2022年常見不等式通用解法

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載常見不等式通用解法總結(jié) 一、基礎(chǔ)的一元二次不等式，可化為類似一元二次不等式的不等式基礎(chǔ)一元二次不等式如 2x2x60 ，2x2x10 ，對于這樣能夠直接配方或者因式分解的基礎(chǔ)一元二次不等式，重點(diǎn)關(guān)注 解區(qū)間的“外形” ；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，不等號為小于（或小于等于號）時，解區(qū)間為兩根的中間；22 xx60 的解為 3 ,22當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，不等號為大于（或大于等于號）時，解區(qū)間為兩根的兩邊；2x2x10 的解為 ,1212,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0 時，化成二次項(xiàng)系數(shù)大于0 的情形考慮；可化為類似一元二次不等式的不等式（換元）如 x 1xx2392 ，令 t3 ，原不等式就變?yōu)?

2、tx 的范疇3t20 ，再算出 t 的范疇，進(jìn)而算出又如 xax43222，令 tx，再對 a 進(jìn)行分類爭論來確定不等式的解集含參數(shù)的一元二次不等式解法步驟總結(jié)：序號步驟第一判定二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，為 0 就1化為一元一次不等式，再分類爭論二次項(xiàng)系數(shù)非 0，將其化為正的，爭論2 判別式的正負(fù)性，從而確定不等式的解集如可以直接看出兩根，或二次式可以因3 式分解，就無需爭論判別式，直接依據(jù)不同的參數(shù)值比較兩根大小如不等式 x24 綜上，寫出解集2ax10 ，第一發(fā)覺二次項(xiàng)系數(shù)大于0，而且此不等式無法直接看出兩根，所以，爭論a4 的正負(fù)性即可；此不等式的解集為0, r0, xr | xa 2aa24

3、aa240,222又如不等式 x2a2a) xa 30 ，發(fā)覺其可以通過因式分解化為xa xa 20 ，所以只需要判定a 和 a 的大小即可；2a0 or a1, xr| xa此不等式的解集為0a1, a a,2a0 or a1, aa ,2又如不等式ax2 a1) x40 ， 留意：有些同學(xué)發(fā)覺其可以因式分解，就直接寫成 ax2 x2) 0 ，然后開頭判定兩根2 和 2 的大小關(guān)系，這樣做是有問題的；a事實(shí)上， 這個題目中并沒有說此不等式肯定是一元二次不等式，所以參數(shù) a 是有可能為0 的；爭論完 a0 的情形再爭論 a0 和 a0 的情形；所以此不等式的解集應(yīng)當(dāng)是：a0,22a0,2aa1

4、, 2 2,aa1, xr | x20a1,2 2 ,a留意， a0 和 a0 時解區(qū)間的狀況不同，一種為中間，一種為兩邊；二、數(shù)軸標(biāo)根法（又名穿針引線法）解不等式這種問題的一般形式是 xa1 xa2 xa3 . xan 0 （或 , ,）步驟：將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)式，一段為0，另一端為一次因式的乘積（留意！系數(shù)為正）或二次不行約因式 （二次項(xiàng)系數(shù)為正） ；畫出數(shù)軸如下，并從最右端上方起，用曲線自右向左一次由各根穿過數(shù)軸；記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，依據(jù)不等式的符號寫出解集；例如，求不等式 x ,12,34,1x2 x3x40 的解集，畫出圖如下，發(fā)覺解集為21o 1122334456為什么數(shù)軸標(biāo)根

5、法是正確的呢？對于不等式x1x2 x3 x40來說，要滿意四項(xiàng)相乘為正，說明四項(xiàng)均正，解集為4, 兩正兩負(fù)，只能是 x1, x2 正， x3, x4 負(fù)，此時解集為2,3 四項(xiàng)均負(fù)，解集為,1 ；綜上，解集為這三種情形的并集；當(dāng)不等式左側(cè)有奇數(shù)項(xiàng)的時候同理；由此可知，遇到奇數(shù)個一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的情形，假如不把系數(shù)化為正的，結(jié)果肯定是錯誤的；留意，這種方法要敏捷使用，如不等式為 x12 x2 x3 x40 ，使用數(shù)軸標(biāo)根法得到的解集明顯和上述不一樣，由于2x1 是偶次項(xiàng)，必定非負(fù)，所以在“穿針引線”時，可以忽視，或者可以記住口訣“奇穿偶不穿”；x12 x2 x3 x40 的示意圖見下；0.5o0.

6、511.522.533.544.5三、解分式不等式分式不等式的解題思路，前面講了一些不等式的求解，都是講不等式的一邊化為0，另一邊為含 x 的多項(xiàng)式； 把一個分式不等式經(jīng)過移項(xiàng)和通分處理，最終總能化為f x0（或g x, ,的形式），此時解 f x g x0 就可以解出原不等式的解集；特殊地，如要解f x0 ，就解gxf x g x0 即可；gx02例如2 x xx81，移項(xiàng)化簡得6x3x22xx20 ，使用穿針引線法得到解集為6 x | x2或1x2或x3 ，肯定要留意 分母不為零，而分子可以為零；例：一道比較復(fù)雜的題，求a x x11a21) 的解集，現(xiàn)寫出此題的完整解題過程；解：原不等式

7、通過移項(xiàng)通分可化為a1) x ax22) 0 ，由于 a1，所以可以進(jìn)一步化a1xa為ax22 1 0 ，兩根為 aa2 和 2 ；1當(dāng) a1時，解集為兩根的兩邊， 明顯有 aa22 ，所以此時解集為1, aa2 2,1當(dāng) a1時，解集為兩根中間，此時必需依據(jù) a 的取值判定兩根范疇；當(dāng) 0a1 時， aa22 ，此時解集為12, a2 a1當(dāng) a當(dāng) a0 時， aa0 時， aa22 ，此時解集為122 ，此時解集為 a1 a2 ,21至此， a 的全部值都爭論完畢，所以這道題爭論到這樣就終止了當(dāng)然，假如這道題不給a1的限制條件，只需要再爭論一下a1時的解集情形即可；補(bǔ)充內(nèi)容：一類經(jīng)典但易錯

8、的分式不等式問題求 11 的解集x求 11 的解集x求 11的解集x求 11 的解集x求 31 x2 的解集解答： 0,1 ,01, 1,0 ,10, ,意的區(qū)分四、肯定值不等式對于含有肯定值的不等式，解題思想為直接脫去肯定值符號11, ，注32f xg xg xf xg x ，f xg xf xgx或f xgx構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合在不等式的一端有多個肯定值時，使用零點(diǎn)分段法分類爭論 （ 分類爭論思想隨處可見）平方法（不等式兩邊都是非負(fù)時才能用，慎用）例：圖形法某經(jīng)典問題，解不等式11a ，先畫出xf x11x 的圖像如下，然后分類爭論 a 的取值，通過觀看1f x = 1xgx = 1yf x

9、 和 ya 的圖像，來確定不等式的解集情形；4.543.532.521.510.56543211234560.511.5當(dāng) a0 時，yf x2的圖像在 ya 的圖像上方，除了點(diǎn)1,1，此時明顯不等式無解當(dāng) a1 時，yf x的圖像與 ya 的圖像交點(diǎn)為1,12，此時的解集為1,2當(dāng) 0a1 時，yf x的圖像與 ya 的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,1，此時解集為1a 1a1 1 a , 1 1 a 當(dāng) a1 時，yf x的圖像與 ya 的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,1，此時解集為1a 1a,1,1,1a1a當(dāng)然此題使用f xg xgxf xg x也可以做， 化成 a11xa ，只是在爭論的時候需要細(xì)心，考慮

10、到a 的全部取值；肯定值不等式的零點(diǎn)分段法，以及特殊的做題技巧例如 x1x25 ，發(fā)覺不等號左邊有兩個肯定值，所以應(yīng)當(dāng)依據(jù)兩個不同的零點(diǎn)分段爭論當(dāng) x1時，原不等式化為2x15，解得 x2當(dāng) 2x1時，原不等式化為 35 ，明顯無解當(dāng) x2 時，原不等式化為12x5 ，解得 x3綜上，原不等式的解集為三種情形下的并集（留意，為什么是并集而不是交集？），,32,技巧： 可以將肯定值看成距離， 也就是將 x1 看成數(shù)軸上點(diǎn)x 到點(diǎn) 1 的距離， 將 x2看成 x 到-2 的距離，如畫出數(shù)軸，發(fā)覺位于區(qū)間2,1 的點(diǎn)（綠色點(diǎn)）到區(qū)間端點(diǎn)的距離之和為 3，位于區(qū)間 2,1 之外的點(diǎn)到區(qū)間端點(diǎn)的距離之和大于3，特殊地，在 2 處和 -3 處距離之和為 5，所以令 x 連續(xù)遠(yuǎn)離區(qū)間 2,1 ，發(fā)覺距離之和大于5；2-21也就是說 x1x2 的取值范疇是 3,同理，遇到減號的情形，例如x3x1 ，發(fā)覺其取值范疇是4,4此技巧常用于填空題，既可以求不等式解集，又可以求參數(shù)的范疇；例 1：如存在實(shí)數(shù)x 使得不等式 x1xa1成立，就 a 的取值范疇是？（答案2,0 ）例 2：不等式 x2五、無理不等式x12 的解集是？