2022年數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十四章冪級數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第十四章冪級數(shù)教學(xué)目的： 1.懂得冪級數(shù)的有關(guān)概念，把握其收斂性的有關(guān)問題；2.懂得冪級數(shù)的運(yùn)算，把握函數(shù)的冪級數(shù)綻開式并熟悉余項(xiàng)在確定函數(shù)能否展為冪級數(shù)時(shí)的重 要性；教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)： 本章的重點(diǎn)是冪級數(shù)的收斂區(qū)間、收斂半徑、綻開式；難點(diǎn)是收斂區(qū)間端點(diǎn)處斂散性的判別；教學(xué)時(shí)數(shù)： 12 學(xué)時(shí)§ 1冪級數(shù)（ 4 時(shí) ）冪級數(shù)的一般概念 .型如和的冪級數(shù) .冪級數(shù)由系數(shù)數(shù)列唯獨(dú)確定 .冪級數(shù)至少有一個收斂點(diǎn) .以下只爭論型如的冪級數(shù) .冪級數(shù)是最簡潔的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之一 .一.冪級數(shù)的收斂域 :1. 收斂半徑 、收斂區(qū)間和收斂域：th 1（ abel） 如冪級數(shù)在點(diǎn)收斂 ， 就對

2、滿意不等式的任何，冪級數(shù)收斂而且肯定收斂 ；如在點(diǎn)發(fā)散 ， 就對滿意不等式的任何，冪級數(shù)發(fā)散.證收斂,有界.設(shè)|,有|,其中.定理的其次部分系第一部分的逆否命題 .冪級數(shù)和的收斂域的結(jié)構(gòu) .定義冪級數(shù)的收斂半徑 r.收斂半徑 r 的求法.th 2對于冪級數(shù), 如,就>時(shí),;>時(shí); >時(shí).證, 強(qiáng)調(diào)開方次數(shù)與的次數(shù)是一致的.由于,因此亦可用比值法求收斂半徑.冪級數(shù)的收斂區(qū)間 :.冪級數(shù)的收斂域 : 一般來說 , 收斂區(qū)間收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是區(qū)間、或之一.例 1求冪級數(shù)的收斂域 .例 2求冪級數(shù)的收斂域 .例 3求以下冪級數(shù)的收斂域 :;.2. 復(fù)合冪級數(shù): 令, 就化為冪

3、級數(shù).設(shè)該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為，就級數(shù)的收斂區(qū)間由不等式確定.可相應(yīng)考慮收斂域 .特稱冪級數(shù)為正整數(shù) 為缺項(xiàng)冪級數(shù) . 其中. 應(yīng)留意為第項(xiàng)的系數(shù) .并應(yīng)留意缺項(xiàng)冪級數(shù)并不是復(fù)合冪級數(shù) , 該級數(shù)中,為第項(xiàng)的系數(shù) .例 4求冪級數(shù)的收斂域 .解是缺項(xiàng)冪級數(shù) . 收斂區(qū)間為.時(shí),通項(xiàng).因此 ,該冪級數(shù)的收斂域?yàn)?例 5求級數(shù)的收斂域 .解令, 所論級數(shù)成為冪級數(shù).由幾何級數(shù)的斂散性結(jié)果 , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂. 因此當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)級數(shù)收斂. 所以所論級數(shù)的收斂域?yàn)?例 6求冪級數(shù)的收斂半徑 .解.二 冪級數(shù)的一樣收斂性：th 3如冪級數(shù)的收斂半徑為，就該冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一樣收斂 .證, 設(shè), 就

4、對,有,級數(shù)肯定收斂 ,由優(yōu)級數(shù)判別法 ,冪級數(shù) 在上一樣收斂 .因此 ,冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一樣收斂 .th 4設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,且在點(diǎn) 或收斂,就冪級數(shù)在區(qū)間 或上一樣收斂 .證.收斂 ,函數(shù)列在區(qū)間上遞減且一樣有界 ,由 abel 判別法,冪級數(shù)在區(qū)間上一樣收斂 .易見 , 當(dāng)冪級數(shù)的收斂域?yàn)闀r(shí) , 該冪級數(shù)即在區(qū)間上一樣收斂 .三.冪級數(shù)的性質(zhì) :1. 逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分后的級數(shù) :設(shè),* 和 *仍為冪級數(shù) . 我們有命題 1* 和 *與有相同的收斂半徑 . 簡證 值得留意的是， * 和 *與雖有相同的收斂半徑 （ 因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域， 例如級數(shù).2. 冪級數(shù)的運(yùn)

5、算性質(zhì) :定義兩個冪級數(shù)和在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)相等是指： 它們在該鄰域內(nèi)收斂且有相同的和函數(shù) .命題 2,.由以下命題 4 系 2命題3設(shè)冪級數(shù)和的收斂半徑分別為和,>, 就, const，.>+,.>,.3. 和函數(shù)的性質(zhì) :命題 4設(shè)在內(nèi). 就>在內(nèi)連續(xù);>如級數(shù)或收斂, 就在點(diǎn) 或是左 或右 連續(xù)的;>對,在點(diǎn)可微且有;>對,在區(qū)間上可積, 且.當(dāng)級數(shù)收斂時(shí), 無論級數(shù)在點(diǎn)收斂與否 ,均有.這是由于 :由級數(shù)收斂,得函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù), 因此有.推論 1和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意次可導(dǎo) ,且有,.由系 1 可見,是冪級數(shù)的和函數(shù)的必要條件是任意次可導(dǎo) .推論 2如

6、, 就有例 7驗(yàn)證函數(shù)滿意微分方程.驗(yàn)證 所給冪級數(shù)的收斂域?yàn)?, 代入,.§ 2函數(shù)的冪級數(shù)綻開一.函數(shù)的冪級數(shù)綻開 :1. taylor 級數(shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) .taylor 公式和 maclaurin 公式 .taylor 公式：.余項(xiàng)的形式:peano 型余項(xiàng):,（ 只要求在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù) ，存在 ）lagrange 型余項(xiàng):在與之間.或.積分型余項(xiàng) :當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí) , 有.cauchy 余項(xiàng):在上述積分型余項(xiàng)的條件下 ,有 cauchy 余項(xiàng).特殊地，時(shí)， cauchy 余項(xiàng)為在與之間.taylor 級數(shù):taylor 公式僅有有限項(xiàng) ,

7、 是用多項(xiàng)式靠近函數(shù) .項(xiàng)數(shù)無限增多時(shí), 得,稱此級數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的 taylor 級數(shù).只要函數(shù)在點(diǎn)無限次可導(dǎo), 就可寫出其 taylor 級數(shù).稱=時(shí)的 taylor 級數(shù)為 maclaurin 級數(shù),即級數(shù).自然會有以下問題 :對于在點(diǎn)無限次可導(dǎo)的函數(shù), 在的定義域內(nèi)或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi) , 函數(shù)和其 taylor 級數(shù)是否相等呢 .2. 函數(shù)與其 taylor 級數(shù)的關(guān)系：例 1函數(shù)在點(diǎn)無限次可微 .求得.其 taylor 級數(shù)為.該冪級數(shù)的收斂域?yàn)? 僅在區(qū)間內(nèi)有=. 而在其他點(diǎn)并不相等 , 由于級數(shù)發(fā)散 .那么, 在 taylor 級數(shù)的收斂點(diǎn) , 是否必有和其 taylor 級數(shù)相等呢

8、 .回答也是否定的 .例 2函數(shù)在點(diǎn)無限次可導(dǎo)且有因此其taylor 級數(shù)，在內(nèi)到處收斂 .但除了點(diǎn)外, 函數(shù)和其 taylor 級數(shù)并不相等 .另一方面 , 由本章§1 命題 4 推論 2（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)倘有,就在點(diǎn)無限次可導(dǎo)且級數(shù)必為函數(shù)在點(diǎn)的 taylor 級數(shù).綜上 , 我們有如下結(jié)論 :對于在點(diǎn)無限次可導(dǎo)的函數(shù), 其 taylor 級數(shù)可能除點(diǎn)外均發(fā)散 ,即便在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)其 taylor 級數(shù)收斂 , 和函數(shù)也未必就是. 由此可見 , 不同的函數(shù)可能會有完全相同的taylor級數(shù). 如冪級數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù), 就該冪級數(shù)就是函數(shù)在點(diǎn)的 taylo

9、r 級數(shù).于是 , 為把函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于的冪級數(shù)， 我們只能考慮其 taylor 級數(shù).3. 函數(shù)的 taylor 綻開式：如在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)函數(shù)的 taylor 級數(shù)收斂且和恰為，就稱函數(shù)在點(diǎn)可綻開成 taylor 級數(shù)自然要附帶綻開區(qū)間 . 稱此時(shí)的 taylor 級數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的 taylor 綻開式或冪級數(shù)綻開式 .簡稱函數(shù)在點(diǎn)可展為冪級數(shù) .當(dāng)= 0 時(shí),稱taylor 綻開式為 maclaurin 綻開式.通常多考慮的是 maclaurin 綻開式.4. 可展條件 :th 1 必要條件 函數(shù)在點(diǎn)可展 ,在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) .th 2 充要條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) .就在

10、區(qū)間內(nèi)等于其 taylor 級數(shù) 即可展 的充要條件是 : 對,有. 其中是 taylor 公式中的余項(xiàng) .證把函數(shù)綻開為階 taylor 公式, 有.th 3 充分條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) , 且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一樣有界 , 就函數(shù)可展.證利用 lagrange 型余項(xiàng) ,設(shè), 就有.例 3綻開函數(shù)> 按 冪; > 按冪.解,.所以 , >.可見 ,的多項(xiàng)式的 maclaurin 綻開式就是其本身 .>.二.初等函數(shù)的冪級數(shù)綻開式 :初等函數(shù)的冪級數(shù)綻開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式.為得到初等函數(shù)的冪級數(shù)綻開式,或直接綻開 ,或間接綻開 .1. 驗(yàn)證對r ，在區(qū)間

11、或上有界,得一樣有界 .因此可展 .2.,.,.可展是由于在內(nèi)一樣有界 .3.二項(xiàng)式的綻開式 :為正整數(shù)時(shí) ,為多項(xiàng)式 ,綻開式為其自身 ;為不是正整數(shù)時(shí) , 可在區(qū)間內(nèi)綻開為對余項(xiàng)的爭論可利用 cauchy 余項(xiàng). 詳細(xì)爭論參閱 1p56.時(shí), 收斂域?yàn)?時(shí), 收斂域?yàn)?時(shí), 收斂域?yàn)?利用二項(xiàng)式的綻開式 , 可得到許多函數(shù)的綻開式 . 例如取,得，.時(shí),.間接綻開 :利用已知綻開式 , 進(jìn)行變量代換、四就運(yùn)算以及微積運(yùn)算 ,可得到一些函數(shù)的綻開式 .利用微積運(yùn)算時(shí) , 要求一樣收斂 . 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一樣收斂 ,總可保證這些運(yùn)算暢通無阻 .4.事實(shí)上 ,利用上述的綻開式 , 兩端積

12、分 , 就有,.驗(yàn)證知綻開式在點(diǎn)收斂,因此 , 在區(qū)間上該綻開式成立 .5.由.兩端積分 ,有驗(yàn)證知上述綻開式在點(diǎn)收斂, 因此該綻開式在區(qū)間上成立.這里應(yīng)用了習(xí)題中第 2 題的結(jié)果 ,例 4綻開函數(shù).解.例 5綻開函數(shù).解.習(xí)題課一.求收斂區(qū)間或收斂域 :例 1求冪級數(shù)的收斂區(qū)間 .例 2求冪級數(shù)的收斂域 .解 設(shè), 留意到, 有.時(shí),收斂域?yàn)?二.函數(shù)綻開 :例 3把函數(shù)綻開成的冪級數(shù) .解,;,.與的綻開式比較.例 4綻開函數(shù).解,.因此,，.例 5綻開函數(shù).解,;因此,.例 6把函數(shù)綻開成的冪級數(shù) .解,.而=,.三.函數(shù)綻開式應(yīng)用舉例 :1. 做近似運(yùn)算 :例 7運(yùn)算積分, 精確到.解

13、.因此,.上式最終是 leibniz 型級數(shù) , 其余和的肯定值不超過余和首項(xiàng)的肯定值.為使,可取.故從第項(xiàng)到第項(xiàng)這前 7 項(xiàng)之和達(dá)到要求的精度.于是.2. 利用綻開式求高階導(dǎo)數(shù) :原理.例 8設(shè)證明對存在并求其值 .解,.時(shí),直接驗(yàn)證可知上式當(dāng)時(shí)也成立 .因此在內(nèi)有,.函數(shù)作為的冪級數(shù)的和函數(shù) , 對存在 , 且即四. 冪級數(shù)求和 :原理:對某些冪級數(shù) , 有可能利用初等運(yùn)算或微積運(yùn)算以及變量代換化為已知的函數(shù)綻開式 特殊是化為函數(shù)和的綻開式 ,借以求和 .例 9 求冪級數(shù)的和函數(shù)并求級數(shù)和 leibniz 級數(shù)的和.解冪級數(shù)的 收斂域?yàn)? 設(shè)和函數(shù)為,就在內(nèi)有,留意到, 就對有.又在點(diǎn)連續(xù) , 于是在區(qū)間內(nèi)上式成立 . 即有,.取, 有.取, 有.例 10求冪級數(shù)的和函數(shù)