153定積分的概念96474

1、求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y= =f(x)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用個(gè)小曲邊梯形的面積用高為高為f(x xi)而寬為而寬為d dx的小矩形面積的小矩形面積f(x xi)d dx代替。代替。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積s為為 取取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積形面積s的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yobaxi+1xixd1lim( )ninisfxx=d1( )niisfxx=d (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間

2、a,b上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn),將它等分成將它等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度每個(gè)小區(qū)間寬度xban-= 11211,iina xx xxxxb-一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfnxx=-d =小矩形面積和s=如果當(dāng)如果當(dāng)n時(shí)，時(shí)，s 的無限接近某個(gè)常數(shù)，的無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分，記作上的定積分，記作 ba (x)dx，即f (x)dx =f (x i)dxi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積s的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步曲曲”:分割分割-

3、近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決.1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即oabxy)(xfy =定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱：被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限112001( )3sf x dxx dx=根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yof(x)=x213s =1sd2sd2( )2v tt= -+o ov t t12gggggg3sdjsdnsd1n2n3njn1nn-4sd112005( )(2)3sv t dttdt

4、=-=根據(jù)定積分的定義左邊圖形的面積為練習(xí)：練習(xí)：p50 a組組3題題 利用定積分的定義利用定積分的定義,計(jì)算下列式子的值計(jì)算下列式子的值. 130 x d x二、定積分的幾何意義：二、定積分的幾何意義：ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時(shí)，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 ba 特別地，當(dāng)a=b時(shí)，有f (x)dx= 0。 ab y=f (x)ox y( )yg x=探究探究1:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分如何用定積分表

5、示圖中陰影部分的面積的面積?ab y=f (x)ox y1()basfx dx=( )yg x=12( )( )bbaas s sf xdxg xdx= -=-2( )basg x dx=探究探究2:定積分可能是負(fù)值嗎？定積分可能是負(fù)值嗎？-013dxx根據(jù)定義計(jì)算根據(jù)定義計(jì)算結(jié)論：定積分可以為負(fù)值，結(jié)論：定積分可以為負(fù)值，ba11( )lim( )lim( )nniinniibabaf x dxffnnxx=-=當(dāng)當(dāng), 0)(xf總有總有, 0)(ifx此時(shí)，此時(shí)，ba( )f x dx為負(fù)值為負(fù)值例題例題2：探究探究3：當(dāng)當(dāng)f(x) 0時(shí)，時(shí)，定積分定積分 的幾何意義：的幾何意義： baf

6、 (x)dx，即f (x)dx =f (x i)dxi。 -013dxx-11表示表示103dxx的相反數(shù)的相反數(shù)即即-=-103013dxxdxx曲邊梯形面積的負(fù)值。曲邊梯形面積的負(fù)值。 積分baf (x)dx 在幾何上表示 探究探究3：當(dāng)當(dāng)f(x) 0時(shí)，時(shí)，定積分定積分 的幾何意義：的幾何意義： ba 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時(shí)，由時(shí)，由y= =f (x)、x= =a、x= =b 與與 x 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形位于曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yodxxfsba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfsba)(-=baf (x)dx =f (

7、x)dxf (x)dx。 =-sbaf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-s設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v v= =v v( (t t) )，則此物體在時(shí)間區(qū)間，則此物體在時(shí)間區(qū)間 a a, , b b 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s s為為 s=bav(t)dt。 對(duì)速度求定積分物理意義：對(duì)速度求定積分物理意義：oab( )vv t=tv二、定積分的幾何意義二、定積分的幾何意義 表示各部分面積的代數(shù)和表示各部分面積的代數(shù)和aby=f (x)s1s2s3321)(sssxfba-=性質(zhì)性質(zhì)1. 1. badxxkf)( = =badx)x(fk三、定積分的計(jì)算性質(zhì)三、定積分的計(jì)

8、算性質(zhì) =-=-=-=baniinniinniinbadxxfkfnabkfnabkkfnabdxxkf)()(lim)(lim)(lim)(111xxx證明：證明：dxxgxfba)()( = =babadx)x(gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. =-=-=-=babaniinniinniiniininiinbaxgxfgnabfnabgfnabgfnabdxxgxf)()()(lim)(lim) )()(lim)()(lim)()(11111xxxxxx證明：證明：三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fox yab y=f (x)注意：注意： 不論不論a，b，c的相對(duì)位置如何都有的相對(duì)位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxbcf (x)dx。 cox