平面和直線方程

1、一、平面的方程平面的方程二、點(diǎn)到平面的距離二、點(diǎn)到平面的距離三、直線的方程三、直線的方程7.5 7.5 平面和直線的方程平面和直線的方程 四、線面間的夾角四、線面間的夾角* *五、點(diǎn)到直線與直線到直線的距離五、點(diǎn)到直線與直線到直線的距離* *六、平面束六、平面束 如果一非零向量垂直于一平面，這如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的向量就叫做該平面的法法(線線)向量向量.(垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量)已知平面已知平面 的法向量的法向量),(CBAn 一、平面的方程一、平面的方程xyzo0MMnnMM 000 nMM則平面上的任一點(diǎn)則平面上的任一點(diǎn)),(zyxM滿足幾何

2、條件滿足幾何條件代入向量的坐標(biāo)代入向量的坐標(biāo)1. 平面的點(diǎn)法式和一般式平面的點(diǎn)法式和一般式),(0000zyxM是平面是平面 上的一定點(diǎn)，上的一定點(diǎn)，0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上述方程，不在平面平面上的點(diǎn)都滿足上述方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上述方程，上述方程稱為平上的點(diǎn)都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形面的方程，平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量),(CBAn 已知點(diǎn)已知點(diǎn)).,(000zyx),(),(0000CBAzzyyxxnMM 解解1例例.)3 , 2, 1()0 , 3, 2(為為法法向

3、向量量的的平平面面方方程程且且以以求求過過點(diǎn)點(diǎn) nA例例2.2.求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)1M2M3M解解: :),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. . n解解由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般平面的一般(式式)方程方程法向量法向量).,(CBAn 結(jié)論：平面方程是三元一次方程，任意三元一次結(jié)論：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程的圖形是一平面方程的圖形是一平面.平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D

4、平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD 平面過平面過 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xOy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 DCzByAx平面平行于平面平行于 軸；軸；x設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 D由由平平面面過過點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA),2,1,4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解0131313121212111zzyyxxzzyy

5、xxzzyyxx過三點(diǎn)過三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為的平面方程為2. 平面的三點(diǎn)式和截距式平面的三點(diǎn)式和截距式平面的三點(diǎn)式方程設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程代入所設(shè)方程1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸上截距軸上截距, 0 DCzByAxxyzo解解外一點(diǎn)外一點(diǎn), ,求求),(0000zyxP0DzCyBxA例例7.7. 設(shè)設(shè)222101010)()()(C

6、BAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面是平面到平面的距離到平面的距離d. .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn 點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式二、點(diǎn)到平面的距離二、點(diǎn)到平面的距離確定空間直線的條件確定空間直線的條件 由兩個(gè)平面確定一條直線；由兩個(gè)平面確定一條直線； 由空間的兩點(diǎn)確定一條直線；由空間的兩點(diǎn)確定一條直線； 由空間的一點(diǎn)和一個(gè)方向來確定一條直線由空間的一點(diǎn)和一個(gè)方向來確定一條直線. .三、空間直線的方程三、空間直線的方程

7、xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般空間直線的一般(式式)方程方程L注：表示同一直線的一般方程不唯一注：表示同一直線的一般方程不唯一.1. 1. 直線的一般式直線的一般式xyzo方向向量的定義：方向向量的定義：sL0M M ,),(0000LzyxM 設(shè)設(shè)定定點(diǎn)點(diǎn),),(LzyxM sMM0/),(pnms ),(0000zzyyxxMM ),(),(000pnmtzzyyxx 則則2. 2. 直線的對稱式和參數(shù)式直線的對稱式和參數(shù)

8、式 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于一條已知直線一條已知直線 L ，向量，向量 稱稱為直線為直線 L 的的方向向量方向向量ss直線的對稱式方程直線的對稱式方程pzznyymxx000 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向向量的余弦稱為直線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)直線的參數(shù)(式式)方程方程消去參數(shù)消去參數(shù) t，有，有),(),(000pnmtzzyyxx (也稱為點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程)注：注：1. 表示同一直線的對稱式方程不唯一；表示同一直線的對稱式方程不唯一；2. 對稱式方程可轉(zhuǎn)化為一般方程對稱式方程可轉(zhuǎn)化為一般方程 ;3.

9、 理解為理解為:pzznyyxx0000 .,000pzznyyxx4. 任一條直線均可表示為對稱式方程任一條直線均可表示為對稱式方程.例例8 8 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線 . 0432, 01zyxzyx解解因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx解題思路解題思路: 先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.解解定義定義1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角兩平面法向量之間的夾角（通常取銳角）（通常取銳角）稱為兩平面的

10、夾角稱為兩平面的夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 1. 兩平面的夾角兩平面的夾角四、線面間的夾角四、線面間的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例1010 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224,

11、 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）稱為兩直線的夾角稱為兩直線的夾角.兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式2. 兩直線的夾角兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L),0,4

12、,1(1 s),1,0,0(2 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例11.11. 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的夾角解解:13411:1 zyxL 0202:2zxyxL解解LlM1M0定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 0.2 3. 3. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系：

13、 L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm sin),cos( ns解解 kji),(0000zyxM到直線的距離pzznyymxxL111:為點(diǎn)2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML* *五、點(diǎn)到直線與直線到直線的距離五、點(diǎn)到直線與直線到直線的距離1. 點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離212122)(ssssPPd 另法另法: 做一法向量做一法向量21ssn 過直線過直線L1 做平面做平面 , 則法向量為則法向量為21ssn 2L直線直線故平面故平面 ，點(diǎn)，點(diǎn)P2 到平面到平面 的距離就是的距離

14、就是 d .dssssppv212112)( 1s21PP2s1P2PL1L2n異面直線間的距離異面直線間的距離. 2.0422022:,0220121離離異異面面，并并求求其其間間最最短短距距：證證明明直直線線 zyxzyxLzyxzyxL例例證證.束束有平面的全體稱為平面有平面的全體稱為平面定義：通過定直線的所定義：通過定直線的所過直線00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全為120)()(, 1222211111 DzCyBxADzCyBxAL 的的平平面面束束為為則則過過直直線線* *六、平面束六

15、、平面束例例15.15. 求直線求直線 0101zyxzyx在平面在平面上的投影直線方程上的投影直線方程. .解解：0 zyx.432, 01,02121）的的平平面面方方程程，的的交交線線且且過過點(diǎn)點(diǎn)（與與求求通通過過：已已知知平平面面 zyxzyx解解：16例例內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 1. 空間直線方程空間直線方程一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 線與線的關(guān)系線與線的