不定積分的概念與性質(zhì)

1、14.3 不定積分不定積分的概念與性質(zhì)的概念與性質(zhì)不定積分的概念不定積分的概念基本積分公式基本積分公式不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) indefinite integral第第4 4章章 定積分與不定積分定積分與不定積分2積分變量積分變量積分常數(shù)積分常數(shù)被積函數(shù)被積函數(shù)定義定義4.3被積表達(dá)式被積表達(dá)式不定積分不定積分. .cxf )(的的全部原函數(shù)的一般表達(dá)式全部原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (x)的的 總和總和(summa)xxfd)( 記為記為積分號(hào)積分號(hào)cxfxxf )(d)(設(shè)設(shè)f(x)是是f (x)的任的任一原函數(shù)一原函數(shù), 則則f (x) 4

2、.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一、不定積分的概念一、不定積分的概念(1)不定積分定義不定積分定義3 由不定積分的定義由不定積分的定義 x xxfd)( 結(jié)論結(jié)論微分微分運(yùn)算與運(yùn)算與求不定積分求不定積分的運(yùn)算是的運(yùn)算是如如 221dgtxxfd)( 或或或或的的. xsind)(xf xxfd)( dcxf )(cxf )()(xf xd d)(xf ,sincx .212cgt 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)4由不定積分的概念可以明確兩條由不定積分的概念可以明確兩條:(1) 不定積分的最后答案中一定帶有任意常不定積分的最后答案中一定帶有任意常數(shù)項(xiàng)數(shù)項(xiàng);(2)

3、檢查不定積分的答案是否正確檢查不定積分的答案是否正確, 進(jìn)行驗(yàn)證進(jìn)行驗(yàn)證.例如例如cxxxxx e )1(de?應(yīng)能根據(jù)應(yīng)能根據(jù) e )1(cxx xxxe )1(exx e判斷上述答案是否正確的判斷上述答案是否正確的.應(yīng)用求導(dǎo)應(yīng)用求導(dǎo) 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)5例例 .d5xx 求求解解 xx d5解解例例 .d112 xx求求 )(xf.66cx 211x xxd112xarctan.arctancx 5x 66x)(xf 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)6(2)不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義曲線曲線稱為稱為f (x)的的積分曲線積分曲線.的圖

4、形是的圖形是cxfy )(移動(dòng)移動(dòng), 得出的無窮多條曲線得出的無窮多條曲線, 稱為稱為f (x)的的積分積分y = f(x)的圖形是的圖形是x, y平面的一條曲線平面的一條曲線,將曲線將曲線 y = f(x)向平行于向平行于x軸的方向任意上下軸的方向任意上下族族.xyoc 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)7 由于不論常數(shù)由于不論常數(shù)c 取何值取何值,)()(xfcxf 同一同一x處其導(dǎo)數(shù)等于處其導(dǎo)數(shù)等于f (x),各切線相互平行各切線相互平行.有積分曲線族有積分曲線族即即xcxfy )()(xfy xyo 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)8解解2x 故所求曲線方

5、程為故所求曲線方程為(3) 積分常數(shù)的確定積分常數(shù)的確定求通過點(diǎn)求通過點(diǎn) 且其切線斜率為且其切線斜率為2x曲線曲線.),6 , 2(例例 xxyd2xy2 的曲線的曲線族族為為有有c 2262 c62c 2xy 22 xyxyo 在求原函數(shù)的實(shí)際問題中在求原函數(shù)的實(shí)際問題中, 有時(shí)要從有時(shí)要從全部原函數(shù)中確定出所需要的具有某特性全部原函數(shù)中確定出所需要的具有某特性的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 這時(shí)應(yīng)根據(jù)這個(gè)特性確定這時(shí)應(yīng)根據(jù)這個(gè)特性確定常數(shù)常數(shù)c的值的值, 從而找出需要的原函數(shù)從而找出需要的原函數(shù). 22 xy 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)9.,0求路程函數(shù)求路程函數(shù)已知物體

6、運(yùn)動(dòng)速度已知物體運(yùn)動(dòng)速度vatv v tvatsd)(0,0時(shí)時(shí)若若 t.2102tvats 解解例例所以所以,0vat tvat0221 tsdd, 0 c則則, 0 s000c 其中其中c為任意常數(shù)為任意常數(shù).路程函數(shù)為路程函數(shù)為 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)10(原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).則它必有原函數(shù)則它必有原函數(shù).(4) 原函數(shù)存在問題原函數(shù)存在問題,)(bacxf 若若哪些函數(shù)有原函數(shù)哪些函數(shù)有原函數(shù)又如何求其原函數(shù)又如何求其原函數(shù)原函數(shù)是否必為連續(xù)函數(shù)原函數(shù)是否必為連續(xù)函數(shù) 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概

7、念與性質(zhì)11 xxgxfd)()(.d)(d)( xxgxxf證證 d)(d)(xxgxxf).()(xgxf 所以所以, 等式成立等式成立.(此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況)因?yàn)橐驗(yàn)?d)(d)(xxgxxf 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)二、不定積分的性質(zhì)二、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4.6 設(shè)設(shè)f (x)及及g(x)的的原函數(shù)存在原函數(shù)存在, 則則12 xxkfd)(.d)( xxfk性質(zhì)性質(zhì)4.6與與性質(zhì)性質(zhì)4.7稱為稱為 線性性質(zhì)線性性質(zhì). . 思考思考: k = 0, 等式是否成立等式是否成立?k是非零常數(shù)是非零常數(shù), 則則性

8、質(zhì)性質(zhì)4.7 設(shè)設(shè)f (x)的的原函數(shù)存在原函數(shù)存在, 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)13實(shí)例實(shí)例 x ,11cx 啟示啟示 能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式結(jié)論結(jié)論)1( xx d 求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式11 x積分公式積分公式.三、基本積分公式三、基本積分公式積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的, 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)14基基本本積積分分公公式式, )(d是常數(shù)是常數(shù)kxk xxd說明：說明：,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x cxxxlnd,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(1xx,|lnd cxxx簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為,lnd cxxx 4.3

9、不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)所以所以(1)(2)(3) )ln( x,)ln(d cxxxx1ckx ),1(d xxcx 11 ,|lncx 15 xxd112,arctancx xxd112,arcsincx xxdcos,sincx xxdsin,coscx xx2cosd xxdsec2,tancx xx2sind xxdcsc2,cotcx 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)(4)基基本本積積分分公公式式(5)(6)(7)(8)(9)16 xxxdtansec,seccx xxxdcotcsc,csccx xxde,ecx xaxd,lncaax xxdsh

10、,chcx xxdch,shcx 熟熟熟熟熟熟 記記記記記記 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)(10)基基本本積積分分公公式式(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17) xxdch12,thcx xxdsh12.cothcx 17例例 求積分求積分.d2xxx 解解xxxd2 xx d25 cx 1251252772x cxxx 1d1 出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分,稱為稱為利用利用不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)和和基本積分公式基本積分公式,可求可求由公式由公式直接積分法直接積分法.c 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)18例例 求

11、積分求積分解解.d)1213(22xxx xxxd)1213(22 xxd1132xarctan3 xarcsin2 .c xxd1122 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)19例例 求積分求積分解解.d)1(122xxxxx xxxxxd)1(122 xxxxxd)1()1(22 xxxd1112 xxd112 xarctanxxd1 xln.c 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)20 求積分求積分解解.d)1(21222xxxx xxxxd)1(21222 xxd12 x1 稱為稱為分項(xiàng)積分法分項(xiàng)積分法.xxxd)1(22 1 2x2xxxd112 分項(xiàng)積分法分

12、項(xiàng)積分法xarctan.c 性質(zhì)計(jì)算積分性質(zhì)計(jì)算積分,上兩例是將被積函數(shù)作恒等變形上兩例是將被積函數(shù)作恒等變形, 利用線性利用線性 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)21例例 求積分求積分解解.d2cos11 xx xxd2cos11 xd11 xxdcos1212.tan21cx 1cos22 x 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形行恒等變形, 才能使用基本積分表才能使用基本積分表. 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)22xxxdcossin122 解解 xxxdcossin122 xxdcos12xtan 例例 xxxdcossi

13、n22 xxdsin12xcot .c xx22cossin 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)23解解xxxyd)sin(sec2 xtan , 5)0( y, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxyxcos c 已知一曲線已知一曲線 y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)( x, f (x)處的處的例例切線斜率為切線斜率為,sinsec2xx 且此曲線與且此曲線與y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)為為(0,5), 求此曲線的方程求此曲線的方程.xxxysinsecdd2 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)樗运?4xxxd2cos1cos1

14、xxxdsin2cos12 xxxxd )csccotsin1(212 .)csccot(21cxx 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)25熟記熟記基本積分公式基本積分公式不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)不定積分的概念不定積分的概念 cxfxxf)(d)(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)四、小結(jié)不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)26應(yīng)先將絕對(duì)值符號(hào)化掉應(yīng)先將絕對(duì)值符號(hào)化掉, 0,e0,ee|xxxxx,),(上上連連續(xù)續(xù)由由于于這這個(gè)個(gè)分分段段函函數(shù)數(shù)在在 即將即將| x |化作分段化作分段思考題思考題xxde| 求求解解所以原函數(shù)存在所以原函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).函數(shù)函數(shù): 4.3 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與