向量代數(shù)與空間解析幾何-曲面方程及其方程

1、第封第五節(jié)曲面及其方程一、主栗內(nèi)容 二、典型例題 三、同步練習(xí) 四、同步練習(xí)解答一、主要內(nèi)容(一)曲面方程的概念引例 求到兩定點(diǎn)和以2,1,4)等距離的點(diǎn)的 軌跡方程.解 設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z),則AM = BM,即 7(x-1)2+(j-2)2+(z-3)2= x(x-2)2 + (j + 1)2+(z-4)2化簡(jiǎn)得 2x -6j + 2z - 7 = 0.說(shuō)明：動(dòng)點(diǎn)擾跡為線段A的垂直平分面.顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，.一廠不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.71 .定義如果曲面S與方程尸(x,y,z) = o有下述關(guān)系: (1)曲面5上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程； 不

2、在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程， 則戶(x,y,z) = O叫做曲面5的方程，丁: 曲面S叫做方程戶(工,必2)= 0的圖形.曲面的實(shí)例：水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等.x曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何枕跡.以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題:2 .兩個(gè)基本問(wèn)題(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何枕跡時(shí)， 求曲面方程.(2)已知方程時(shí)，研究它所表示的幾何形狀 (必要時(shí)需作圖).(-)幾種特殊的曲面及其方程1 .平面 Ax + By + Cz + Z) = 02 .球面以“(，(/，九二。)為球心，R為半徑的 球面方程為(x - x0)2 + (y - %)2 + (z - s)2 = R23

3、.旋轉(zhuǎn)曲面3.旋轉(zhuǎn)曲面定義一條平面曲線繞其平 面上的一條定直線旋 轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱 為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸.(2)轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面Z方程的特征：如圖，V M(x,y,z)wE,Zlc過(guò)點(diǎn)M作垂直于z軸的平面2。點(diǎn)M到z軸的距離;Md = yx2 + y 2 = yJ# z = z, yi =±x x2 +j2'J/(y,z) = ox = 0代入 /(JPZ)= O得旋轉(zhuǎn)曲面Z的方程： /(±xx2 +j2, z) = 0,即為yoz坐標(biāo)面上的已知曲線/(y,z) = O繞z軸 旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.TrnTl/.lIrnTH由此可見(jiàn)：繞z

4、軸旋轉(zhuǎn)，Z坐標(biāo)不動(dòng)，將y 換成 ±/ + 了2.RarwMCZ >3,6同理：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線/(y,z) = 0繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為f(y, 土 vx2+z2) = 0.繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)：出現(xiàn)某兩變量的平方和.常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)曲面圓柱面：X2 4-J2 =«2直線c： P'="繪軸旋轉(zhuǎn)而成.x = 0.rwwr4 ，圓錐面直線L繞另一條與其 相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所 得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面.兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面 的頂點(diǎn)，兩直線的夾角a 萬(wàn)、(Ovav )叫圓錐面的半頂角.yoz面上直線:z = y cot a繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所

5、得的圓錐面方程：Cz = ±X2 + y2 cot a令 b = ±cota,則試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，半頂角 為a的圓錐面方程.*山7才上沙 ，f mvwooecM wmmtv繞Z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：X 乎 _今=單葉雙曲面 a c繪軸旋轉(zhuǎn)而成.因而旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面又稱為直紋面.不批7*號(hào)I rWB Rarww旋轉(zhuǎn)橢球面橢圓c2 繞y軸和z軸;x = 0y2 X2 + Z2繞J軸旋轉(zhuǎn)+一步=1繞Z軸旋轉(zhuǎn)+=1C旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線y=2pzx = 0繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面：x2 + j2 = 2pz旋轉(zhuǎn)拋物面4.柱面(1)定義 平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的 直線L所形

6、成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱 面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L叫柱面的母線. 觀察柱面的形母線L 成過(guò)程：注柱面的準(zhǔn)線不惟一.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程的特征方程中缺少一個(gè)變量(該坐標(biāo)軸的變量) 如：F(x,j) = O表示母線z軸的柱面. 事實(shí)上,V M(x9y9z)eZ 過(guò)點(diǎn)M作垂直于xoy面 的垂線，則此垂線與C 的交點(diǎn)MG，y, 0)的坐標(biāo) 必滿足：尸(x,y) = 0.反之，不在上的點(diǎn)M,其在xoy面上的投影點(diǎn)M 不在C上，從而其坐標(biāo)不滿足該方程.類似地，G(j,z) = 0:表示母線Hx軸的柱面.H(z,x) = 0:表示母線)軸的柱面.小結(jié)：只含X4而抉Z的方程尸(x,y) = o,在

7、空間直 角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線為 xoy面上曲線。(其他類推)(3)常見(jiàn)的二次柱面橢圓柱面= + = 1母線，軸 aL l雙曲柱面X2 V2-72=1母線乙軸 a b-Z瀚*山73金，拋物柱面.TW»er. fr，x2 = 2py p > 0) 母線 z 軸二、典型例題例1求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)Af0(x0,j0,z0)距離為R的軌跡 方程.解設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)依題意M)M = R 即丘 x0)2+(j- yo/+ (z Zo) = R故所求方程為" _( I(x - x0)2 + (y M)-+(z - z0)2 = R”何)特另山當(dāng)M0在原點(diǎn)

8、時(shí),球面方程為之x2+j2+z2 = R2/d z = ± R2 -x2 -y2表示上(下)球面.x例2研究方程x2 + y2+/ 2x + 4y = 0表示怎樣 的曲面.解 配方得(X - 1)2 + (y + 2)2 + / = 5此方程表示： 球心為M0(l,-2,0),半徑為V5的球面.說(shuō)明：如下形式的三元二次方程(AH0) A(x2 + j2 +z2) + Dx + Ey + Fz + G = 0都可通過(guò)配方研究它的圖形.其困形可能是一個(gè)球面，或點(diǎn)，或虛軌跡.例3求直線二繞速旋轉(zhuǎn)而成的0 - 1 _旋轉(zhuǎn)曲面方程.解V ；W(x,y,r) e S,過(guò)點(diǎn)M作垂直于z軸 的平面口

9、，它與所給直線L的交點(diǎn)為監(jiān)(10，則為=-z/ MP=d = MFMg工；町力k +y'+0=、:1 +H+0：1旋轉(zhuǎn)單葉2科曲面故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為：x2+ V3- Z4三、同步練習(xí)1.求與原點(diǎn)O及M 0 ( 2,3,4的距離之比為1 : 2的點(diǎn)的全體所組 成的曲面方程.方程z = ( x 12 + ( y 22 1的圖形是怎樣的？ 2. 3.指出下列方程在平 面解析幾何中和空間解 析幾何中分別表示什么圖形？(1 x = 2; ( 2 x 2 + y 2 = 4; ( 3 y=x + 1.四、同步練習(xí)解答1.求與原點(diǎn)O及M 0 ( 2,3,4的距離之比為1 : 2的點(diǎn)的全體 所組成的

10、曲面方程.解設(shè)M ( x , y , z是曲面上任一點(diǎn)，根據(jù)題意有| MO | 1 二 , | MM 0 | 2 x + y +z 2 2 2 2 2 2 ( x 2 + ( y 3 + (z 4 1 = , 2 2 4 116所求方程為(x + 2 + ( y + 12 + ( z + 2 = . 3 3 9z = ( x 12 + ( y 22 1的圖形是怎樣的？ 2.方程 解根據(jù)題意有z > 1困平面z = c去截圖形得圓：(x 1 + ( y 2 = 1 + c (c >隹評(píng)面z = c上下移動(dòng)時(shí)，得2 2到一 系列圓.o x y圓心在(1,2, c ,半徑為1 + c半徑隨c的增大而增大.圖形上不封頂， 下封底.3.指出下列方程在平面解析幾何中和空間