2022年數(shù)學(xué)公式和知識點2

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載公式和知識點（數(shù)學(xué)）1. 數(shù)集的表示：實數(shù)集r；有理數(shù)集q；整數(shù)集z；自然數(shù)集n；復(fù)數(shù)集c2. 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。3. 若有限集合a有n個元素，則a的子集有n2個，真子集有12n個，非空子集有12n個，非空真子集有22n個。4. “且”用表示， “或”用表示， “全稱”用表示， “存在”用表示。5. 全稱命題的否定是特稱命題，即mx，)(xp的否定是mx0，)(0 xp，反之亦可。6. 原命題與逆否命題真假性一致，逆命題與否命題真假性一致。7.ba，則a是b的充分條件；ab，則a是b的必要條件。8. 函數(shù)的定義域：分母不為0，偶次方根被開方數(shù)大于

2、等于0，對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0 且不為 1，零次冪的底數(shù)不為0，正切的角終邊不在y軸上。9. 函數(shù)的定義含有三要素，即定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域。當(dāng)兩個函數(shù)的三要素都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。10. 函數(shù)奇偶性的定義：對于函數(shù))(xf的定義域內(nèi)的任意一個x，都有)()(xfxf，則為奇函數(shù)。對于函數(shù))(xf的定義域內(nèi)的任意一個x，都有)()(xfxf，則為偶函數(shù)。11. 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，若奇函數(shù)的定義域包括0，則0)0(f，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，而偶函數(shù)相反。12. 函數(shù)單調(diào)性的定義

3、：若函數(shù))(xf在區(qū)間d內(nèi)的21xx 、，當(dāng)21xx時，都有)()(21xfxf時，則)(xf是區(qū)間d上的增函數(shù)，都有)()(21xfxf時，則)(xf是區(qū)間d上的減函數(shù)。13. 周期函數(shù)的定義：對于函數(shù))(xf存在非 0 常數(shù)t，使得在其定義域內(nèi)有)()(txfxf，則)(xf是以t為周期的周期函數(shù)。14. 反函數(shù)的定義：一個函數(shù)中的x與y調(diào)換位置，即xy2的反函數(shù)為yx2，原函數(shù)的反函數(shù)圖像關(guān)于xy對稱。15. 函數(shù)圖像的對稱性：若)()(rbaxbfbxf、在定義域成立，則)(xf關(guān)于2bax對稱。16. 冪運算公式：)0(10aa，)(1qpaapp，*,0(nnmaaanmnm、，且

4、)1n，nmnmaaa，mnnmaa)(，nnnbaab)(，nmnmaaa17. 對數(shù)定義：若) 1,0(aanab，那么b叫做a為底n的對數(shù)，記作bnalog，其中a稱對數(shù)的底，n叫真數(shù)。當(dāng)10a時稱常用對數(shù)，記為nlg；當(dāng)a無理數(shù))7.2(ee時，記為nln18. 對數(shù)運算公式：01loga；1logaa；nanalog；nmmnaaaloglog)(log；nmnmaaalogloglog；mnmanaloglog；annmmalogloglog（換底公式）19. 指數(shù)函數(shù)) 1,0(aaayx的圖像總體特征：定義域為r；值域為),0(；恒過點)1 ,0(部分特征：當(dāng)1a時，在r上是增

5、函數(shù)；當(dāng)10a時，在r上是減函數(shù)。20. 對數(shù)函數(shù))1, 0(logaaxya的圖象總體特征：定義域為),0(；值域為r；恒過點)0 , 1 (部分特征：當(dāng)1a時，在),0(上是增函數(shù)；當(dāng)10a時，在),0(上是減函數(shù)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載21. 冪函數(shù))(raxya22. 函數(shù)零點的定義：方程0)(xf有實根)(xf的圖象與x軸有交點)(xf有零點；函數(shù)零點的判斷方法：若)(xf在,ba上為單調(diào)函數(shù)，且有0)()(bfaf，則)(xf在,ba有零點。2

6、3. 導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)函數(shù))(xf在0 xx處附近有定義，當(dāng)x在0 xx處增加x時，則y也有相應(yīng)的增量)()(00 xfxxfy，因此平均變化率為xxfxxfxy)()(00，當(dāng)這個數(shù)無限接近于某個常數(shù)時，就把這個常數(shù)稱為函數(shù))(xf在0 xx處的導(dǎo)數(shù)，即xxfxxfxfx)()(lim)( 000024. 函數(shù))(xf在點0 x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線)(xf在點)(,(00 xfx處的切線的斜率。25. 導(dǎo)數(shù)公式：0c(c為常數(shù) ) ；)()(1qnnxxnn；xxcos)(sin；xxsin)(cos；xxee )(；aaaxxln)(；xx1)(ln；axxaln1)(log26. 導(dǎo)數(shù)

7、運算法則：)( )( )()(xgxfxgxf；)( )()()( )()(xgxfxgxfxgxf)0)()()( )()()( )()(2xgxgxgxfxgxfxgxf；xuuyxuf)(27. 當(dāng)0)( xf在,ba恒成立，則)(xf在,ba上單調(diào)遞增；當(dāng)0)( xf在,ba恒成立，則)(xf在,ba上單調(diào)遞減。28. 極值、最值的判斷：若在0 x的左側(cè)0)( xf，右側(cè)0)( xf，則)(0 xf是極大值；若在0 x的左側(cè)0)( xf，右側(cè)0)( xf，則)(0 xf是極小值。各極值的和定義域的函數(shù)值比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值。29. 定積分dxxfba)(的幾何意義：

8、x軸、曲線)(xf以及直線bxax、所圍成的曲邊梯形的面積。30. 微積分定理：若)()( xfxf，且)(xf在,ba上可積，則)()()()(afbfxfdxxfbaba31. 向量的概念：既有大小又有方向；模為0 的向量為零向量，模為1 的向量為單位向量；零向量與任何向量平行 ( 共線 ) ；方向相同或相反的向量為平行( 共線 ) 向量；長度相等且方向相同的向量為相等向量；兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則a與b的數(shù)量積為cosbaba，規(guī)定零向量與任何非零向量的數(shù)量積等于0；向量b在a方向上的投影為abab cos32. 平面向量的坐標(biāo)運算：若),(),(),(),(22112211

9、yxbyxayxbyxa、( 兩個向量的是非零向量) ，則),(2121yyxxba、),(1212yyxxab、2211yxyxba；2121yxa；若ba，則01221yxyx；若ba，則02211yxyx；若a與b的夾角為，則222221212121cosyxyxyyxx33. 弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化：rad180，rad1801精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載34. 弧長公式：( rl為圓心角的弧度數(shù)) ，扇形面積公式：lrrs2121235. 同角三角函數(shù)的

10、關(guān)系：1cossin22；tancossin),2(zkk36. 誘導(dǎo)公式：sin)2sin(k、cos)2cos(k、tan)2tan(k；sin)sin(、cos)cos(、tan)tan(；sin)sin(、cos)cos(、tan)tan(；sin)sin(、cos)cos(、tan)tan(；cos)2sin(、sin)2cos(、cos)2sin(、sin)2cos(37. 兩角和公式：sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(；tantan1tantan)tan(38. 二倍角公式：cossin22sin；2222sin211cos2sincos2co

11、s；2tan1tan22tan39. 輔助角公式：)sin(cossin22xbaba(為輔助角 ) 40. 函數(shù))0,0)(sin(axa可由xysin的圖象作如何變換得到：)sin(sinxyxy，將xysin圖象上所有點向左)0(或向右)0(平移個單位；)sin()sin(xxy，將)sin(xy圖象上所有橫坐標(biāo)伸長) 10(或縮短)1(到原來的1倍；)sin()sin(xayxy，將)sin( xy圖象上所有縱坐標(biāo)伸長)1(a或縮短) 10(a到原來的a倍。41. 三個常用三角函數(shù)的性質(zhì)：xysinxycosxytan定義域rrkx2值域 1 , 1 1 , 1r最小正周期22對稱中心

12、)0,(k)0 ,2(k)0,(k對稱軸2kxkx無遞增區(qū)間kxk2222kxk22kxk22遞減區(qū)間kxk22322kxk22無42. 正弦定理：rrccbbaa(2sinsinsin為abc外接圓的半徑 ) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載43. 余弦定理：abccbacos2222；baccabcos2222；cabbaccos222244. 俯角是視線在水平線下方的角；仰角是視線在水平線上方的角。45. 三角形面積公式：aahsabc(21是底、h是高 )

13、；abcbaccabsabcsin21sin21sin2146. 等差數(shù)列有關(guān)概念定義：若數(shù)列na滿足dnnndaann*, 2(1為常數(shù) ) 通項公式：dnaan) 1(1，也可以寫成*)()(nmndmnaamn、等差中項：若三數(shù)baa、成等差，則a為ba、的等差中項，且有2baa性質(zhì)：若qpnm，則qpnmaaaa；nnnnnsssss232、也成等差。數(shù)列前n項和：2) 1(2)(11dnnnanaasnn47. 等比數(shù)列有關(guān)概念定義：若數(shù)列na滿足0*,2(1qnnnqaann的常數(shù) ) 通項公式：11nnqaa，也可以寫成*)(nmnqaamnmn、等比中項：若三數(shù)bga、成等比，

14、則g為ba、的等比中項，且有abg2性質(zhì)：若qpnm，則qpnmaaaa；nnnnnsssss232、也成等比。數(shù)列前n項和：當(dāng)1q時，1nasn；當(dāng)1q時，qqaaqqasnnn11)1(1148.na與ns關(guān)系：)2() 1(11nssnsannn( 任何數(shù)列都可用) 49. 棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和體積公式：直棱柱側(cè)面積cchs(為底面周長，h為高 ) ；正棱錐側(cè)面積cchs( 21為底面周長， h為斜高 ) ；正棱臺側(cè)面積( ) (21cchccs、分別為上、下底面周長， h為斜高 ) ；棱柱體積sshv(為底面積，h為高 ) ；棱錐體積sshv(31為底面積，h為高) ；棱臺體積(

15、)(31sshssssv、為上、下底面積，h為高 ) 50. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積和體積公式：圓棱柱側(cè)面積rrhs(2為底面半徑，h為高 ) ；圓錐側(cè)面積rrls(為底面半徑，l為母線長 ) ；圓臺側(cè)面積() (rrlrrs、為上、下底面半徑，l為母線長 ) ；圓柱體積sshv(為底面積，h為高 ) ；圓錐體積sshv(31為底面積，h為高 ) ；棱臺體積()(31sshssssv、為上、下底面積，h為高 ) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載51. 球的表面積和

16、體積公式：24 rs，rrv(343為球的半徑）52. 平面直觀圖 - 斜二測畫法特點：45yox；平行于yx、軸的線段在直觀圖中平行于yx 、軸的線段；平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度，平行于y軸的線段在直觀圖中為原長的一半。53. 直線與平面平行判定與性質(zhì)定理(nmba、為線段，a為點，、為平面 ) 判定定理：若baba、，則a；性質(zhì)定理：若baa、，則ba54. 平面與平面平行判定與性質(zhì)定理：判定定理：若、baababa則；性質(zhì)定理：若ba、，則ba55. 直線與平面垂直判定與性質(zhì)定理：判定定理：若anmnmnama、，則a；性質(zhì)定理：若ba、，則ba56. 平面與平面垂直判定與性質(zhì)

17、定理：判定定理：若aa、，則；性質(zhì)定理：若abab、，則a57. 空間向量的坐標(biāo)運算：( 可仿照 32. 的公式 ) 58. 平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量),(zyxn，在平面內(nèi)任意找兩個不共線的向量a和b，由n可得0na和0nb，由此解得zyx、的關(guān)系式，按比例設(shè)數(shù)字可得到),(zyxn59. 點到平面的距離公式：設(shè)法向量n為平面的法向量， 點a是平面外的一定點， 點b是平面內(nèi)的任意一點，則點a到平面的距離nnabd60. 傾斜角：直線向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，范圍為, 0；斜率：過兩點)(,(),(212211xxyxbyxa、時，傾斜角不為90，則斜率1212tanxx

18、yyk；當(dāng)21xx時，傾斜角為90，斜率不存在。61. 直線的截距： 直線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為直線在x軸上的截距； 直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)為直線在y軸上的截距。62. 直線方程的基本形式( 由于有兩種形式少用，就不寫了) 一般式：bacbyax、(0不全為 0) ；點斜式：直線過點),(00yx且斜率為k，則直線方程為)(00 xxkyy；斜截式：已知直線的斜率為k且在y軸上的截距為b，則直線方程為bkxy63. 兩直線平行、垂直的充要條件：若不重合的直線21ll 、的斜率分別是21kk 、，則2121kkll ；12121kkll64. 中點坐標(biāo)公式：若),(),(2211yxbyxa、

19、兩點間的中點),(yxm，則222121yyyxxx、65. 兩點間距離公式：若),(),(2211yxbyxa、，則221221)()(yyxxab66. 點到直線距離公式：點),(00yx到直線l：0cbyax的距離2200bacbyaxd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載67. 兩平行直線間距離公式：若直線0:11cbyaxl，0:22cbyaxl，則1l與2l間距離為2221baccd68. 幾種特殊的對稱：點),(ba關(guān)于x軸對稱的點為),(ba；點),(b

20、a關(guān)于y軸對稱的點為),(ba；點),(ba關(guān)于原點對稱的點為),(ba；點),(ba關(guān)于0cyx對稱的點為),(bcac；點),(ba關(guān)于0cyx對稱的點為),(bcac69. 圓的相關(guān)概念：定義：平面內(nèi)與定點( 圓心 ) 的距離 ( 半徑 ) 恒定不變的點的集合( 軌跡 ) 。標(biāo)準(zhǔn)方程：222)()(rbyax，其中圓心為),(ba，半徑為r一般方程：022feydxyx，其中圓心為)2,2(ed，半徑為2422fed70. 點與圓的位置關(guān)系：若點與圓心的距離為d，半徑為r，則rd點在圓上；rd點在圓內(nèi)；rd點在圓外。71. 判定直線與圓的關(guān)系：幾何法：直線與圓心距離為d，半徑為r，則相交

21、rd；相切rd；相離rd；代數(shù)法：由直線方程與圓的方程聯(lián)立，消元得到一元二次方程，則相交0；相切0；相離072. 圓與圓之間的關(guān)系： 若兩圓的半徑分別為21rr 、，連心距為d，則21rrd外離4 條公切線；21rrd外切3 條公切線；2121rrdrr相交2 條公切線；21rrd內(nèi)切1 條公切線；210rrd內(nèi)含無公切線73. 橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點21ff 、的距離之和等于常數(shù))2(221ffaa的點的軌跡，這兩個定點為橢圓的焦點，兩焦點的距離為焦距；與定點的距離和它到一條定直線的距離之比是離心率( 常數(shù) ) )10(e的點的軌跡。74. 兩種橢圓的相同點與不同點：不同點：當(dāng)焦點在x軸

22、時，標(biāo)準(zhǔn)方程)0(12222babyax，范圍bybaxa、，兩焦點)0,()0,(cc、，頂點),0(),0()0,()0 ,(bbaa、；當(dāng)焦點在y軸時，標(biāo)準(zhǔn)方程)0(12222babyax，范圍ayabxb、，兩焦點),0(), 0(cc 、，頂點)0,()0,(),0(),0(bbaa、相同點：焦距c2，長軸長a2，短軸長b2，222cba，離心率)10(eace75. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點21ff、的距離之差的絕對值等于常數(shù))2(221ffaa的點的軌跡，這兩個定點為雙曲線的焦點，兩焦點的距離為焦距；與定點的距離和它到一條定直線的距離之比是離心率 ( 常數(shù) ) 1(e的點的軌

23、跡。76. 兩種雙曲線的相同點與不同點：不同點：當(dāng)焦點在x軸時，標(biāo)準(zhǔn)方程)0( 12222babyax、，范圍ax或ax，兩焦點精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載)0,()0,(cc、，頂點)0,()0 ,(aa、，漸近線方程xaby；當(dāng)焦點在y軸時，標(biāo)準(zhǔn)方程)0(12222babxay、，范圍),0(), 0(cc 、，頂點),0(),0(aa 、，漸近線方程xbay相同點：焦距c2，實軸長a2，虛軸長b2，222bac，離心率) 1(eace77. 拋物線的定義：

24、平面內(nèi)與一定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡，定點f為拋物線的焦點，定直線為準(zhǔn)線。78. 四種不同的拋物線：標(biāo)準(zhǔn)方程)0(22ppxy，焦點)0 ,2(p，準(zhǔn)線方程2px，范圍0 x，1e；標(biāo)準(zhǔn)方程)0(22ppxy，焦點)0,2(p，準(zhǔn)線方程2px，范圍0 x，1e；標(biāo)準(zhǔn)方程)0(22ppyx，焦點)2, 0(p，準(zhǔn)線方程2py，范圍0y，1e；標(biāo)準(zhǔn)方程)0(22ppyx，焦點)2, 0(p，準(zhǔn)線方程2py，范圍0y，1e；79. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷方法：由直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消元得到一元二次方程，若0，則有兩個交點；0，則有一個交點；0，則無交點80. 統(tǒng)計圖表：

25、頻率分布表：反映總體頻率分布的表格，表格主要有分組、頻數(shù)、頻率等三個項目；頻率分布直方圖： 在直角坐標(biāo)系中用橫坐標(biāo)表示數(shù)據(jù)的分組區(qū)間，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，小矩形的面積表示相應(yīng)分組的頻率。81. 數(shù)字特征：眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)得最多的數(shù)據(jù)；中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按大到小依次排列，處于中間位置的一個數(shù)據(jù)( 或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))；平均數(shù)： 一組數(shù)據(jù)的總和與數(shù)據(jù)個數(shù)的比值；方差：若一組數(shù)據(jù)為nxxx21、，平均數(shù)為x，則方差為nxxxxxxsn222212)()()(；方差的算術(shù)平方根為標(biāo)準(zhǔn)差。82. 用樣本數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征：反映數(shù)據(jù)的集中趨勢有中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)；反映數(shù)據(jù)的離散

26、程度有方差、標(biāo)準(zhǔn)差。83. 線性回歸方程bxay ?(ba、是回歸系數(shù)），公式為niiniiiniiniiixxyyxxxnxyxnyxb1211221)()(；xbya(yx、為平均數(shù) ) 84. 計數(shù)原理：加法原理：做一件事，完成它有n類方法，在第一類辦法有1m種不同方法，在第二類辦法有2m種不同方法，在第n類辦法有nm種不同方法，則完成這件事有nmmmn21種不同方法；乘法原理：做一件事，完成它要n個步驟，第一步有1m種不同方法，第二步有2m種不同方法，第n步有nm種不同方法，則完成這件事有nmmmn21種不同方法。85. 排列：從n個不同的元素中任取)(nmm個元素，按一定順序排成一列

27、，用mna表示。公式：)!(!) 1()2)(1(mnnmnnnnamn(123)2)(1(!nnnn為n的階乘 ) 86. 組合 : 從n個不同的元素中任取)(nmm個元素合成一組，用mnc表示。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載公式：)!( !) 1()2)(1(mnmnmmnnnncmn87. 二項式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbcbacbacbacacba222110)(通項)2,1 , 0(1nrbactrrnrnk，它展開式有1r項88. 二項式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性：在展開式中，與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即rnnrnnnncccc,1；二項式系數(shù)先增后減，在中間取得最大值；nnnnnccc2101531202nnnnnnccccc89. 事件的關(guān)系：互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件；對立事件：不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件；對立事件一定是互斥事件，互斥時間不一定是對立事件。90. 若離散型隨機變量x的分布列為：xx1 x2 xi xn p p1 p2 pi pn 則數(shù)學(xué)期望 ( 均值 )nnpxpxpx