2022年抽象函數(shù)的奇偶性周期性對(duì)稱性1

1、精品資料歡迎下載抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性學(xué)問點(diǎn)梳理一、 抽象函數(shù)的對(duì)稱性定理 1.如函數(shù) yf x 定義域?yàn)?r，且滿意條件：f axf bx ，就函數(shù) yf x 的圖象關(guān)于直線abx對(duì)稱；2推論 1.如函數(shù) yf x 定義域?yàn)?r ，且滿意條件：f axf ax ，就函數(shù) yf x 的圖像關(guān)于直線xa 對(duì)稱；推論 2.如函數(shù) yf x 定義域?yàn)?r ，且滿意條件：f xf 2ax , 就函數(shù) yf x 的圖像關(guān)于直線 xa對(duì)稱；總結(jié)： x 的系數(shù)一個(gè)為 1，一個(gè)為 -1 ，相加除以 2，可得對(duì)稱軸方程推論 3.如函數(shù) yf x 定義域?yàn)?r ，且滿意條件：f axf ax ， 又如方程f x

2、0 有 n 個(gè)根，就此 n 個(gè)根的和為 na ；定理 2.如函數(shù) yf x 定義域?yàn)?r ，且滿意條件：f axf bxc（ a, b, c 為常數(shù)），就函數(shù) yf x的圖象關(guān)于點(diǎn) ab , c 對(duì)稱；22推論 1.如函數(shù) yf x 定義域?yàn)?r , 且滿意條件：f axf bx0 成立，就 yf x的圖象關(guān)于點(diǎn) ab ,0 對(duì)稱；2推論 2. 如函數(shù) yf x 定義域?yàn)?r，且滿意條件：f axf ax0 （ a 為常數(shù)），就函數(shù) yf x 的圖象關(guān)于點(diǎn)a,0 對(duì)稱；總結(jié)： x 的系數(shù)一個(gè)為 1，一個(gè)為 -1 ， fx整理成兩邊，其中一個(gè)的系數(shù)是為1，另一個(gè)為 -1 ，存在對(duì)稱中心；定理 3

3、. 如函數(shù) y稱（由 af xxb定義域?yàn)?r ，就函數(shù) yx 可得）；f ax 與 yf bx 兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線xba 對(duì)2推論 1.函數(shù) y推論 2.函數(shù) yf xf aa) 與函數(shù) yx 與函數(shù) yf af ax 的圖象關(guān)于直線 xx 的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱；0 對(duì)稱；定理 4. 如函數(shù) yf x定義域?yàn)?r ，就函數(shù) yf ax 與 ycf bx的圖象關(guān)于點(diǎn) ba , c 對(duì)稱；22推論 .函數(shù) yf ax 與函數(shù) yf bx 圖象關(guān)于點(diǎn)ba ,0 2對(duì)稱；二、抽象函數(shù)的周期性定理 5. 如函數(shù) yf x定義域?yàn)?r ，且滿意條件f axf xb) ，就 yf x 是以 tab

4、 為周期的周期函數(shù)；推論 1. 如函數(shù) yf x定義域?yàn)?r ，且滿意條件f axf xb ，就 yf x 是以 t2ab 為周期的周期函數(shù)；推論 2. 如函數(shù)滿意條件fxa1,就就ty=2 af x 是以fxt2a 為周期的周期函數(shù)；推論 3.如函數(shù)滿意條件fxa1fx1 fx,就就t=y4 af x 是以 t4a 為周期的周期函數(shù)；定理 7. 如函數(shù) yf x 的圖象關(guān)于直線xa 與 xbab 對(duì)稱，就 yf x 是以 t2ba) 為周期的周期函數(shù)；定理 8. 如函數(shù) yf x 的圖象關(guān)于點(diǎn)a,0 與點(diǎn)b,0 ab) 對(duì)稱，就 yf x 是以 t2ba) 為周期的周期函數(shù)； 定理 9. 如

5、函數(shù) yf x 的圖象關(guān)于直線 xa 與 點(diǎn) b,0ab) ，就 yf x 是以 t4ba 為周期的周期函數(shù)；總結(jié)： x 的系數(shù)同為為 1，具有周期性；1 定義在 r 上的函數(shù) f x 滿意： f x ·f x 2 13， f 1 2，就 f 99 a 13b 2132c. 2d. 132已知奇函數(shù)f x 在區(qū)間 3,7上是增函數(shù)，且最小值為5，那么函數(shù) f x 在區(qū)間 7， 3 上 a是增函數(shù)且最小值為5b. 是增函數(shù)且最大值為5c. 是減函數(shù)且最小值為5d. 是減函數(shù)且最大值為53已知函數(shù) f x 1 是奇函數(shù)， f x 1 是偶函數(shù)，且f 0 2，就 f 4 .4. 對(duì)于定義在

6、r 上的函數(shù) f x ，有下述四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)為 如 f x 是奇函數(shù)，就 f x 1 的圖象關(guān)于點(diǎn) a1,0對(duì)稱；如對(duì) x r，有 f x 1 f x 1 ，就 yf x 的圖象關(guān)于直線 x 1 對(duì)稱；如函數(shù) f x1 的圖象關(guān)于直線 x 1 對(duì)稱，就 f x 為偶函數(shù)；函數(shù) y f 1 x 與函數(shù) y f 1 x 的圖象關(guān)于直線 x 1 對(duì)稱x 2 b5. 已知定義域?yàn)閞 的函數(shù) f x 2x 1 a是奇函數(shù) 2(1) 求 a、b 的值；2(2) 如對(duì)任意的 t r，不等式 f t2t f 2 t k<0 恒成立，求 k 的取值范疇6. 設(shè)函數(shù) f x 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

7、稱，且滿意f x1 f x2 1 f x1 x2 f x2 f x1 ；存在正常數(shù) a，使 f a 1.求證： 1 f x 是奇函數(shù)；2 f x 是周期函數(shù)，并且有一個(gè)周期為4a.1、如函數(shù)fxx2bxc對(duì)一切實(shí)數(shù)都有 f 2 x = f 2 x 就（）a.f 2<f 1< f4b.f 1<f 2< f4c.f 2<f 4< f1d.f 4<f 2< f12、設(shè)函數(shù) y= f x定義在實(shí)數(shù)集 r 上，就函數(shù)y= f x 1 與 y= f 1 x 的圖象關(guān)于（）對(duì)稱；a. 直線 y=0b. 直線 x=0c. 直線 y=1d. 直線x=13、已知定義

8、為 r 的函數(shù) fx 滿意 fxf x4，且函數(shù) fx 在區(qū)間 2 ,上單調(diào)遞增 . 假如 x 12 x 2 ，且x 1x 24 ，就 f x 1f x 2的值（）a.恒小于 0b. 恒大于 0c可能為 0d可正可負(fù)4、函數(shù) y fx是定義在實(shí)數(shù)集 r 上的函數(shù)，那么 y fx 4 與 y f6 x 的圖象之間（ d ）a關(guān)于直線 x 5 對(duì)稱b關(guān)于直線 x 1 對(duì)稱c關(guān)于點(diǎn)（ 5， 0）對(duì)稱d關(guān)于點(diǎn)（ 1，0）對(duì)稱5、設(shè) fx是定義在 r 上的函數(shù)，且滿意f10 x f10 x ， f20 x f20 x ，就 fx是（）a偶函數(shù)，又是周期函數(shù)b偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)c奇函數(shù)，又是周期函數(shù)d

9、奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)6、已知函數(shù)5f x 是定義在實(shí)數(shù)集 r上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x 都有xf x11x fx ，就f f 的值是（）215a.0b.2c.1d.27、已知 fx1x， f1xffx， f2 xff1 x，fn 1xffnx，就f20042（） .1a.713 x1b.73c.d.358、在數(shù)列 xn中，已知 x1x21， xn 2xn 1xnnn * ，就x100 =9、 yfx 定義域?yàn)?r，且對(duì)任意 xr都有 fx1fx1，如 f212就f2021=1fx10、已知 fx是 r上的偶函數(shù)，對(duì) xr 都有 fx 6=fx f3成立，如 f1=2，就 f2021

10、=11、函數(shù)的值為f x 在 r 上有定義， 且滿意f x 是偶函數(shù)， 且 f02005，g xfx1 是奇函數(shù)， 就 f200512、設(shè) fx是定義在 r 上的偶函數(shù)， 且 f1+x=f1 x, 當(dāng) 1 x 0 時(shí)，f x= 1x，就 f 8.6 = 2參考答案： 1、如函數(shù)fxx2bxc對(duì)一切實(shí)數(shù)都有 f 2x = f 2 x 就（）a.f 2<f 1< f4b.f 1<f 2< f4c.f 2<f 4< f1d.f 4<f 2< f1答案： a；2、設(shè)函數(shù) y= f x定義在實(shí)數(shù)集 r 上，就函數(shù)y= f x 1 與 y= f 1 x 的圖

11、象關(guān)于（）對(duì)稱；a. 直線 y=0b. 直線 x=0c. 直線 y=1d. 直線 x=1答案： d；由 x11xx13、已知定義為 r 的函數(shù) fx 滿意 fxf x4，且函數(shù) fx 在區(qū)間 2 ,上單調(diào)遞增 . 假如 x 12 x 2 ，且x 1x 24 ，就 f x 1f x 2的值（）a.恒小于 0b. 恒大于 0c可能為 0d可正可負(fù)答案 a；分析： 圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱 .fx 在區(qū)間2,上單調(diào)遞增， 在區(qū)間,2 上也單調(diào)遞增 . 我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個(gè)單位.2x 24x1 ，且函數(shù)在2,上單調(diào)遞增，所以fx 2f 4x 1，又由 fxfx4 ，有f 4x1 f

12、x14fx144fx1，fx1fx 2fx1f4x1fx 1fx104、函數(shù) y fx是定義在實(shí)數(shù)集 r 上的函數(shù)，那么 y fx 4 與 y f6 x 的圖象之間（ d ）a關(guān)于直線 x 5 對(duì)稱b關(guān)于直線 x 1 對(duì)稱c關(guān)于點(diǎn)（ 5， 0）對(duì)稱d關(guān)于點(diǎn)（ 1，0）對(duì)稱答案： d；解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性知函數(shù)y fx 4 與 y f6 x 之間關(guān)于點(diǎn)（ （ 6 4） /2 ， 0）即（ 1， 0） 中心對(duì)稱，應(yīng)選 d；5、設(shè) fx是定義在 r 上的函數(shù)，且滿意f10 x f10 x ， f20 x f20 x ，就 fx是（）a偶函數(shù)，又是周期函數(shù)b偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)c奇函數(shù)，又是周期函

13、數(shù)d奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)答案： c；6、定義在 r上的特別數(shù)函數(shù)滿意：f 10+x為偶函數(shù)，且f 5 x = f 5+x,就 f x肯定是（）a. 是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)b. 是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)c. 是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)d. 是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)答案： a. 解： f 10+x 為偶函數(shù)， f 10+x= f 10 x. f x 有兩條對(duì)稱軸 x= 5 與 x =10 ，因此 fx是以 10 為其一個(gè)周期的周期函數(shù)， x =0 即 y 軸也是 f x的對(duì)稱軸，因此 f x仍是一個(gè)偶函數(shù)；7、已知函數(shù)5f x 是定義在實(shí)數(shù)集 r上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x 都有xf x11

14、x fx ，就f f 的值是（）2a.0b. 12c.1d. 52答案： a；解析：令 x111，就f 22211f 2211f 221f 20 ；令 xf10 ，就ff 0012由 xf x11x fx 得fx1x1fx， 構(gòu) 造 函 數(shù) fxxfx22， 由x11222， 所 以f5028、已知 fx1x ，fxffx，fxffx，fxffx，就 f2（） .a.1 7113 x1b.721c.35n 1nd.320041xx1x1答案： a；分析：由 fx，知 f1x13x， f2xf3x13 x1x ， f 3xfx .f x 為迭代周期函數(shù)，故f3n xfx ，f2004xfx ，1

15、f20042f2.79、在數(shù)列 xn中，已知 x1x21， xn 2xn 1xnnn * ，就x100 =答案： 1 ；10、 yfx 定義域?yàn)?r，且對(duì)任意 xr都有 fx1fx1，如 f212就f2021=_答案： -1-2 ；11、已知 fx是 r上的偶函數(shù)，對(duì) x答案： 2.1fxr 都有 fx 6=fx f3成立，如 f1=2，就 f2021=12、函數(shù)的值為f x 在 r 上有定義， 且滿意f x 是偶函數(shù)， 且 f02005，g xfx1 是奇函數(shù)， 就 f2005答案： 0. 函數(shù)關(guān)于1，0 和 x0 對(duì)稱，周期為 4 f 2005f 1f10 ；113、設(shè) fx是定義在 r 上的偶函數(shù)， 且 f1+x=f1 x, 當(dāng) 1 x 0 時(shí)，f x= 解： fx是定義在 r 上的偶函數(shù) x = 0是 y = fx對(duì)稱軸；x，就 f 8.6 = 2又 f1+x= f1 x x = 1也是 y = f x對(duì)稱軸；故 y =