中國古代二色和數(shù)方程解法介紹

1、在中學時期，我們學習了二元一次方程組，來看這樣一道題，人教版初中數(shù)學課本七年級下冊第八章第三節(jié)實際問題與二元一次方程組，有這樣一道探究題：養(yǎng)牛場原有30只大牛和15只小牛，一天用飼料675千克；一周后又購進12只大牛和5只小牛，這時每天用飼料940千克。問每只大牛、每只小牛每天各對少飼料。解法是，通過列方程組，我們設(shè)每只大牛每天用飼料x千克，每只小牛每天用飼料y千克，解方程組得到。這是我們現(xiàn)在通用的解題方法，那么其實早在我國古代公元一世紀的九章算術(shù)中就有線性方程的記載，只不過當時對線性方程有一套獨特的解法。古人是如何解決線性方程問題，用的是什么方法，就是本文的主要內(nèi)容。這就不得不談到清初數(shù)學家

2、梅文鼎于1672年完成的方程論這一著作（方程是我國古代數(shù)學對線性方程組的叫法）。全書共分六卷，分為正名、極數(shù)、致用、刊誤、方程御雜法、測量。首卷正名討論了“方程”一詞的含義并按系數(shù)符號的排列情況，對線性方程組進行了分類，包括和數(shù)方程，較數(shù)方程，和較雜方程，和較交變方程。其中二色的和數(shù)方程將是我們介紹的內(nèi)容。下面我們用具體的例題，通過分析它的解題過程，來了解古代方程的解法。二色和數(shù)方程（所謂二色，就是兩個未知數(shù)。三色就是三個未知數(shù)，以此類推）例：假如有山田三畝，場地六畝，共折輸糧實田四畝七分；又有山田五畝，場地三畝，共折實田五畝五分，問每畝山田折實田多少，每畝場地折實田多少。上 中 下上田三畝（

3、得十五畝） 地六畝（得三十畝） 折實田共四畝七分（得二十三畝五分） 減盡 余二十一畝 余七畝上田五畝（得十五畝） 地三畝（得九畝） 折實田五畝五分 （得十六畝五分） 列出上、中、下三位（后面例題中會省略“上中下”三個字，但所列仍然是上中下三位），把其中一色放在上位，另一色放在中位，總價列于下位，如題目中把田放在上位，場地放在中位，共折實田數(shù)放在下位。然后用第一行上位上的數(shù)3，去乘第二行上中下三位上的數(shù)，即5*3=15、3*3=9、5.5*3=16.5，同樣的，用第二行上位上的5，去乘第一行上中下三位上的數(shù)，分別得到15、30、23.5。接著把乘后得數(shù)對減，上位兩個15對減等于0，中位30與9的

4、差為21，下位23.5與16.5的差為7。用中位的數(shù)除下位的數(shù)即21除7，得到，即為每畝場地折實田數(shù)畝。兩行任取一行，把帶入，比如帶第一行6*=2，用4.7-2=2.7除以3，得0.9，即每畝山田折實田數(shù)0.9畝（帶入到第二行也可以）。這樣我們這一道題就解完了。如用現(xiàn)代方程解法，則令山田折實田數(shù)為x，場地折實田數(shù)為y，列方程組，求出x、y即可。通過對比我們可以看出，不同點是，古代方程解法，并沒有設(shè)未知數(shù)，而是直接把例題中給出的條件對應的列到上中下三位。解題的過程中，古代方程是把上位消去，留下中位與下位，而我們現(xiàn)在解題過程中，消去x或y是根據(jù)解題的難易程度和解題者的個人喜好來決定的，先消去誰都可

5、以（古代方程解法中，如果我們想留下山田，消去場地，那么就需要把場地放在上位，山田放在中位，下位不變，后面會給出解法）。相同點是基本思想都是消元，先消去一個未知數(shù)，變成一元一次，求解。然后再把求出來的解帶到任一原方程中，求出另外一個解。以上所問為每畝田地折實田數(shù)，若反問每畝實田折田地數(shù)，列法不變，解法前面一部分不變，原來是以中位的數(shù)除下位的數(shù)，現(xiàn)在我們改為以下位的數(shù)除中位的數(shù)，即7除21等于3，即每畝實田折場地3畝。在把3帶入第一行，6畝山地即為2畝實田，4.7-2=2.7，也就是3畝山田折2.7畝實田，用2.7除3等于，即每畝實田折畝山地。如果現(xiàn)代方程的話，我們則需從新列方程組，設(shè)每畝實田折山

6、田x畝，每畝實田折場地y畝，列方程組，而這種方程就不是我們在中學所考慮的了?；蛘咧苯永?畝山田折實田0.9畝，得到每畝實田折山田畝。但這兩種辦法都沒有我們用古代方法來的容易，因為用古代方法基本不需要什么改變，只須把除數(shù)與被除數(shù)互換位置即可。不過從上面的解法中，我們可以發(fā)現(xiàn)，古代方程的解法有一個弊端，實際上我們現(xiàn)在消元的過程中，是找到了被消的未知數(shù)系數(shù)的最小公倍數(shù)，比如，消y的話是上面等式乘4，下面等式乘3，都變成60y之后兩式相減，從而消去y。而古代方程解法，直接用上位數(shù)去乘對行的三個數(shù)，如果數(shù)很大的話，就會加大計算量，不易計算。下面我們來看先求每畝山田折實田數(shù)，應該怎么列。之前已經(jīng)談到，如

7、果先求每畝山田折實田數(shù)，我們就把山田列中位，場地列上位，折實田數(shù)仍列下位，如下： 上 中 下地六畝（得十八畝） 田三畝（得九畝） 折實田共四畝七分（得十四畝一分） 減盡 余二十一畝 余一十八畝九分地三畝（得十八畝） 田五畝（得三十畝） 折實田五畝五分 （得三十三畝） 解法相同，先用第一行上位所對6，去乘第二行上中下三位的數(shù)，分別得到18、30、33；然后用第二行上位的數(shù)3去乘第一行上中下三位所對的數(shù)，分別得到18、9、14.1。對應的數(shù)相減，上位相減差為0，中位相減差為21，下位相減差為18.9。中位的數(shù)除下位的數(shù)即21除18.9得0.9，為每畝山田折實田數(shù)。帶入到第一行中，0.9*3=2.7

8、，用4.7減去2.7得到2，最后6除2等于為每畝場地折實田數(shù)。那么現(xiàn)在我們來看看這種古代的算法能不能解現(xiàn)在的實際問題?；氐轿恼伦铋_始的例題，先列出上中下三位：大牛三十（得一千二百六十） 小牛十五（得六百三十）總飼料六百七十五（得二萬八千三百五十） 減盡 余三十 余一百五十大牛四十二（得一千二百六十）小牛二十（得六百） 總飼料九百四十 （得二萬八千二百）用第一行上位大牛30乘第二行三個數(shù)，得到1260、600、28200，再用第二行上位42乘第一行三個數(shù)，得到1260、630、28350。對應的數(shù)對減，上位相減為0，中位相減差為30，下位相減差為150。以中位的數(shù)除下位的數(shù)即30除150得5，即為小牛每天所需飼料數(shù)。把5帶入第一行，5*15=75,675減去75得600，再用30除600等于20為大牛每天所需飼料數(shù)。若問每千克飼料能喂大牛小牛各幾頭，則把除數(shù)與被除數(shù)互換，原來為除數(shù)的現(xiàn)在變成被除數(shù)，原來為被除數(shù)的現(xiàn)在變?yōu)槌龜?shù)即可，不必單列方程組。以上為二色的和數(shù)方程的解法。那么對于我們現(xiàn)在中學里所遇到的二元一次方程組問題，什么樣的方程組能用這種解法呢