點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用

1、 明特教育 Mentor Education點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用(內(nèi)部資料)高考使用范圍：1、以定點為中點的弦所在直線的方程 2、以動點為中點的弦，中點的軌跡方程3、圓錐曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題定義：若設(shè)直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。定理 在橢圓（0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則 證明：設(shè)M、N兩點的坐標分別為、，則有，得又則同理可證，在橢圓（0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩

2、點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.一、 以定點為中點的弦所在直線的方程（5分鐘完成）例1、過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點為、為的中點 又、兩點在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。例2、已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。二、 過定點的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點，求點的坐標。解：設(shè)弦端點、，弦的中點，則 ， 又 ，兩式相減得即 ，即點的坐標為。三、 求與中

3、點弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，求橢圓的方程。高考文科試題解析分類匯編：圓錐曲線1.設(shè)是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 2.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 4.橢圓的中心在原點，焦距為，一條準線為，則該橢圓的方程為（A） （B） （C） （D）5.已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，則（A） （B） （C） （D）二 、填空題13.橢圓為定值，且的的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是_。 15.【2012高

4、考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 18.【2012高考安徽文14】過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，若，則=_。三、解答題20. 【2012高考天津19】（本小題滿分14分）已知橢圓x2a2+y2b2（a>b>0）,點P（a5a,22a）在橢圓上。（I）求橢圓的離心率。21.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；答案1.設(shè)是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 【答案】C【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)

5、形結(jié)合思想，是簡單題.【解析】是底角為的等腰三角形，=，=，故選C.2.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 【答案】C【命題意圖】本題主要考查拋物線的準線、直線與雙曲線的位置關(guān)系，是簡單題.【解析】由題設(shè)知拋物線的準線為：，設(shè)等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，=，=，解得=2，的實軸長為4，故選C.4.橢圓的中心在原點，焦距為，一條準線為，則該橢圓的方程為（A） （B） （C） （D） 【答案】C【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質(zhì)的運用。通過準線方程確定焦點位置，然后借助于焦距和準線求解參數(shù)，從而得到橢圓的方程?！窘馕觥恳?/p>

6、為，由一條準線方程為可得該橢圓的焦點在軸上縣，所以。故選答案C5.已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，則（A） （B） （C） （D） 【答案】C【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質(zhì)的運用，以及余弦定理的運用。首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可?！窘馕觥拷猓河深}意可知，設(shè)，則，故，利用余弦定理可得。13.橢圓為定值，且的的左焦點為，直線與橢圓相交于點、，的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是_。 【答案】，解析根據(jù)橢圓定義知：4a=12, 得a=3 , 又點評本題考查對橢圓概念的掌握程度.突出展現(xiàn)高考前的復(fù)習(xí)要回歸課本的新課標理念.【點評】解題時要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實現(xiàn)差積和的轉(zhuǎn)化。15.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 【答案】2?！究键c】雙曲線的性質(zhì)?！窘馕觥坑傻?。 ，即，解得。18.【2012高考安徽文14】過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，若，則=_?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)及；則點到準線的距離為得： 又三、解答題20. 【2012高考天津19】（本小題滿分14分）已知橢圓x2a2+y2b2（a>b>0）,點P（a5a,22a）在橢圓上。（I）求橢圓的離心率。【解析】() 點在橢圓上 21.【2012高考江蘇19】（