證：、 acce 、 cfab 題目 67（題 53 的逆命題14）已知如圖，、 ac=ce 、 acce 、 af=2ef 、 abc= ebf 求證：、 cb=be 、 cfab 題目 68 已知如圖， abc 中， acb=90 度， cdab，d 為垂足，cm 平分 acb ，如果 sacm=30 ，sdcm=6 ，求 s bcd= ？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

31、 - - - 第 20 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -（題 68 解答）解：設(shè) sbcd=x, 則 sacm/ s cmb=30/ （6+ x）=am/mb sacd/ s cdb=36/ x=ad/db 又 ac2= ad ab bc2= bd ab ac2/ bc2=ad/bd cm 平分 acb （ am/ bm ）2=ad/bd 30/(6+x)2=36/x 解方程得 x=4 或 x=9 sbcd=4 或 sbcd=

32、9 題目 69 已知如圖， abc 中， acb=90 度， d 為斜邊 ab 上一點，滿足ac2= ad ab 求證： cdab 題目 70 已知如圖， abc 中， acbc, acb=90 度，cm 平分 acb ，且 cm+cb=ac ，求證： 1/ac- 1/bc=2 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題 70 證明：過點

33、 m 作 md bc，d 為垂足，作md ac ，e 為垂足，設(shè) me=x,ac=b,bc=a, 則 cm= 2 x ，ae=b-x, 由 ae/ac=me/bc ，得 (b-x)/b=x/a, x=ab/(a+b) 又 cm+cb=ac 2 x+a=b,ab/(a+b)=(b-a)/ 2整理得： b2-a2=2ab兩邊都除以 ab, 1/ac- 1/bc=2題目 71(依題 68 變 ) 已知如圖， abc 中（ acbc ） ， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，cm 平分 acb, 且 bc、 ac 是方程 x2-14x+48=0 的兩個根，求 ad 、 md 的長。題目 71

34、 解：顯然，方程 x2-14x+48=0 的兩根為 6 和 8，又 acbc ac=8 ，bc=6 由勾股定理 ab=10 acd abc ，得 ac2= ad ab ad=6.4 cm 平分 acb am/mb=ac/cb 解得， am=40/7 md=ad-am=24/35 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題目 72 已知如圖

35、， abc 中， acb=90 度，ab=2ac ，現(xiàn)在將它折成如右圖的形狀，這時頂點a正好落在 bc 上，而且 amn 是正三角形，求 amn 與 abc 的面積之比。題 72 解： acb=90 度， ab=2ac b=30 度由題意，四邊形aman是菱形， abm abc am/ac=bm/ab 設(shè) am=x, ab=2ac=2a x/a=(2a-x)/2a x=2a/3 由三角形面積公式，得samn ：sabc=2 ：9 題目 73 已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足求證： ab+cdac+bc 題 73 的證明：由三角形面積公式，得ab cd=ac bc

36、 2ab cd=2ac bc 又勾股定理，得ab2=ac2+bc2 ab2+2ab cd =ac2+bc2+2acbc( 等式性質(zhì) ) ab2+2ab cd =（ ac+bc ）2 ab2+2ab cd+cd2 （ac+bc ）2 (ab+cd)2 （ac+bc ）2 又 ab 、cd、ac、bc 均大于零ab+cdac+bc 題目 74 已知， abc 中， acb90 度， cdab，d 為垂足求證： ab+cdac+bc 題 74 證明：如圖，作cb ac 交 ab 于 b ,于是有ab cd=ac bc精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

37、- 第 23 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -2ab cd=2ac bc又勾股定理，得ab 2=ac2+b c2ab 2+2ab cd =ac2+b c2+2ac b c( 等式性質(zhì) ) ab 2+2ab cd =（ac+b c ）2 ab 2+2ab cd+cd2 （ac+b c ）2 (ab+cd)2 （ac+b c ）2 又 ab 、cd、ac、b c均大于零ab +cdac+bc 在 abb 中,bbcb -cb +得

38、 ab bb+cdac+bc cb -cb ab+cdac+bc 題目 75 已知如圖， abc 中，cdab ，d 為垂足，ct 平分 acb ，cm 為 ab 邊上的中線，且 acd= dct= tcm= mcb 求證： acb=90 度題目 75 的證明：延長 ct 交三角形 abc 的外接圓于n，連結(jié) mn，則 n 為弧 ab 的中點，所以mn ab，又 cdab，mn cd dct= tnm 又 dct= tcm tcm= tnm cm=nm cn 的垂直平分線必過點m，又 cm 為 ab 邊上的中線， mn ab ab 的垂直平分線必過點m，即 m 為兩條弦的垂直平分線的交點，m

39、為三角形 abc 的外接圓的圓心，因此 ab 為 abc 的外接圓的直徑。 acb=90 度精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題目 76 已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足，acb 的平分線 cg 交 ab 邊上的中垂線于點g ，求證： mc=mg 題目 77 已知， abc 中， acb=90 度，

40、cd ab，d 為垂足， cm 為 ab 邊上的中線， cd 是acb 的平分線， ac=75cm, bd=80cm, 求 cd、cm、ce 的長題目 78 已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， e 為 abc 上一點，且弧 ac= 弧 ce，又 ae 交 cd 于 m，求證： am=cm 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 34 頁 - - -

41、- - - - - -題目 79（題 78 再變）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab，d 為垂足， e 為 abc 上一點，且弧ac= 弧ce，又 bc 交 ae 于 g，連結(jié) be 求證： bg2= ab be- agge 題目 80 已知， abc 中， acb=90 度，cdab ，d 為垂足， e為 abc 上一點，且直線dc 于直線 be 交于 p，求證： cd2= dm dp 題目 81 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

42、f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -已知， abc 中， acb=90 度，cdab ，d 為垂足， e為 abc 上一點，且直線dc 于直線 be 交于 p，如果 cd 平分 ae，求證：2dm dp= be ep 題目 82 已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， e 為 abc 上一點，且弧 ac= 弧 ce，又直線ac 與直線 be 交于 h，求證：ab=bh 題目 83(由題 44 變 ) 求證：直角三角形兩條直角邊的和等于斜邊與內(nèi)切圓直徑的和。題目 84 已知， abc

43、 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， mn 切 abc 與 c 點求證：bc 平分 dcn 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題目 85 已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， mn 切 abc 與 c 點，afmn ，f 為垂足， aemn ，e 為垂足，求證： cd=ce=cf 題目

44、86 已知， abc 中， acb=90 度，以 bc 為直徑的圓交ab 于點 d，以 ac 為半徑的圓交ab 于點 e，求證： bce=dce 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題目 87（由題 38 圖而變）求證：和兩定點距離之比等于定比（不為1）的點的軌跡是一個圓周。（提示：從（ 1）完備性、（2）純粹性兩方面來證明。 ）題目

45、 88 作圖題：已知兩線段之和及積，求作這兩條線段。已知：兩線段m 和 n 求作：兩線段x 及 y,使 x+y=m，xy=n2 補個圖（題 88 作法參考）ad 、bd 即為求作線段x、y 題目 89（由題 88 變）已知梯形 abcd 如圖，求作一直線平行于梯形的底邊，且平分面積。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 頁，共 34 頁 - - - - - - - - -題目 90 利用

46、下圖，證明：兩個正數(shù)之和為定值，則這兩個數(shù)相等時乘積最大。題目 89 作法：如圖，作兩腰的延長線交于點o，作 pbab 使 pb=oa ，連結(jié) op，以 op 為直徑作半圓m，由圓心m 作 mn op，交半圓于點n，再以 o 為圓心 on 為半徑畫弧交 ab 于點 e，作 efbc 交 cd 于 f，則 ef 即為所求線段。題 91(題 73 變) 設(shè) a、b、c、d 都是正數(shù)，滿足a/b=c/d,且 a 最大，求證： a+db+c 題 92（人教版數(shù)學(xué)八年級下114 頁）在 rt abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， acd=3 bcd ，e 是斜邊 ab 的中點，ec

47、b 是多少度？題 93（題 49 變）已知， 17cosa+13cosb=17,17sina=13sinb, 且 a、 b 都是銳角，求 a/2+ b 的值。題目 93 解： （構(gòu)造法）分別以 17、13 為邊作 abc，使 ac=17，bc=13，cd 為 ab 邊上的高，在 rtadc 中， ad=17 cosa ，在 rtbdc 中， bd=13 cosb，cd=17sina=13sinb 而 ab=ad+db=17cosa+13cosb=17，ac=ab, b=acb, 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 34 頁

48、- - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 34 頁 - - - - - - - - - a+2b=180 度 a/2+b=90 度。題 94已知如圖， abc 的 c 的平分線交ab 于 d，交 abc 的外接圓于e，若 cd ce 等于 abc 面積的 2 倍求證： acb=90 度題目 95 已知， abc 中， acb=90 度， cdab ，d 為垂足， cm 平分 acb 交 ab 于 m，若acbc 求證： dcm=1/2 （b- a）題目 96 已知， abc 中，acb=90 度，cdab ，d 為垂足， ce 為 ab 邊上的中線， 且 de=dc ，求 abc 中較小的銳角的度數(shù)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 頁，共 34 頁 - -