基于Mathematica的《數(shù)理方程》可視化教學改革探索

1、基于mathematica的數(shù)理方程可視 化教學改革探索許韜郭啟龍戴蘋慧孟得新中國石油大學（北京）理學院摘要:數(shù)理方程素來具有知識點綜合性強、數(shù)學推導復雜煩瑣、學生普遍缺少學習 興趣和耐心等特點。以mathematica符號計算平臺為慕礎，我們針對弦的振動過 程、桿的熱量傳導、溫度（電勢）的穩(wěn)恒分布、行波的傳播以及特殊函數(shù)的性質 等教學環(huán)節(jié)設計了一定的圖形和動畫，將難以描繪的物理現(xiàn)象和抽象的特殊函 數(shù)向學生進行可視化演示，從而在一定程度上激發(fā)了學生的學習興趣，提高了 課堂教學效果。關鍵詞：數(shù)理方程； 可視化教學;mathematica 軟件;作者簡介：許韜（1983-）,男，博-上，副教授，研

2、究方向：數(shù)學物理方程;作者簡介：郭啟龍(1984-),男,博士,作者簡介：戴蘋慧(1986-),女,博士,作者簡介：孟得新(1984-),男,博士,收稿日期:2017-09-16基金：中國石油大學（北京）教改項目“ 學專業(yè)常微分方程核心課程建設”講師，研究方向：常微分方程；講師，研究方向：數(shù)學物理方程；講師，研究方向：數(shù)學物理方程。數(shù)理方程可視化教學改革”；“數(shù)visual teaching reform onmathematical physics equation based on mathematicaxu tao guo qi-long dai qian-hui meng de-xin

3、college ofscience, china university ofpetroleum (beijing);abstract：the z，mathematical physics equation" is a highly comprehensive course and involves many complex and tedious calculations, so it often makes the students lack of interest and patience in studying. based on the symbolic computatio

4、n platform of mathematica, we make pictures and animations in many tc ach ing units like the string vibra tion phcnomcno n, hea t con due tion in a rod, stationary distribution of temperature (or potential), travelling wave propagation, properties of special functions, etc. these materials makeit po

5、ssible to visually demonstrate some untraceable physical phenomena and abstract special functions, so that the students' interest is stimulated and the teaching effect is also improved.keyword：mathematicnl physics equation; visual teaching methods; mathematicn software;received： 2017-09-16一、數(shù)理方程

6、的課程特點及教學中存在的問題數(shù)理方程是指在物理學、力學、工程和技術等領域提出的經(jīng)過一定簡化后能夠反 映客觀世界物理量之間關系的微分方程。它是一門數(shù)學、物理知識高度綜合的課 程，需要高等數(shù)學、線性代數(shù)、常'微分方程、復變函數(shù)與積分變 換和大學物理等課程的諸多知識點作為基礎。首先，數(shù)理方程所涉及三類 模型的建立都是以物理學中的基本原理或實驗定律為基礎的。其中，部分原理和 定律是學生在中學或大學物理中學習過的，而另一部分則是學生完全沒有接觸 過的，如熱傳導方程的建立需要利用傅里葉實驗定律。其次，求解數(shù)理方程定解 問題的各種解析方法是本課程講授的主要內(nèi)容，這些求解方法都需要完成大量 微分和積分

7、運算，其顯著特點為計算和推導煩瑣、過程和步驟冗長、數(shù)學知識點 多且綜合程度高。以齊次方程在齊次邊界下的分離變量法為例，其求解過程涉及 變量分離、常微分方程本征值問題求解、線性疊加原理以及傅里葉級數(shù)展開四個 主要知識點。最后，數(shù)理方程具有十分深刻而廣泛的物理背景，其解可以準確地 描述一些實際物理過程或現(xiàn)象。例如:利用分離變量法求解所得本征值和本征函 數(shù)可分別表示駐波的頻率和波形。數(shù)理方程不僅能夠很好地鍛煉學生綜合應用數(shù)學物理知識的能力，而且在一 定程度上還可以提高他們的理論分析、模型建立和解析計算能力。然而，在實際 教學中該課程卻被公認為“學生難學、老師難教、考試難過” illo從學生角度 講，

8、數(shù)理方程涉及數(shù)學知識點眾多、理論分析復雜、計算量大、過程冗長而煩瑣, 這使得不少學生認為該課程沉悶乏味，很快便失去了繼續(xù)學習下去的興趣和耐 心。不僅如此，大量的數(shù)學推導和計算也讓學生無暇顧及數(shù)理方程的物理背景和 實際應用，從而難以將數(shù)學計算結果與實際物理過程和現(xiàn)象進行聯(lián)系。從教師角 度講，受課程知識體系結構和傳統(tǒng)教學理念的束縛，老師們習慣將該課程當作 一門數(shù)學基礎課進行講授，一味強調(diào)理論的完整性、步驟的連貫性，滿堂課充斥 著理論分析和數(shù)學計算，極大地降低了課堂的趣味性和生動性。因此，如何激發(fā) 學生對數(shù)理方程的學習興趣和提高該課程的教學效果一直是教師們關心的一個 問題。近年來，已發(fā)表的相關教學改

9、革研究包括:利用mat lab進行數(shù)值仿真的可 視化教學改革2, 3、體現(xiàn)專業(yè)需求和特色的教學改革4, 5以及實驗教學和數(shù)值 仿真相結合的教學改革回等等。二、mathematica軟件及可視化教學改革探索隨著數(shù)學和計算機科學的發(fā)展，符號計算（亦稱“計算機代數(shù)”）作為一門新 興的交叉學科逐漸形成并迅速發(fā)展£21。由美國物理學家stephen wolfram發(fā)明 的mathematica是一款以符號計算功能見長的數(shù)學軟件，能夠完成矩陣和張量 的計算、初等函數(shù)的化簡、定（不定）積分的計算、函數(shù)的幕級數(shù)展開、代數(shù)方 程和微分方程組求解等復雜的符號運算，并口具有強人的二維和三維繪圖功能。 ma

10、thematica用戶界面友好，操作簡單、易學、易用，這是因為它具有像計算器 一樣簡單的交互式操作方式，計算是在用戶和軟件相互交換和傳遞信息數(shù)據(jù)過 程中完成的。經(jīng)歷近三十年的發(fā)展mathematica在數(shù)學、物理、工程技術和計 算機方面的專家學者中得到了廣泛應用，成為理論研究的重要實驗工具。不僅如 此，她還被用于計算機輔助教學，目前已成為國內(nèi)很多高校數(shù)學類課程有力的 輔助工具。教師可通過該軟件直觀形彖地向學生解釋抽彖的數(shù)學概念和幾何含義, 而學生則可利用mathematica “輕松做數(shù)學題”,從而提高學生運用數(shù)學軟件 解決問題的能力。數(shù)理方程求解涉及多元函數(shù)微積分、常微分方程求解以及傅里葉級

11、數(shù)展開等復雜 的計算，這些運算大部分都能夠在符號計算系統(tǒng)上得以完成;另外， mathematica強大的繪圖功能使得對數(shù)理方程的精確解析解進行可視化演示成 為可能。因此，將mathematica融入數(shù)理方程的可視化教學是可行且十分有 必要的。為了改變傳統(tǒng)的滿堂公式推導和求解計算的教學方式，我們制作出一套 含有豐富圖形和動畫的電子課件，尤其是將一些難以描繪的物理現(xiàn)象和抽象的 特殊函數(shù)進行可視化演示，具體的改革內(nèi)容如下：1利用分離變量法求解數(shù)理方程在不同初邊值條件下的定解問題是一個極其重 要的教學內(nèi)容，但是如何將分離變量解與實際物理過程和現(xiàn)象相聯(lián)系是教學中 容易被忽略的環(huán)節(jié)。我們通過二維（三維）圖

12、形和動畫演示，讓學生清楚地看到 在固定端、自由端和彈性支撐端三種情況下的弦振動過程，在恒溫端、絕熱端和 熱交換端三種情況下一維有界桿的熱量傳導過程，以及在圓盤、圓環(huán)或扇形區(qū)域 溫度（電勢）的穩(wěn)恒分布。2.行波法是求解雙曲型方程的常見方法，但是如何理解行波解的物理意義卻讓 學牛倍感頭疼。為此，我們利用二維動畫讓學生觀察到行波的傳播過程，同時通 過初值條件的改變向學生演示初始擾動對于行波傳播的影響。另外，我們還將理 論分析和圖形演示相結合，形彖地解釋如何根據(jù)達朗貝爾公式理解依賴區(qū)間、決 定區(qū)域和影響區(qū)域等概念。3在利用分離變量法求解球（柱）坐標系下三類數(shù)理方程時還會涉及貝塞爾函 數(shù)和勒讓德函數(shù)。不

13、同于常見的初等函數(shù)，這兩類函數(shù)是用級數(shù)形式表示的特殊 函數(shù)。利用mathematics的函數(shù)繪圖功能，我們可清楚地向學生展示這兩類函數(shù) 的零點、周期性和極值分布等特征，從而使學生建立對這兩類特殊函數(shù)直觀形象 的認識。三、基于mathematica的數(shù)理方程可視化教學案例1. 一端固定一端自由的弦振動過程演示。對于如下波動方程定解問題：圖1波動方程在一端為自由端下的弦振動過程下載原圖通過圖1的演示，學生能夠清晰地觀察到在一端固定而另一端自由情況下弦的 自由振動過程。進一步，我們可以分別作出ul, u2, u3的動態(tài)演示圖, 使學生理解為什么分離變量解是由一系列駐波疊加而成。此外，我們還能選取不

14、同的a值作出弦振動的動態(tài)演示圖，從而讓學生感受參數(shù)a與波傳播的速度有 關。2.兩端固定的弦受迫振動過程演示。對于如下非齊次波動方程定解問題:圖2波動方程在兩端固定時的受迫振動過程下載原圖由圖2可看出，兩端固定的弦雖然沒有初始位移和速度，但在受迫力作用下振動幅度會越來越大。這是因為外部受迫力的頻率正好與兩端固定的齊次波 動方程的本征值一致，從而使得弦產(chǎn)生了共振。四、結束語我們利用mathematica強大的符號計算和繪圖功能，將難以描繪的物理現(xiàn)象和 抽象的特殊函數(shù)以圖形或動畫形式演示，使得學生能夠直觀形象地理解數(shù)學表 達式，并且與具體物理現(xiàn)象和過程建立聯(lián)系。這既鍛煉了學生的物理思維，又激 發(fā)了他

15、們的學習興趣。然而，僅僅在電子課件中增設可視化教學環(huán)節(jié)對于顯著改 善數(shù)理方程的教學效果還是不夠的。我們下一步的教學改革思路有如下兩方 面：(1)增加mathematica的上機教學環(huán)節(jié)，向學生講授符號計算和圖形繪制的 常用指令，讓數(shù)學軟件成為學生學習數(shù)理方程的“演草紙” ；(2)增加課程 大作業(yè)環(huán)節(jié)，設計難度適當?shù)木C合性題目，要求學生利用本門課程所學知識并 借助mathematica完成數(shù)學計算和圖形分析，以提高綜合運用數(shù)學、物理和計算 機知識解決問題的能力。參考文獻1 王止斌，毛巍威，楊志紅“數(shù)理方程”課程教學改革探索j宜春學院學 報：自然科學，2006, 28 (6) :51-522 彭芳麟數(shù)學物理方程的matlab解法與可視化m北京:清華大學出版社， 2004.3 郭云均基于mat lab的數(shù)學物理方法可視化教學