中心對(duì)稱(chēng)圖形講義

1、知識(shí)點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)的概念將圖形繞一個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形上點(diǎn)的位置。2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等。3.畫(huà)旋轉(zhuǎn)后的圖形利用圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可以畫(huà)出一個(gè)圖形繞某點(diǎn)按照一定的方向旋轉(zhuǎn)一定角度后的圖形?；井?huà)法：將圖形上的一些特殊點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連接，以旋轉(zhuǎn)中心為圓心，連線段長(zhǎng)為半徑畫(huà)圖，按照旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再畫(huà)出所有的對(duì)應(yīng)線段?？键c(diǎn)一：生活中的旋轉(zhuǎn)例1：下列現(xiàn)象中：地下水位逐年下降；傳送

2、帶的移動(dòng)；方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)；水龍頭開(kāi)關(guān)的轉(zhuǎn)動(dòng)；鐘擺的運(yùn)動(dòng)；蕩秋千運(yùn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)的有（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 例2：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，要確定一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，除了知道原來(lái)圖形的位置和旋轉(zhuǎn)方向外，還需要知道_和_例3：小明把自己的左手手印和右手手印按在同一張白紙上（如圖所示），則左手手印_（填“能”或“不能”）通過(guò)旋轉(zhuǎn)與右手手印完全重合在一起考點(diǎn)二：確定圖形的旋轉(zhuǎn)角度例1：如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D、O都在方格紙的格點(diǎn)上，若COD是由AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得，則旋轉(zhuǎn)的角度為（）A.30° B.45° C.90° D.135°考點(diǎn)三：確定

3、圖形的旋轉(zhuǎn)中心.O例1：如圖，O為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，如果正方形CDEF旋轉(zhuǎn)后能與正方形ABCD重合，那么圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共 個(gè)。例2：如圖，線段A'B'是線段AB繞著某一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)A'與點(diǎn)A為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，請(qǐng)找出旋轉(zhuǎn)中心O考點(diǎn)四：生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題例1：如圖，這是一個(gè)正面為黑、反面為白的未拼完的拼木盤(pán)，給出如下四塊正面為黑、反面為白的拼木，現(xiàn)欲拼滿拼木盤(pán)并使其顏色一致，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)選擇的拼木是（）A. B. C. D. 考點(diǎn)五：推理說(shuō)明題例1：將兩塊大小相同的含30°角的直角三角尺（BAC=BAC=30°）按如圖所示的方

4、式放置，固定三角尺ABC，然后將三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°）至圖所示的位置，AB與AC交于點(diǎn)E，AC與AB交于點(diǎn)F，AB與AB相交于點(diǎn)O（1）求證：BCEBCF；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30°時(shí)，AB與AB垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 考點(diǎn)六：有關(guān)旋轉(zhuǎn)的做圖題例1：在方格紙上按下列要求作圖（如圖），不用寫(xiě)作法：（1） 做出“小旗子”向右平移6格后的圖案；（2） 做出“小旗子”繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的圖案。考點(diǎn)七：探究性問(wèn)題例1：在ABC中，AB=AC，BAC=（0°<<60°），將線段BC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

5、60°得到線段BD。（1）如圖1，直接寫(xiě)出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）如圖2，BCE=150°，ABE=60°，判斷ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連接DE，若DEC=45°，求的值 例2：如圖，在RtABC中，ABAC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且DAE45°，將ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到AFB，連接EF，下列結(jié)論：AEDAEF；AEAD；BEDCDE；BE2DC2DE2其中正確的是 ( ) A B C D 【誤區(qū)警示】誤點(diǎn)1 不能抓住圖形旋轉(zhuǎn)的基本要素，導(dǎo)致錯(cuò)誤例1：如圖，五角星的頂點(diǎn)是一個(gè)正五邊

6、形的五個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)五角星可以由一個(gè)基本圖形（圖形的陰影部分）繞中心O至少經(jīng)過(guò) 次旋轉(zhuǎn)而得到，每一次旋轉(zhuǎn) ° 誤點(diǎn)2 不能靈活運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，導(dǎo)致錯(cuò)誤例2圖例2：如圖，在RtABC中，ACB=90°，A=，將ABC饒點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到EDC，此時(shí)點(diǎn)D在AB邊上，則旋轉(zhuǎn)角的大小為 知識(shí)點(diǎn)二：中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形1、 中心對(duì)稱(chēng)的概念一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱(chēng)這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也稱(chēng)這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng)。這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。2、 中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°是一種特殊的

7、旋轉(zhuǎn)，成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)。成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，且被對(duì)稱(chēng)中心平分。3、 中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義及其性質(zhì)把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心。中心對(duì)稱(chēng)圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱(chēng)中心平分。4、 軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)比軸對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)圖形圖形沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折（翻折180°）后重合圖形繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180° 重合對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，且別對(duì)稱(chēng)中心平分5、成中心對(duì)稱(chēng)圖形的畫(huà)法考點(diǎn)一：概念與性質(zhì)

8、例1：下列說(shuō)法中，不正確的是 ( ) A關(guān)于某一點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等 B全等的兩個(gè)圖形一定關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形 D任何一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)關(guān)于這條線段的中點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)考點(diǎn)二：識(shí)別中心對(duì)稱(chēng)圖形例1：下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）A. B C D考點(diǎn)三：游戲中的數(shù)學(xué)問(wèn)題例1：已知如圖所示的四張牌，若將其中一張牌旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖，則旋轉(zhuǎn)的牌是（ ）A B C D考點(diǎn)四：方案設(shè)計(jì)題例1：如圖，兩個(gè)三角形成中心對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)確定其對(duì)稱(chēng)中心例2：如圖，將ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后得到A1B1C1，請(qǐng)你畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的A1B1C1例3：如圖，是

9、一個(gè)4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.請(qǐng)你在網(wǎng)格中以左上角的三角形為基本圖形，通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)計(jì)一個(gè)精美圖案，使其滿足：既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是以點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；所作圖案用陰影標(biāo)識(shí)，且陰影部分面積為4 考點(diǎn)五：推理說(shuō)明題例1：如圖，直線，垂足為O，點(diǎn)A1與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，、點(diǎn)A2與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A1與點(diǎn)A2有怎樣的對(duì)稱(chēng)關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。例2：如圖，在ABC中，ABBC，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，得到A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于點(diǎn)D、F下列結(jié)論：CDF，A1ECF，DFFC，ADCE，A1FCE其中正確的是_（寫(xiě)

10、出正確結(jié)論的序號(hào)） 考點(diǎn)六：操作探究題例1：如圖，在網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形圖案（1） 請(qǐng)你畫(huà)出此圖案繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°、180°、270°的圖案，你會(huì)得到一個(gè)美麗的圖案，千萬(wàn)不要將陰影位置畫(huà)錯(cuò)。（2）若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次為A1，A2，A3，求四邊形AA1A2A3的面積 （3）這個(gè)美麗圖案能夠說(shuō)明一個(gè)著名結(jié)論的正確性，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)結(jié)論【誤區(qū)警示】誤點(diǎn)1 不能正確識(shí)別中心對(duì)稱(chēng)圖形，導(dǎo)致錯(cuò)誤例1：下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）A. B C D誤點(diǎn)2 不能運(yùn)用中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致錯(cuò)誤例2：如圖，

11、ABBC，AB=BC=2cm，與關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，則AB、BC、所圍成的面積是 cm0 知識(shí)點(diǎn)三： 平行四邊形1、 平行四邊形的概念：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形2、 平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；（2）平行四邊形的對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。3、 判定平行四邊形的條件（1） 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（概念）（2） 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形（3） 對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形（4） 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形4、 平行四邊形的畫(huà)法5、 反證法反證法是一種間接證明的方法，不是從

12、已知條件出發(fā)直接證明命題的結(jié)論成立，而是先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后由這個(gè)“假設(shè)”出發(fā)推導(dǎo)出矛盾，說(shuō)明假設(shè)是不成立的，因而命題的結(jié)論是成立的?？键c(diǎn)一：運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行求值例1：ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O如果AC14，BD8，ABx，那么x的取值范圍是_例2：如圖，ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AB5，OCD的周長(zhǎng)為23，則ABCD的兩條對(duì)角線的和是 ( ) A18 B28 C36 D46例3：在ABCD中，AB6 cm，BC8 cm，則ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)cm例4：如圖，在ABCD中，A120°，則D_°例5：如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC14，

13、BD8，AB10，則OAB的周長(zhǎng)為_(kāi)例6：如圖， ABCD與 DCFE的周長(zhǎng)相等，且BAD=60°，F(xiàn)=110°，則DAE的度數(shù)為 例7：如圖所示，在ABC中，ABAC5，D是BC上的點(diǎn)，DEAB交AC于點(diǎn)E，DFAC交AB于點(diǎn)F，那么四邊形AFDE的周長(zhǎng)是_考點(diǎn)二：平行四邊形的性質(zhì)與勾股定理相結(jié)合例1：如圖，在ABCD中，已知ODA90°，AC10 cm，BD6 cm，則AD的長(zhǎng)為 ( ) A4cm B5 cm C6 cm D8 cm例2：在ABCD中，已知AB6cm，AC8 cm，AD10cm，則ABCD的面積為 考點(diǎn)三：利用平行四邊形的性

14、質(zhì)證全等例1：如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)AC中點(diǎn)O作直線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F求證：AOFCOF 例2：如圖，在平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上取兩點(diǎn)E和F，若AECF，那么AFD與CEB是否相等？為什么？ 考點(diǎn)四：平行四邊形的性質(zhì)與角平分線相結(jié)合例1：如圖，已知平行四邊形ABCD中，BCD的平分線CE交邊AD于E，ABC的平分線BG交CE于F，交AD于G那AE與DG相等嗎？為什么？ 考點(diǎn)五：平行四邊形與圖形的面積例1：如圖，在ABCD中，點(diǎn)E在AC上，AE2EC，點(diǎn)F在AB上，BF2AF，如果BEF的面積為2 cm2，則ABCD的面積為_(kāi)cm2 例2：如圖在ABCD中，E、F分別

15、是AD、BC邊上的任意兩點(diǎn)，則S陰影= 。例3：如圖所示，在ABCD中，P是AC上任意一點(diǎn)，求證：考點(diǎn)六：平行四邊形的判定例1：如圖，下列四組條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是 ( )AABDC，ADBC BABDC，ADBC CABDC，ADBC DABDC，ABDC 例2：下列給出的四邊形ABCD中A、B、C、D的度數(shù)之比，能判斷四邊形ABCD為平行四邊形的是 ( ) A1：2：3：4 B2：3：2：3 C2：2：4：4 D2：3：3：2例3：把邊長(zhǎng)為4 cm、5 cm、6 cm的兩個(gè)全等三角形拼成四邊形，一共能拼成_種不同的四邊形，其中有_個(gè)平行四邊形例4：點(diǎn)A、B、C是平面

16、內(nèi)不在同一條直線上的三點(diǎn)，點(diǎn)D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若A、B、C、D四點(diǎn)恰能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，則在平面內(nèi)符合這樣條件的點(diǎn)D有 ( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)例5：如圖，已知BC為等腰三角形紙片ABC的底邊，ADBC，BAC90°將此三角形紙片沿AD剪開(kāi)，得到兩個(gè)三角形，若把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形，則能拼出平行四邊形_個(gè) 例6：如圖，在 ABCD中，DAB=60°，點(diǎn)E、F分別在CD、AB的延長(zhǎng)線上，且AE=AD，CF=CB.（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的“DAB=60°”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明

17、過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 考點(diǎn)六：平行四邊形的判定與全等相結(jié)合 例1：如圖，已知BEDF，ADFCBE，AFCE求證：四邊形DEBF是平行四邊形 例2：如圖，已知D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，CEAB，DE交AC于點(diǎn)O，且OAOC，猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 例3：已知：如圖，分別以ABC的三邊為其中一邊，在BC的同側(cè)作三個(gè)等邊三角形：ABD、BCE、ACF。求證：AE、DF互相平分?？键c(diǎn)七：生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題例1圖例1：如圖是小飛家的一個(gè)四邊形池塘，在池塘的四個(gè)角上分別栽著一個(gè)大桃樹(shù)，現(xiàn)在要把池塘擴(kuò)大建成魚(yú)塘，使池塘的面積增加一倍又不想移動(dòng)大桃樹(shù)的位置，并要求擴(kuò)建

18、后的魚(yú)塘為一個(gè)平行四邊形。請(qǐng)問(wèn)小飛家能實(shí)現(xiàn)這個(gè)夢(mèng)想嗎？如能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)并畫(huà)出圖形，如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 考點(diǎn)八：開(kāi)放性問(wèn)題例1：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是 例2：已知四邊形ABCD，有以下四個(gè)條件：ABCD；ABCD；BCAD；BCAD從這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數(shù)共有 ( )A6種 B5種 C4種 D3種考點(diǎn)九：體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的題型例1：如圖在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC+BD=18,BC=6,則AOD的周長(zhǎng)為 例2：已知四邊形ABCD，有以下四個(gè)條件：ABCD；ABCD；BCAD；BCAD從這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數(shù)共有 ( )A6種 B5種 C4種 D3種例3：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC,AD>BC,BC=6cm，點(diǎn)P、Q分別以A、C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，P以1cm/ s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒則當(dāng)x=時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形考點(diǎn)十：探索性問(wèn)題例1：在ABC中，AB=AC，