發(fā)展數(shù)學(xué)思維提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1、發(fā)展數(shù)學(xué)思維提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)iimrcii771k“ >話j二*淋和hhk nw瞬h f很一亂zttil.r.i女觀i5?a-i甘肅省口銀市口銀區(qū)第十三小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂。李國峰 供圖數(shù)學(xué)思維深刻性品質(zhì)的差異集中體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異，教師在教學(xué)中培 養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性，實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引 導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，全面地思考問題，養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣。在數(shù)學(xué)教 學(xué)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)牛思維能力、提高思維水平、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)既是實(shí)施素質(zhì) 教育的目的2，又是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在知識(shí)的生長點(diǎn)引入，碰撞出數(shù)學(xué)思維的火花學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是知識(shí)不斷積累和能力不斷提高的

2、過程。知識(shí)是“生長”出來的, 新知識(shí)的學(xué)習(xí)是在原有基礎(chǔ)上的“老枝發(fā)新芽”，學(xué)生對新知識(shí)的理解是一個(gè) 由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知識(shí)體系之中的過程。因此，在課 堂教學(xué)過程中，教師要結(jié)合新i口知識(shí)的生長點(diǎn)來巧妙引入，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立 思考。當(dāng)學(xué)生通過自己的積極思考而得出結(jié)論時(shí)，那種喜悅是由衷的，獲得的成 就感也是非常強(qiáng)烈的，這種獨(dú)特的感受會(huì)促使學(xué)生不斷地利用自己已有的知識(shí) 去對新知識(shí)進(jìn)行探索和領(lǐng)悟，在一點(diǎn)點(diǎn)、一步步不斷思考的過程中，學(xué)生的思維 能力就會(huì)不斷攀升。很多學(xué)生的思維能力停留在具象思維的水平上，教師可以通過設(shè)置認(rèn)知沖突， 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)具彖思維的局限性，主動(dòng)學(xué)習(xí)抽彖思維的方法，從

3、而提升抽彖思維 的能力。如教學(xué)“抽屜原理”，先讓學(xué)生通過動(dòng)手畫一畫、寫一寫、擺一擺以及 教師課件演示得岀以下結(jié)論:把4個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一 個(gè)抽屜里至少放進(jìn)2個(gè)蘋果;把5木書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè) 抽屜里至少放進(jìn)3本書;把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜 里至少放進(jìn)3本書。讓學(xué)生用算式來表示分的過程。4 4-3=1-1 1+1=2 （本）5 4-2=2-1 2+1=3 （本）7 = 3二21 2+1=3 （本）教師啟發(fā):抽屜里書的本數(shù)有可能跟什么有關(guān)系?有怎樣的關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過思考會(huì) 認(rèn)為跟算式屮的余數(shù)與商有關(guān)系，得出“商+余數(shù)二抽屜里書的本數(shù)”這

4、個(gè)規(guī)律。 真是這樣嗎?老師再提供給大家兩個(gè)算式，求抽屜里書的本數(shù)是不是還可以利用 這個(gè)規(guī)律呢?為什么？54-3=121+2=3（本）114-4=232+3=5（本） 教師順著學(xué)生的思維，繼續(xù)追問，形成強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生知道求抽屜里 書的本數(shù)并不是把算式里的商與余數(shù)簡單相加就可以。而應(yīng)關(guān)注余數(shù)，當(dāng)余數(shù)比 1大時(shí)，應(yīng)將余數(shù)再分配即均分后再相加，m表示書的總數(shù)、n為抽屜數(shù)、a為商、 b為余數(shù)，依此規(guī)律，即mn=ab (為0<b<n的正整數(shù))實(shí)際上至少有一個(gè) 抽屜里的本數(shù)為(a+1)本。這樣就能使學(xué)生加深對所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，發(fā)展思維 的深刻性。因此，當(dāng)學(xué)生的抽象思維能力不足，不能用數(shù)學(xué)思

5、維來思考數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師 可以為學(xué)牛設(shè)置認(rèn)知沖突，讓學(xué)牛找到一種數(shù)學(xué)的思維方法，并能用這種方法 來解決數(shù)學(xué)問題。這樣，抓住知識(shí)的生長點(diǎn)，適切引入，學(xué)生就會(huì)發(fā)展思維能力, 對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更加深刻，在潛移默化中培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度和理性精神。寓有形的預(yù)設(shè)于動(dòng)態(tài)的教學(xué)中，搭建數(shù)學(xué)思維的橋梁蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說過：“教育的技巧并不在于能預(yù)見到課堂的所有細(xì)節(jié), 而是在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)牛不知不覺中作出相應(yīng)的變動(dòng)。”這 才是教學(xué)的理想境界。這就要求教師充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，努力做到:心中有預(yù) 設(shè)，做屮無預(yù)設(shè);寓有形的預(yù)設(shè)于動(dòng)態(tài)的教學(xué)屮，將教學(xué)預(yù)設(shè)真正融入師生互動(dòng) 的課堂;隨時(shí)把握課堂教學(xué)中閃動(dòng)的

6、亮點(diǎn)，把握促使課堂教學(xué)動(dòng)態(tài)生成的切入 點(diǎn)。課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷發(fā)展推進(jìn)的過程。教師如何用敏銳的目光去發(fā)現(xiàn)課 堂的“節(jié)外生枝”，如何發(fā)揮自己的教學(xué)機(jī)智，用智慧去開發(fā)這種鮮活的生成 資源，使教學(xué)活動(dòng)更有效？在教學(xué)“截一個(gè)幾何體”時(shí)，幾何體的截而形狀是一個(gè)難點(diǎn)。教師精心設(shè)計(jì)了問 題:一個(gè)正方體被一個(gè)平面所截，截面是什么圖形?課前要求學(xué)生準(zhǔn)備土豆和小 刀，引導(dǎo)學(xué)牛切正方體，讓學(xué)牛先截一個(gè)角，有的小組的學(xué)牛興奮地說“我截 出的截面是一個(gè)三角形”；有的小組的學(xué)生興奮地說“我截出的截面是一個(gè)等邊 三角形”；有的小組的學(xué)生興奮地說“我截出的截面是一個(gè)正方形” o教師讓學(xué) 生展示自己的截而，并說明他的截法

7、。有的小組的學(xué)生說：“怎么我們截不出 來？”有的同學(xué)馬上到他們的小組，說：“我來截給你們看?！痹谶@種“學(xué)生做、 學(xué)牛講、學(xué)牛聽”的熱烈氛圍中，每個(gè)學(xué)牛臉上都帶著喜悅和驚奇的表情。經(jīng)過一段吋間的動(dòng)手操作，學(xué)生展示自己的做法，截面有三角形、等腰三角形、 等邊三角形、四邊形、正方形、長方形、梯形、五邊形、六邊形等多種多樣的截 面。學(xué)生意猶未盡，還在動(dòng)手操作找截面。教師問：“能否得到七邊形的截面？” 各小組討論熱烈，有的學(xué)生說能，有的學(xué)生已經(jīng)開始動(dòng)手切。教師讓學(xué)生試著切 切看，最后學(xué)牛說怎么也截不出七邊形的截面。教師問：“正方體有幾個(gè)面？”學(xué) 生說：“六個(gè)面?！苯處熣f：“既然只有六個(gè)面，那就最多只能得

8、到六邊形，無法 得到七邊形?！蓖ㄟ^這節(jié)課，由學(xué)生自己動(dòng)手操作，生動(dòng)形象地在腦中形成了立方體的各種截 面形狀，整節(jié)課充滿了民主與和諧，學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)交流、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主動(dòng) 探討，滿足了學(xué)生探究的欲望，收到了意想不到的效果?！耙磺薪杂锌赡堋?，每一節(jié)課都是不可重復(fù)的激情與智慧的綜合生成過程。對 “預(yù)設(shè)”和“生成”的靈活處理能提升教師的素養(yǎng)，綻放智慧互動(dòng)的火花，進(jìn) 而促進(jìn)學(xué)生全而、持續(xù)、和諧地發(fā)展。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)及時(shí)捕捉和誘發(fā) 學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感，對于學(xué)生別出心裁的想法或違反常規(guī)的解答，甚至是標(biāo)新立異的構(gòu)思，哪怕只有一點(diǎn)點(diǎn)的新意，都應(yīng)及時(shí)給予肯定，并引導(dǎo)學(xué)生的 思維走向深入。在知識(shí)的疑難處

9、點(diǎn)撥，拓展數(shù)學(xué)思維的寬度課堂上，當(dāng)學(xué)生在知識(shí)的疑點(diǎn)和難點(diǎn)思維“卡殼”時(shí)，如果沒有教師的適時(shí)點(diǎn) 撥，他們會(huì)茫然不知所措，要么停止思考，要么“四處出擊、亂碰亂撞”，往往 一無所獲。教師應(yīng)在遵循學(xué)生思維規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過點(diǎn)撥思維方向及思考方法, 幫助學(xué)生拓寬思維路徑，探尋更寬闊的視野，真正發(fā)揮“四兩撥千斤”的功效。比如，在學(xué)習(xí)“等差數(shù)列求和”吋，先讓學(xué)生計(jì)算著名的“高斯問題”，也就 是“1+2+3+4+100”的和，如果學(xué)生依然從左到右依次計(jì)算，說明學(xué)生沒 有好的思維經(jīng)驗(yàn)和思維方向。指導(dǎo)學(xué)生做此題時(shí)，教師應(yīng)該將本題目與學(xué)生以往 的思維經(jīng)驗(yàn)做一個(gè)鏈接，怎么做呢?可以作如下嘗試： 教師對學(xué)牛說：“這道題

10、算式很長，雖然長，但以前有一位數(shù)學(xué)家卻在一分鐘之 內(nèi)算出了答案，當(dāng)吋他同班的同學(xué)大多數(shù)一個(gè)一個(gè)從左往右加，算了很長吋間 也沒算出來。這到底是什么原因呢?我們來看看這個(gè)算式，特殊嗎?特殊在哪里? 你有沒有簡單的方法做出來呢？”教師這樣說，其實(shí)是在通過暗示，鏈接學(xué)生以 往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)“看特殊，想簡單”。學(xué)牛會(huì)想：“能不能像原來一樣，把每個(gè)加數(shù)變得同樣多，用簡單的乘法來計(jì)算 呢?怎樣才能變得同樣多呢？”這樣一來，學(xué)生有了思維的方向，雖然可能一下 子想不到怎么變得同樣多，但朝著這個(gè)方向思考，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)首項(xiàng)與尾項(xiàng)z和 等于第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)之和，從而用（首項(xiàng)+尾項(xiàng)）x項(xiàng)數(shù)2的方式求和， 或者用其他方法，比

11、如找中間數(shù)的方法，將它都變?yōu)榕c中間數(shù)相同的數(shù)，直接 用中間數(shù)x項(xiàng)數(shù)來求和。利用此方法學(xué)?？梢院芸焱茖?dǎo)出計(jì)算等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式,s =22沁&即r從而快速解決問題。這樣教學(xué)，點(diǎn)亮了學(xué)生的智慧之燈，撥動(dòng)了學(xué)生的思維之弦，打開了學(xué)生思維 的閘門，能讓學(xué)牛覺得自己以前積累的經(jīng)驗(yàn)是有用的，慢慢地，他們的思維經(jīng) 驗(yàn)會(huì)變得越來越豐富。給思維插上想象的翅膀，提升數(shù)學(xué)思維的高度想象力是思維探索的翅膀，數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的想象力。數(shù)學(xué)想象一般有以下 幾個(gè)基木要素:第一，要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和豐富的經(jīng)驗(yàn)支持。第二，要有能迅 速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力。第三，要有執(zhí)著追求的情感。 因此，培養(yǎng)

12、學(xué)生的想彖力，首先要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。其次，根據(jù)教材 潛在的因素，創(chuàng)設(shè)想象情境，提供想象材料，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象。某種程度 上，假設(shè)就是一種想象，而假設(shè)法在數(shù)學(xué)訓(xùn)練中的運(yùn)用可以使解題思路更為清 晰。假設(shè)法是根據(jù)題目中的己知條件或問題作出某種假設(shè)，然后進(jìn)行推算，對數(shù) 量上出現(xiàn)的矛盾適當(dāng)調(diào)整，以求出原問題的答案。常用的假設(shè)法有條件假設(shè)、問 題假設(shè)與情境假設(shè)等。例如，有一道題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾 何?一般的解題思路是:假設(shè)35只全是雞，一共有70 (35x2)條腿，與實(shí)際情 況相比，少了 24 (94-70)條腿。為什么會(huì)少呢？因?yàn)榧僭O(shè)以后，就有若干只兔

13、“變”成了雞，每有1只兔“變”成雞，就少掉2 (4-2)條腿，一共少了 24條 腿，說明共有兔子(94-35x2) 4- (4-2)二12 (只)。教師啟發(fā)學(xué)生：“誰還有不同的方法？”于是，有學(xué)生打破思維常規(guī)，借助直觀 想象解答這道題。解答思路是這樣的:假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每 只雞就變成了 “獨(dú)腳雞”,每只兔就變成了 “雙腳兔”。這樣雞和兔的腳的總數(shù) 就由94只變成了 47只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多l(xiāng)o 因此，腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù),即47-35=12 (只)。 顯然，雞的只數(shù)就是35-12=23 (只)了。這完全是想彖的功勞!借助于想彖，原 來比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非常容易算的題目了。或許有的學(xué)生會(huì)說：“這種神奇的數(shù)學(xué)想象簡直高不可攀，如果換了我，可實(shí)在 想象不出來?！逼鋵?shí)，不是學(xué)生想象不出來，而是學(xué)生不習(xí)慣想象或者想象還不 夠大膽。所以，在教學(xué)中，教師要不斷訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的能力，千萬不能讓學(xué)生 低估了自己的潛力。培