小學(xué)數(shù)學(xué)論文：例談圖形與幾何教學(xué)中空間觀念的培養(yǎng)

1、把握價(jià)值取向發(fā)展空間觀念例談圖形與幾何教學(xué)中空間觀念的培養(yǎng)摘 要空間觀念一直是課標(biāo)提出的核心概念之一。小學(xué)圖形與幾何教學(xué)的課程核心目標(biāo)在于， 積累豐富的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、形象思維和初步的推理意識(shí)?？梢哉f，空間觀念的培養(yǎng) 始終貫穿于圖形與幾何的教學(xué)。然而，在實(shí)際教學(xué)中老師往往重視學(xué)生掌握有關(guān)圖形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、 形成基本技能，而忽視發(fā)展學(xué)生的空間觀念，偏離了圖形與幾何教學(xué)的核心價(jià)值。關(guān)鍵詞空間觀念、表象、幾何建模空間觀念是指物體的形狀、大小、位置、方向、距離等形象在人腦小的表象。其主要表現(xiàn)為：能由形 狀簡單的實(shí)物想象出兒何圖形，由兒何圖形想彖出實(shí)物的形狀，進(jìn)行兒何體與其三視圖、

2、展開圖z間的轉(zhuǎn) 化；能根據(jù)條件作出立體模型或畫出圖形。小學(xué)階段是學(xué)生空間觀念發(fā)展的初級(jí)階段，是積累豐富的感性 認(rèn)識(shí)的重要時(shí)期。當(dāng)前，小學(xué)圖形與兒何教學(xué)，其基本定位在于操作兒何、直觀兒何。這既是小學(xué)生年齡特征所決定的, 也是兒何課程改革進(jìn)步的必然。其實(shí)，與數(shù)與代數(shù)相比，圖形與兒何的課程更形彖、具體，富有操作性。 因此，在小學(xué)圖形與兒何課程目標(biāo)的表述等方面，較多地使用了 “經(jīng)歷”、“探索”、“體驗(yàn)”等過程性目標(biāo) 動(dòng)詞；同時(shí)，圖形與兒何課程的指向也不僅僅停留在“兒何”目標(biāo)和價(jià)值上，而是放眼于小學(xué)生數(shù)學(xué)思維 水平的整體提高，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想的滲透，還應(yīng)涵蓋培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。在基于小學(xué)生

3、認(rèn)知水平之上的兒何活動(dòng)中，這些目標(biāo)完全可以實(shí)現(xiàn)。本文試求以長方體和正方體的體積（人教版五 下）一課為例，從空間觀念表現(xiàn)的“想彖”、“分解與分析”、“描述和思考”、“作出和畫出”四個(gè)層次及 兒何建模例談學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。一、“想象”長方體通過對(duì)長方體“三視圖”的剖析，形成豐富表象想象是指由實(shí)物的形狀想象出兒何圖形，由兒何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行兒何體與其三視圖和展 開圖之間的轉(zhuǎn)化。這種“想彖”是在“表象”基礎(chǔ)上經(jīng)過概括、加工形成的，反映的是兒何形態(tài)，豐富的 表象資源是學(xué)生空間觀念培養(yǎng)的前提和基礎(chǔ)。學(xué)生從認(rèn)識(shí)平面圖形到立體圖形，相對(duì)是比較困難的，原因 是學(xué)生在辨認(rèn)立體圖形時(shí)，是在“平面”上研究

4、“立體”，難于使學(xué)生形成直觀的空間形象。學(xué)生從不同 角度觀察長方體，其觀察到的立體圖形是不同的，然而，由于觀察角度引起表象的變化，并不是長方體體 積大小的本質(zhì)屬性。那么，該如何突破從“二維”到“三維”的飛躍，剝離由于觀察角度引起的“形狀變 化” ？課伊始，我們就力圖去除這些非本質(zhì)屬性，為研究、探討長方體體積公式做好鋪墊。k教學(xué)片段11.出示：n棱長1厘米的正方體的體積是1立方厘米°（圖1） （圖2）（圖3）（圖4）（圖5）2. 觀察圖1的體積是多少？設(shè)問：有什么好方法，一目了然體積是6立方厘米？（生演示移動(dòng)的過程，變成圖2）追問：用語言描述這個(gè)長方體。3. 移動(dòng)盡塑少的正方體，把圖3

5、也變成長方體，并使這個(gè)長方體長得“高高”的。（變成圖4）討論：兩個(gè)長方體有什么聯(lián)系？（同一個(gè)長方體，擺的位置不同；形狀一樣，長、寬、高不同。）4. 小結(jié)：剛才從兩個(gè)不同角度觀察同一個(gè)長方體，那么從第三種觀察角度，又會(huì)是怎樣一個(gè)長方體呢？ 請(qǐng)你對(duì)同桌描述一下這個(gè)長方體。（圖5）（生：扁扁的，長擺3個(gè)，寬擺2個(gè)；一行擺3個(gè)，擺2行；一排擺3個(gè)，擺2排。）5. 師生小結(jié)：同一個(gè)長方體，由于觀察的角度不同，它的長、寬、高會(huì)相互轉(zhuǎn)化，但大小不變。片段1通過對(duì)不規(guī)則圖形與長方體的轉(zhuǎn)化，得出長方體比不規(guī)則圖形更容易數(shù)清它體積的結(jié)論，更重 要的是讓學(xué)生通過想象得出第三種觀察角度的圖形，從三個(gè)不同的角度觀察長方

6、體，豐富學(xué)生對(duì)于長方體 的表象積累。與標(biāo)準(zhǔn)三視圖（俯視圖、前視圖和側(cè)視圖）不同的是，本片段提到的“三視圖”是指從三個(gè) 不同方位觀察長方體的立體圖。使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：由于觀察角度原因?qū)е碌拈L、寬、高相互轉(zhuǎn)化，但體積不 變。二、“分解”與“分析”長方體 建立實(shí)物圖形與模型框架的聯(lián)系分解和分析即能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系。這種'分 解”和“分析”是一種思維活動(dòng)，具有形象思維并伴有抽象思維的特點(diǎn)。這些特點(diǎn)表現(xiàn)在把握“相互轉(zhuǎn)化” 關(guān)系的基礎(chǔ)上，刻畫了根據(jù)圖形特征在邏輯上對(duì)圖形關(guān)系進(jìn)行的分析和操作。一般傳統(tǒng)的教學(xué)模式，會(huì)讓學(xué)生用實(shí)物擺一擺，根據(jù)擺的結(jié)果歸納體積公式

7、。對(duì)學(xué)生而言，把若干 個(gè)小正方體擺成長方體并不困難，擺成不同形狀也不困難，因?yàn)樗季S水平不高，甚至有學(xué)生在擺出第一個(gè) 長方體后就不愿意繼續(xù)“擺” 了。這種傳統(tǒng)教學(xué)模式能順利推導(dǎo)出反方體的體積公式，學(xué)生也能理解，但 在學(xué)生空間觀念培養(yǎng)上的表現(xiàn)是蒼白無力的，而且不能解決的一個(gè)關(guān)鍵問題是：無法溝通擺成的實(shí)物圖形 與抽象的模型框架之間的聯(lián)系。k教學(xué)片段21. （出示圖6）下面這個(gè)復(fù)雜的圖形如果擺成長方體，會(huì)是怎樣的？體積又是多少？（圖6）（圖9）（圖7）（圖8）生1：長擺4個(gè)，寬擺3個(gè)，體積是12立方厘米。生2： 行擺4個(gè)，擺了 3行，體積是12立方厘米。（出示圖7）2. 師演示從圖7中抽離出圖8,這個(gè)

8、長方體的體積又是多少？為什么？生：它和剛才的長方體是一樣大小的，它里面可以擺12個(gè)小正方體。小結(jié)：一個(gè)長方體包含兒個(gè)1立方厘米的小正方體，它的體積就是兒立方厘米。3. 師逐步演示拉伸長方體的高，形成圖9。請(qǐng)思考：現(xiàn)在長方體的體積是多少呢？（24、36）小學(xué)生的年齡特征，決定了他們對(duì)圖形的識(shí)別活動(dòng)，處于依據(jù)表象為主的直觀辨認(rèn)水平，逐步向依據(jù) 特征為主的初級(jí)概念判斷水平發(fā)展，這種發(fā)展的屮介，就是用語言概括、描述形體的特征。在片段2的教 學(xué)中，對(duì)長方體實(shí)物進(jìn)行分解和分析，描述長方體的特征，在頭腦中建立長方體的表象，提煉出長方體的模型框架。對(duì)長方體體積的認(rèn)識(shí)從“數(shù)”逐漸趨向于對(duì)長方體長、寬、高這一本質(zhì)

9、屬性的分析，架起了實(shí) 物模型與模型框架聯(lián)系的橋梁。三、“描述”和“思考”估測體積過程一一探究影響長方體體積大小的因素描述和思考是描述實(shí)物或兒何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬wz間的位置關(guān)系，能運(yùn) 用圖形形彖地描述問題，利用直觀來思考。這種思考是沒有嚴(yán)格演繹邏輯的“形彖化”的推理，是結(jié)合情 景進(jìn)行的思考。與傳統(tǒng)的“擺一擺總結(jié)公式”教學(xué)模式相比，本課設(shè)計(jì)從長方體的形成入手，反其道而行, 先有長方體模型框架，再描述如何擺。在估測k方體體積的過程中理順關(guān)系、確定估測方法，逐漸逼近準(zhǔn) 確答案，直指影響長方體體積大小的本質(zhì)屬性一一長、寬、高。k教學(xué)片段3（圖 12）（圖 11）1. 出示：小正方

10、體的體積是1立方厘米，下而的長方體體積是多少？請(qǐng)你估一估。（圖10）（圖 10）可能會(huì)有：9立方厘米、15立方厘米、12立方厘米、16立方厘米、24立方厘米設(shè)問：你的估測有依據(jù)嗎？生：估計(jì)長可以擺兒個(gè)，寬擺兒個(gè)，高擺兒個(gè)有學(xué)生提出：我覺得比較難估測，最好把小正方體“拿”下來。討論：“拿”下來放哪里呢？為什么？（“角”上）（圖11）2. 把小正方體放在長方體的頂點(diǎn)位置，更有利于估測它的體積了，請(qǐng)你再估一估。生1： 一行擺5個(gè)、擺2行、可以擺2層，5x2x2二20。生2：長擺6個(gè)、寬擺2個(gè)、高擺2個(gè)，6x2x2二24。生3：長是6厘米、寬2厘米、高2厘米，6x2x2二24。3. 師逐步出示圖12：

11、現(xiàn)在能準(zhǔn)確知道它的體積嗎？生：能確定了，6x2x3二36,這個(gè)長方體包含了 36 了小正方體，它的體積是36立方厘米。4. 那下圖你能準(zhǔn)確計(jì)算它的體積嗎？（圖13）/（圖 13）9崖米追問：還需要擺一擺嗎？（不需要）心理學(xué)告訴我們，人的知覺具有選擇性。研究表明，小學(xué)生觀察時(shí)，各種兒何要素，如點(diǎn)、線、面或 者邊、角等，給他們的知覺刺激強(qiáng)度具有相對(duì)性、差異性。一般來說，圖形的整體形狀、整體大小是強(qiáng)成 分，而圖形的局部細(xì)節(jié)是弱成分。在片段3的教學(xué)中，當(dāng)兩個(gè)圖形分開時(shí)，學(xué)生的估測往往比較盲目，很 難得出接近的結(jié)果。移動(dòng)小正方體的位置放在合適的位置，利用小正方體為參考，借助它對(duì)反方體體積的 形彖思考。學(xué)

12、生在估測時(shí)，利用兩者的關(guān)系考慮長方體的氏、寬、高與正方體棱長的長度關(guān)系，從立體圖 形的大小關(guān)系轉(zhuǎn)到對(duì)應(yīng)邊倍數(shù)關(guān)系的本質(zhì)屬性上思考，在對(duì)估測過程的描述中逐步建立長方體體積計(jì)算方 法。四、幾何建模概括體積計(jì)算公式，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的特征，需要通過對(duì)感性材料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽彖、概括才能實(shí)現(xiàn)；在 對(duì)圖形進(jìn)行變換，導(dǎo)出體積公式并加以應(yīng)用的過程屮，還需要做一些簡單的推理。這些思維活動(dòng)，既有對(duì) 形體的定性分析、刻畫，又有對(duì)形體的定量分析、計(jì)算，它們都有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，也有助 于學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生通過觀察長、寬、高依次變化而引起體積變化的過程，進(jìn)一步 明

13、確影響長方體體積大小的因素，自然概括體積公式。k教學(xué)片段41. 你們覺得長方體的體積和什么因素有關(guān)？（長、寬、高）2. 師出示一長方體，分別拉伸它的長、寬、高，觀察體積的變化。（圖14）3. 把圖形旋轉(zhuǎn)觀察體積的變化，你找到這個(gè)長方體的長、寬、高嗎？（用智能筆畫出）（圖14）4. 一般化結(jié)論：如果這個(gè)長方體的長是a,寬b,高h(yuǎn),怎樣求它的體積。概括長方體的體積公式：vabho5. 基礎(chǔ)練習(xí)（兩個(gè)長方體、一個(gè)正方體的體積計(jì)算），同化概念，總結(jié)了立方體的體積公式。木環(huán)節(jié)通過對(duì)圖形的拉伸、旋轉(zhuǎn)，從不同的角度再次觀察長方體，思考影響體積人小的因素。心理學(xué) 證明，小學(xué)生的空間觀念源于生活經(jīng)驗(yàn)，因此他們更

14、樂意接受標(biāo)準(zhǔn)形狀，且處于標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形，有學(xué)生 還有排斥非標(biāo)準(zhǔn)圖形的傾向。教材一般的編排方式是：在引入新圖形時(shí)，先配以標(biāo)準(zhǔn)圖形，或接近于“標(biāo) 準(zhǔn)”的圖形，這有利于喚起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，縮短認(rèn)知差距。但教學(xué)中還必須注意適當(dāng)使用變式圖形，這 既是教學(xué)需要和促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展的需要，也是反映學(xué)生形體概念水平的評(píng)價(jià)指標(biāo)z。五、“畫出”圖形一一想象圖形間的邏輯關(guān)系，發(fā)展空間想象能力畫出圖形即能根據(jù)條件畫出圖形，“畫出”是一種實(shí)踐活動(dòng)，重視感知過的平面圖形或空間物體。學(xué) 生通過空間想象，在事物或圖形的影響下，在言語的調(diào)節(jié)下，對(duì)頭腦中已有空間表象經(jīng)過改造、結(jié)合產(chǎn)生 新表彖，從而在頭腦中“畫出”新舊圖形之間的

15、聯(lián)系。k教學(xué)片段51. 拋出問題：一個(gè)正方體的棱長擴(kuò)大到原來的2倍，它的體積擴(kuò)大到原來的兒倍？在你的頭腦中想象 著“畫一畫”，嘗試著把它“拉一拉”。驗(yàn)證：出示學(xué)生畫出了草圖，再出示圖15。思考：棱長擴(kuò)大到原來的10倍呢，它的體積又?jǐn)U大到原來的兒倍呢？ （1000倍）（演示圖16）那棱長擴(kuò)大到原來的7倍呢？（體積擴(kuò)大到原來n的立方倍）（圖 15）（圖 16）2. 請(qǐng)你估測下這個(gè)長方體的體積，并對(duì)同桌說說你的方法。（注：圖略，為香煙盒糊上白紙）生討論后反饋它究竟多大，該怎么辦？生：測量數(shù)據(jù)，記錄為& 5厘米、5厘米、2厘米，計(jì)算結(jié)杲為85立方厘米。出示第二個(gè)長方體（17厘米、10厘米、4厘

16、米），請(qǐng)你估測它的大小，把答案寫出來，比一比誰估 得最準(zhǔn)確。（師將兩個(gè)長方體放在一起）生：我估計(jì)680立方厘米，因?yàn)槲腋杏X這個(gè)長方體和之前那個(gè)比較，長、寬、高是兩倍關(guān)系，85x2 x 2x2=680。師生評(píng)價(jià)方法那如果讓你估計(jì)這個(gè)教室空間的大小呢？你會(huì)怎么去估？生：估長、寬、咼各兒米；估有兒個(gè)講臺(tái)的大?。还烙袃簜€(gè)1立方米在片段5的教學(xué)中，學(xué)生通過在頭腦中畫一畫、拉一拉等系列想象過程，鏈接新授過程的諸環(huán)節(jié)，“畫 出”兩個(gè)立方體體積關(guān)系。不但簡化了正方體棱長變化引起體積變化規(guī)律的探究過程，也使學(xué)生對(duì)于立方 數(shù)的理解充分建立在“長x寬x高”的連乘基礎(chǔ)上，軟件的直觀演示更是豐富了學(xué)生頭腦中對(duì)于兩個(gè)圖形 關(guān)系的表象。學(xué)生在估測立體圖形體積時(shí)也會(huì)選擇這種比較的策略，比較兩個(gè)立體圖形，想象它們的位置 關(guān)系，大小上的邏輯關(guān)系。這樣，估測就能基于兒何直觀，聯(lián)想也有表象基礎(chǔ)，使空間觀念從感知不斷發(fā) 展上升為一種可以把握的能