第四節(jié)二項式定理及其應(yīng)用

1、第四節(jié)二項式定理及其應(yīng)用題號12345678答案1. (2013-江西卷)2）5卩展開式中的常數(shù)項為（）aa. 80 b 一80 c 40 d 一40(2、r一：的二項展開式中，x的系數(shù)為（=(-2)rc5x10'5r，令 10 - 5r = 0 得 r=2.解析：tr+1 = q(x2)5-rl- pl2.所以有常數(shù)項為t3 = cl- 2）2 = 40. 答案：a 10 b 一10 c 40 d 一40解析：因為 tk+! = c(2x2)5 k( -= ( - l)kch5 10'3k ,令 10-3k=l f即k = 3 ,此時x的系數(shù)為(-l)3ch2 = 40故選d

2、.答案：d3(2013北海質(zhì)檢)設(shè)(x + 2)(2x+3)10 = a0 + ai(x + 2) + a2(x + 2)2 + +aii(x+2)“，則 ao+ai + a24-. + an 的值為()a. 0 b 1 c 6 d 15解析：令x = - 1 f則1 = a。+亦+尙+ an ,故選b.答案：b(2、n4.如果(3x2節(jié) 的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為()a. 3 b. 5 c. 6 d. 10n - r解析：由展開式通項有tr+1 = c(3x2)(-2)r x2n -5r.由題意得 2n - 5r = 0=>n = |r(r = 0 f 1 , 2

3、, f n - 1),故當(dāng) r = 2時，正整數(shù)n的最小值為5.故選b.答案:b5.令為(l + x)n+,的展開式中含x-t項的系數(shù)，貝燉列£的 前n項和為()解析：含 x"的項為, an = c； = c1 = n(v°丄二?討丄宀an n ( n+ 1 ) m n + 1丿1 1 1)計匸引=2冷二尙故選d答案：d6. (12x)n=a()+a1x+a2x2 +. + anxn,則近的值是()a. 84 b 一84 c 280 d 一280解析:a2 = c( - 2o號=n(n - 1), 四個選項中只有羅=42 = 7x6滿足答案：a7. (2013瓊海

4、模擬)已知(1 +x)10=a0+ai(lx)+a2(l x)2+.+10(1 x)10,則 3g = ()a. 180 b 90 c 一5 d 5解析：(l + x)10=2-(l-x)10 其通項公式為:tr+1 = cj0210 r(- l)r(l - x)r f a8是 r = 8 時，第 9 項的系數(shù)所以 a8 = c?022( - l)8 = 180. 故選a.答案:a& (2013汕頭二模)關(guān)于二項式(x-1)2 013有下列命題：(1) 該二項展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1;(2) 該二項展開式中第六項為qoja2007；(3) 該二項展開式中系數(shù)最大的項是第1 007項

5、；當(dāng)x=2 014時，(x1)2°門除以2 014的余數(shù)是2 013. 其中正確命題有()a1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個解析：此二項展開式各項系數(shù)的和為0 ,其常數(shù)項為-1 ,故(1) 正確；其第六項 t6=d 0聲2 013-5. (_1)5= _c5 0聲2 008 ,故錯；該二項展開式共有2 014項，奇數(shù)項系數(shù)為正、偶數(shù)項系數(shù)為負(fù)，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知第1 007項與1 008項系數(shù)的絕對值最大z故正確；(x - i)2 0,3 = (x2 0,3 - c1o13x2 0,2 + cl 013x2 0,1 + c鄒x ) -1 =(x2 叱 c； 011x2 01

6、1 + c； 013x2+ c粘 l)x + x 1.當(dāng) x = 2 014時，被2 014除的余數(shù)為2 014 - 1 = 2 013故正確其中正確命題有3個故選c答案:c9(2013-四川卷)二項式(x+y)5的展開式中，含迅3的項的系數(shù)是(用數(shù)字作答).5 - r = 2 解析:tr+1 = cx5 ryr(r = 0 j t2 r3 f4 ,5),由題意知°'r = 3所以含*2y3的系數(shù)為c冷5x4x33x2x1=10.答案：10/、510.在二項式x2-的展開式中，含x項的系數(shù)是一80,貝ij實 x丿數(shù)a的值為.解析：二項式r -驢展幵式的通項公式為tr+1 =

7、c衣叫-擴 = (；(-令 10 - 3r = 1，所lu r = 3 ,所以( (-；)' =-80 ,解得1(空 丁答案:211.已知函數(shù)f(x)=-x3+3fx,令n=f(2),則二項式n展開式中常數(shù)項是第項解析：由 f(x) = - x3 + 3fr(2)x 得 r(x) = -3x2 + 3f (2),所以玖2) . ( 2 )6=-3x22 + 3玖2),解得=6 ,則卜+羽 的展開式的通項公式為 tr+i =t/： = cg 2rx6 -尹，令 6 -= 0 ,得 r = 4 ,所以展開式中常數(shù)項是第r+l = 5項.答案：5i2(x-iy°的展開式中卍的系數(shù)為

8、解析:137 =120卍，所以展開式的亡的系數(shù)為-120.答案：-12013(2013深圳一模)若(1 + 2x)5 = a。+ 31x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + 35x5,則巧=解析：二項式展幵式的通項公式為tr+1 = c (2x)r，故f的系 數(shù)如二c：23 = 80.答案：8014.(x£6的二項展開式中常數(shù)項為(用數(shù)字作答).解析：因為l)r2，令 6 - 2r = 0 ,解得 r = 3 r 所以 x -的二項的二項展開式的通項公式為tr+1 = cx6 r (展開式中常數(shù)項為(-1)3c1 =20答案:-2015.已知 nen 求證：1+2+22+23+.+25"-1 能被 31 整 除；(2)求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.解析：(1)證明：l + 2 + 22 + 23 +- + 25n l1 - 25n=t 2 = 25n - 1 = 32n - 1.=(31 + l)n - 1= 31n + ci 3r,_1 + c 31n_2+ + c_i 31 + 1-1= 31(31n l + cl 31" + c：i)顯然括號內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除.(2)解析：10.9