導(dǎo)數(shù)的幾何意義77440

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何意義 割線(xiàn)割線(xiàn)ab的斜率的斜率:k=oabxyy=f(x)x0 x0+xf(x0)f(x0+x)xy00( )( ) f xxf xyxx00( )() f xxf xyxx(1)(1)函數(shù)平均變化率函數(shù)平均變化率: : 【溫故知新】(2)(2)平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何意義oabxyy=f(x)x0 x0+xf(x0)f(x0+x)xy00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx (3)(3)導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義割線(xiàn)割線(xiàn)abab的斜率的斜率ppnoxyy=f(x)割割線(xiàn)線(xiàn)切線(xiàn)切線(xiàn)t 我們發(fā)現(xiàn)

2、我們發(fā)現(xiàn), ,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)pn沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)p,p,即即x0 x0時(shí)時(shí), ,割線(xiàn)割線(xiàn)ppnppn趨近于確定位置趨近于確定位置pt.pt.則我們把則我們把直線(xiàn)直線(xiàn)ptpt稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)p p處的處的切線(xiàn)切線(xiàn). .xy【探索新知】想一想？想一想？割線(xiàn)割線(xiàn)ppppn n的斜率的斜率k kn n與切線(xiàn)與切線(xiàn)ptpt的斜率的斜率k k有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?割線(xiàn)割線(xiàn)ppppn n的斜率的斜率: :00()()nnnf xf xkxx00()()nf xxf xkx當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)p pn n無(wú)限趨近于點(diǎn)無(wú)限趨近于點(diǎn)p p即即x0 x0時(shí)時(shí), ,k kn n無(wú)限趨近于切線(xiàn)無(wú)限趨近于切

3、線(xiàn)ptpt的斜率的斜率k.k.設(shè)設(shè) 相對(duì)于相對(duì)于 的增加量為的增加量為 , ,則則 0 x, x0nxxxnx 當(dāng)當(dāng)x0 x0時(shí)時(shí), ,割線(xiàn)割線(xiàn) ppnppn的斜的斜率率, ,稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)p p處的處的切線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率斜率. .即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線(xiàn)提供了求曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率的一種方法提供了求曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率的一種方法;切線(xiàn)斜率的本質(zhì)切線(xiàn)斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).pqoxy割割線(xiàn)線(xiàn)切切線(xiàn)線(xiàn)t因此因此, ,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )在在x=xx=x0 0處的處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)ptpt的斜

4、率的斜率. .【概念形成】概念用途概念用途: : 圓的切線(xiàn)定義并不適用于一圓的切線(xiàn)定義并不適用于一般的曲線(xiàn)。般的曲線(xiàn)。 通過(guò)通過(guò)無(wú)限無(wú)限逼近逼近的方法，將的方法，將割割線(xiàn)趨于的確定位置的直線(xiàn)線(xiàn)趨于的確定位置的直線(xiàn)定義為定義為切線(xiàn)切線(xiàn)（交點(diǎn)可能不惟一）（交點(diǎn)可能不惟一）適用于適用于各種曲線(xiàn)。所以，這種定義才真各種曲線(xiàn)。所以，這種定義才真正反映了切線(xiàn)的直觀(guān)本質(zhì)。正反映了切線(xiàn)的直觀(guān)本質(zhì)。 2l1lxyabc【對(duì)比鞏固】問(wèn)：?jiǎn)枺簣A的切線(xiàn)與一般曲線(xiàn)圓的切線(xiàn)與一般曲線(xiàn)的切線(xiàn)定義有何區(qū)別？的切線(xiàn)定義有何區(qū)別？ppp 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)p附近，曲線(xiàn)可以附近，曲線(xiàn)可以用在點(diǎn)用在點(diǎn)p

5、處的切線(xiàn)近似代替處的切線(xiàn)近似代替 。 大多數(shù)大多數(shù)函數(shù)曲線(xiàn)函數(shù)曲線(xiàn)就就一小范圍一小范圍來(lái)看，大致可來(lái)看，大致可看作看作直線(xiàn)，直線(xiàn)，所以，所以，某點(diǎn)附近的曲線(xiàn)可以用過(guò)此某點(diǎn)附近的曲線(xiàn)可以用過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)近似代替，即點(diǎn)的切線(xiàn)近似代替，即“以直代曲以直代曲” （以簡(jiǎn)（以簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象）單的對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象）拓寬視野例例1:求曲線(xiàn)求曲線(xiàn)y=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)p(1,2)處的切線(xiàn)斜率及切線(xiàn)方程處的切線(xiàn)斜率及切線(xiàn)方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線(xiàn)的斜率切線(xiàn)的斜率k

6、=2切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的步驟求曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的步驟:求出函數(shù)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)；利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程。利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程?！镜淅觥咳酎c(diǎn)不在曲線(xiàn)上呢？若點(diǎn)不在曲線(xiàn)上呢？(3,5)p變式變式1：試求過(guò)點(diǎn)試求過(guò)點(diǎn) 且與曲線(xiàn)且與曲線(xiàn) 相切的相切的 直線(xiàn)方程。直線(xiàn)方程。2yx00022000200000()()lim()()lim2()limlim(2)2xxxxf xxf xkxxxxxxxxxxxx 200000523152,1021010250 xxxxxkkxyxy 或，（1, 1

7、) 或( 5, 25)y-1=2( x-1) 或y-25=10( x-5)或切線(xiàn)斜率：切線(xiàn)斜率：解得解得切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)方程直線(xiàn)方程即即解：因?yàn)辄c(diǎn)解：因?yàn)辄c(diǎn) 不在曲線(xiàn)上，設(shè)此切線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)上不在曲線(xiàn)上，設(shè)此切線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)上 的點(diǎn)的點(diǎn) ，則，則(3,5)p200(,)xx思路：思路：設(shè)出切點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和已知條件去求設(shè)出切點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和已知條件去求 如圖已知曲線(xiàn)如圖已知曲線(xiàn) ,求求: (1)點(diǎn)點(diǎn)p處的切線(xiàn)的斜率處的切線(xiàn)的斜率; (2)點(diǎn)點(diǎn)p處的切線(xiàn)方程處的切線(xiàn)方程.)38,2(313pxy上上一一點(diǎn)點(diǎn) yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33l

8、im3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點(diǎn)點(diǎn)p處的切線(xiàn)的斜率等于處的切線(xiàn)的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)p處的切線(xiàn)方程是處的切線(xiàn)方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.練一練練一練 在曲線(xiàn)在曲線(xiàn) 上過(guò)哪一點(diǎn)的切線(xiàn)，上過(guò)哪一點(diǎn)的切線(xiàn)， (1)平行于直線(xiàn)平行于直線(xiàn) (2)垂直于直線(xiàn)垂直于直線(xiàn) (3)與與 軸成軸成 的傾斜角的傾斜角2yx45yx2650 xy135x這樣的題你會(huì)嗎？這樣的題你會(huì)嗎？(2,4)3 9(, )2 41 1(, )2 4 .,.,.附近的變化情況

9、附近的變化情況在在述、比較曲線(xiàn)述、比較曲線(xiàn)請(qǐng)描請(qǐng)描據(jù)圖象據(jù)圖象根根圖象圖象的的數(shù)數(shù)時(shí)間變化的函時(shí)間變化的函示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨它表它表如圖如圖例例21021056943112tttthttth 0l1l2ltho0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫(huà)畫(huà)曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)附附近近利利用用曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的的切切線(xiàn)線(xiàn) .,變化情況在上述三個(gè)時(shí)刻附近的線(xiàn)刻畫(huà)曲處的切線(xiàn)在我們用曲線(xiàn)解thtttxh210例3. f/(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f/(x)的圖象如圖所示，則 f(x)的圖象只可能是( )d變式：變式：函數(shù)y= f(x)的定義域是r，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x) 都是其定義域上的增函數(shù)，則函數(shù)y= f(x)的圖象可能是（ ）a課堂小結(jié)課堂小結(jié) 今天這節(jié)課，你學(xué)到了哪些知識(shí)？課堂小結(jié)課堂小結(jié)一個(gè)概念：曲線(xiàn)在某點(diǎn)的切線(xiàn)一個(gè)概念：曲線(xiàn)在某點(diǎn)的切線(xiàn) 兩種題型兩種題型:(1)求曲線(xiàn)在某點(diǎn)的切線(xiàn)方程求曲線(xiàn)在某點(diǎn)的切線(xiàn)方程 (2)研究函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)研究函數(shù)圖像的變化趨勢(shì) 三種思想：無(wú)限逼近三種思想：無(wú)限逼近,以直代曲和數(shù)形結(jié)合以直代曲和數(shù)形