高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)：：概率

1、2012高考真題分類匯編：概率1.【2012高考真題遼寧理10】在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為(A) (B) (C) (D) 【答案】C2.【2012高考真題湖北理8】如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓. 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是A BC D【答案】A3.【2012高考真題廣東理7】從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)種任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是A. B. C. D.【答案】D4.【2012高考真題福建理6】如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC

2、中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為A. B. C. D. 【答案】.5.【2012高考真題北京理2】設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（A） （B） （C） （D）【答案】D6.【2012高考真題上海理11】三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）?！敬鸢浮?.【2012高考真題新課標(biāo)理15】某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，

3、且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為 【答案】8.【2012高考江蘇6】（5分）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 【答案】。9.【2012高考真題四川理17】(本小題滿分12分) 某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。（）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（）設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望?！敬鸢浮勘绢}主要考查獨(dú)立事件的概率公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期

4、望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)據(jù)的分析處理能力和基本運(yùn)算能力.【解析】10【2012高考真題湖北理】（本小題滿分12分）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對(duì)工期的影響如下表：降水量X工期延誤天數(shù)02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9. 求：（）工期延誤天數(shù)的均值與方差； （）在降水量X至少是的條件下，工期延誤不超過6天的概率. 【答案】（）由已知條件和概率的加法公式有：，.所以的分布列為：026100.30.40.20.1 于是，；. 故工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為. （）由概率的加法公

5、式，又. 由條件概率，得.故在降水量X至少是mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是. 11.【2012高考江蘇25】（10分）設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望【答案】解：（1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱， 共有對(duì)相交棱。 。 （2）若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對(duì)， ，。 隨機(jī)變量的分布列是：01 其數(shù)學(xué)期望。 【考點(diǎn)】概率分布、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)?！窘馕觥浚?）求出兩條棱相交時(shí)相

6、交棱的對(duì)數(shù)，即可由概率公式求得概率。 （2）求出兩條棱平行且距離為的共有6對(duì)，即可求出，從而求出（兩條棱平行且距離為1和兩條棱異面），因此得到隨機(jī)變量的分布列，求出其數(shù)學(xué)期望。 12.【2012高考真題廣東理17】（本小題滿分13分）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：40,5050,6060,7070,8080,9090,100（1）求圖中x的值；（2）從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為，求得數(shù)學(xué)期望【答案】本題是在概率與統(tǒng)計(jì)的交匯處命題，考查了用樣本估計(jì)總體等統(tǒng)計(jì)知識(shí)以及離散型隨機(jī)變量的分布列及期

7、望，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，難度中等。【解析】13.【2012高考真題全國(guó)卷理19】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.（）求開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；（）表示開始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分，求的期望.【答案】14.【2012高考真題浙江理19】(本小題滿分14分)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取

8、出一個(gè)白球的2分，取出一個(gè)黑球的1分現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和()求X的分布列；()求X的數(shù)學(xué)期望E(X)【答案】本題主要考察分布列，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)。() X的可能取值有：3，4，5，6 ； ； 故，所求X的分布列為X3456P () 所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為：E(X)15.【2012高考真題重慶理17】（本小題滿分13分，（）小問5分，（）小問8分.）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（） 求

9、甲獲勝的概率；（）求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)的分布列與期望【答案】 16.【2012高考真題江西理29】（本題滿分12分）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V（如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)“立體”的體積V=0）。（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)，隨機(jī)變量的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望等. 高考中，概率解答題一般有兩大方向的考查.一、以頻率分

10、布直方圖為載體，考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中常見的數(shù)據(jù)特征：如平均數(shù)，中位數(shù)，頻數(shù)，頻率等或古典概型；二、以應(yīng)用題為載體，考查條件概率，獨(dú)立事件的概率，隨機(jī)變量的期望與方差等.來年需要注意第一種方向的考查.17.【2012高考真題湖南理17】本小題滿分12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時(shí)間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望

11、；（）若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率視為概率）【答案】（1）由已知,得所以該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所以收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 的分布為 X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為 .（）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”，為該顧客前面第位顧客的結(jié)算時(shí)間，則 .由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且的分布列都與X的分布列相同，所以 .故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.【解析】【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基

12、礎(chǔ)知識(shí)，考查分布列及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查運(yùn)算能力、分析問題能力.第一問中根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55知從而解得，計(jì)算每一個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，從而求得分布列和期望；第二問，通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.18.【2012高考真題安徽理17】（本小題滿分12分）某單位招聘面試，每次從試題庫隨機(jī)調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是類型試題，則使用后該試題回庫，并增補(bǔ)一道類試題和一道類型試題入庫，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束。試題庫中現(xiàn)共有道試題，其中有道類型試題和道類型試題，以表示兩

13、次調(diào)題工作完成后，試題庫中類試題的數(shù)量。（）求的概率；（）設(shè)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）?！敬鸢浮勘绢}考查基本事件概率、條件概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列，均值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想和應(yīng)用于創(chuàng)新意識(shí)。【解析】（I）表示兩次調(diào)題均為類型試題，概率為（）時(shí)，每次調(diào)用的是類型試題的概率為，隨機(jī)變量可取，。答：（）的概率為， （）求的均值為。19.【2012高考真題新課標(biāo)理18】（本小題滿分12分）某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函

14、數(shù)解析式. （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若花店一天購進(jìn)枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 得： （2）（i）可取， 的分布列為 （ii）購進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為 得：應(yīng)購進(jìn)17枝20.【2012高考真題山東理19】（19）（本小題滿分12分） 先在甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中

15、的概率為,每命中一次得2分，沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.（）求該射手恰好命中一次得的概率；（）求該射手的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】21.【2012高考真題福建理16】（本小題滿分13分）受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)書數(shù)據(jù)如下：將頻率視為概率，解答下列問題：（I）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(II)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛

16、甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X2的分布列；（III）該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說明理由.【答案】22.【2012高考真題北京理17】（本小題共13分）近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的風(fēng)分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物30

17、24030其他垃圾202060（）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；（）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤額概率；（）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為其中a0，=600。當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最大時(shí)，寫出的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)的值。（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）解：（1）由題意可知：。（2）由題意可知：。（3）由題意可知：，因此有當(dāng)，時(shí)，有23.【2012高考真題陜西理20】（本小題滿分13分）某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)。（1）估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；（