matlab四自由度汽車懸架仿真系統(tǒng)

1、線性系統(tǒng)理論大作業(yè)1/2汽車模型懸架系統(tǒng)建模與分析 學(xué) 院： 自動化學(xué)院 姓名 學(xué)號：陳晨（2014201416） 周鉉（2014261584） 聯(lián)系方式：15991740440 時 間： 2015年6月 目 錄一、研究內(nèi)容11、問題描述22、系統(tǒng)建模3二、系統(tǒng)分析61、狀態(tài)空間方程62、系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷63、使用不同的采樣周期將系統(tǒng)離散化求得其零極點(diǎn)分布圖74、系統(tǒng)一、二正弦響應(yīng)曲線85. 系統(tǒng)一、二的階躍響應(yīng)9三、系統(tǒng)能控能觀性判別101、根據(jù)能控性秩判據(jù)10四、極點(diǎn)配置11五、 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)141、全維狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)142、降維狀態(tài)觀測器21一、研究內(nèi)容本文對題

2、目給定的1/2汽車四自由度模型，建立狀態(tài)空間模型進(jìn)行系統(tǒng)分析，并通過MATLAB仿真對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性、可控可觀測性分析，對得的結(jié)果進(jìn)行分析，得出系統(tǒng)的綜合性能。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)全維和降維狀態(tài)觀測器以及狀態(tài)反饋控制律和對性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)。1、問題描述由于題目涉及的1/2汽車四自由度系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)已知，故采用分析途徑建立其狀態(tài)空間描述。其圖形如下：其中：m1、m2：分別是前、后車輪的簧下質(zhì)量(kg)；m為1/2汽車車身質(zhì)量，也即汽車的簧上質(zhì)量(kg)；Iy為簧上質(zhì)量繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量(kgm2)；Kt1，kt2分別是前、后輪胎的垂直剛度(N/m)；k1，k2：分別是前、后懸架的剛度(N/m)；C1C2

3、：分別是汽車前、后懸架減震器的平均阻尼系數(shù)(N·s/m)；qz1，qz2露分別是路面對前、后輪在垂直方向上的位移激勵(m)，qz1也比qz2滯后時間；z1z2：為前、后輪在垂直方向上的位移（m)；z為車身質(zhì)量(也即簧載質(zhì)量)在垂直方向上的位移（m)；為車身(即簧載質(zhì)量)的俯仰角位移(rad)；a為質(zhì)心到前軸中心的距離(m)；b為質(zhì)心到后軸中心的距離(m)；L為軸距。以汽車垂直方向的位移和車身俯仰角為變量，依據(jù)牛頓法建立懸架系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程，其運(yùn)動方程寫成矩陣形式為Mx+Cx+Kx=f式中：M一質(zhì)量參數(shù)矩陣：C阻尼參數(shù)矩陣；K一剛度參數(shù)矩陣。取狀態(tài) x=zz1z2；系統(tǒng)計(jì)算相關(guān)的數(shù)據(jù)

4、如下表1M=m 0 0 0;0 Iy 0 0;0 0 m1 0;0 0 0 m2;K=k1+k2 b*k2-a*k1 -k1 -k2;b*k2-a*k1 k1*a2+k2*b2 a*k1 -b*k2;-k1 a*k1 k1+k2 0;-k2 -b*k2 0 k2+kt2;C=c1+c2 b*c2-a*c1 -c1 -c2;b*c2-a*c1 c1*a2+c2*b2 a*c1 -b*c2;-c1 a*c1 c1 0;-c2 -b*c2 0 c2;f=0 0;0 0;kt1 0;0 kt2*qz1(t);qz2(t-)其中：r=L/u，u車速。2、系統(tǒng)建模得到狀態(tài)空間方程如下X=AssX+BssU

5、Y=CssX+DssU其中：X=x x ;U=qz1(t);qz2(t)利用matlab 代入數(shù)據(jù)得到Ass=-inv(C M;M zeros(4,4)*K zeros(4,4); zeros(4,4) -M;Ass = 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 -0.0565 -0.0173 0.0246 0.0319 -0.0043 -0.0006 0.0022 0.0022 -0.0098 -0.0628 -0.0174 0.0272 -0.0003 -0.004

6、7 -0.0015 0.0019 0.4198 -0.5247 -0.9630 0 0.0370 -0.0463 -0.0370 00.4846 0.7317 0 -4.7137 0.0330 0.0499 0 -0.0330Bss=inv(C M;M zeros(4)*E;zeros(4,2);Bss = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.7407 0 0 4.2291E=0 0;0 0;kt1 0;0 kt2;E = 0 0 0 0 192 0 0 192當(dāng)Y=Z 即為z車身垂直加速度，車身角速度，Css為Ass中的第5、6行所組成的子矩陣，Dss為Bss中的第5、6行所

7、組成的子矩陣。Css=Ass(5:6,:);Css = -0.0565 -0.0173 0.0246 0.0319 -0.0043 -0.0006 0.0022 0.0022 -0.0098 -0.0628 -0.0174 0.0272 -0.0003 -0.0047 -0.0015 0.0019Dss=Bss(5,:);Bss(6,:);Dss = 0 0 0 0當(dāng)Y=Z-a-z1z+b-z2kt1z1-qz1t/G1kt1z1-qz1t/G2即z-a-z1為前懸動撓度；z-b-z2：為后懸動撓度；kt1z1-qz1(t) /G1半為前輪相對動載荷；kt1z1-qz1(t) /G2半為后輪相

8、對動載荷。Css1=1 -a -1 0 0 0 0 0;1 b 0 -1 0 0 0 0;0 0 kt1/G1 0 0 0 0 0;0 0 0 kt2/G2 0 0 0 0;Dss1=zeros(2,2);-kt1/G1 0;0 -kt2/G2;Dss1 = 0 0 0 0 -0.0469 0 0 -0.0547其中，在求相對動載荷時，設(shè)G1、G2分別為靜平衡位置時路面對前后輪的法向反作用力，二、系統(tǒng)分析1、狀態(tài)空間方程通過sys=ss(Ass,Bss,Css,Dss);sys1=ss(Ass,Bss,Css1,Dss1);分別求得兩系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。并通過G10=tf(sys);G20=t

9、f(sys1);分別求得兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2、系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是，矩陣Ass的特征值均具有負(fù)實(shí)部。通過b=eig(Ass)算出矩陣Ass的特征值分別為1= -0.0170 + 2.1727i2= -0.0170 - 2.1727i 3= -0.0200 + 0.9916i4= -0.0200 - 0.9916i5= -0.0020 + 0.2557i6= -0.0020 - 0.2557i 7= -0.0006 + 0.1599i8= -0.0006 - 0.1599分別求得兩系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，見下圖2圖2綜上可知，系統(tǒng)一是臨界穩(wěn)定的，系統(tǒng)二是穩(wěn)定。3、使用不同的采樣周期將

10、系統(tǒng)離散化求得其零極點(diǎn)分布圖，見圖3圖3由圖3分析可知，同一系統(tǒng)離散化之后其穩(wěn)定性不變。4、 系統(tǒng)一、二正弦響應(yīng)曲線輸入為u1=u2=sint,用lsimplot（）函數(shù)得到系統(tǒng)的正弦響應(yīng)曲線，如下圖4、圖5：圖4圖5由圖4、5可知，系統(tǒng)一臨界穩(wěn)定、系統(tǒng)是二穩(wěn)定的。5、 系統(tǒng)一、二的階躍響應(yīng)（a）(b)圖 6由上可知系統(tǒng)一、系統(tǒng)二的階躍響應(yīng)是收斂的三、系統(tǒng)能控能觀性判別1、根據(jù)能控性秩判據(jù)Qc=Bss:AssBss:Ass2Bss:Ass3Bss:Ass4 Bss:Ass5 BssAss6 Bss:Ass7 Bss利用Matlab函數(shù)ctrb(),求得Qc，經(jīng)過計(jì)算可以得到rank(Qc)=8

11、，故系統(tǒng)完全可控。根據(jù)能觀性秩判據(jù)Qk=Css:CssAss:Css2Ass:Css3Ass:Css4Ass:Css5Ass:Css6 Ass:Css7 Ass利用Matlab函數(shù)obsv(),求得Qk1，經(jīng)過計(jì)算可以得到系統(tǒng)一的rank(Qk1)=8，故系統(tǒng)一是可觀測的，系統(tǒng)二的rank(Qk2)=8所以也是可觀測的?；谝陨嫌懻?，由于系統(tǒng)是可控可觀的，則存在適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋控制律可以將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意位置，從而使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定并且提高系統(tǒng)性能。由于系統(tǒng)1和系統(tǒng)2是可控的，則存在適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋控制律可以將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意位置，從而使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定并且提高系統(tǒng)性能。由于系統(tǒng)一、二是完全可觀的

12、，正如前面所討論的，必然可以通過系統(tǒng)的輸出和輸入重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)，即可以搭建相應(yīng)的狀態(tài)觀測器為狀態(tài)反饋控制律提供狀態(tài)量。四、極點(diǎn)配置1、系統(tǒng)在引入狀態(tài)反饋后，圖7 加入狀態(tài)反饋后的結(jié)構(gòu)圖其狀態(tài)空間方程發(fā)生變?yōu)椋篨=(Ass-BssK)x+Bss*v,y=Css*x穩(wěn)定判據(jù)中的秩判據(jù)可知當(dāng)系統(tǒng)的Ass矩陣的特征值全部具有負(fù)實(shí)部時系統(tǒng)穩(wěn)定，因此引入狀態(tài)反饋后解決系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題就是尋找反饋矩陣K，使得(Ass-BssK)矩陣的實(shí)部全部小于零。由于系統(tǒng)是完全能控的，所以兩個系統(tǒng)都是可以通過狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。在實(shí)際應(yīng)用中，多數(shù)控制系統(tǒng)都采用基于反饋控制的閉環(huán)系統(tǒng)，反饋系統(tǒng)的特點(diǎn)是對內(nèi)部參

13、數(shù)變動和環(huán)境影響具有良好的抑制作用。反饋的基本類型包括狀態(tài)反饋和輸出反饋，其中前者是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的完全反饋，對應(yīng)地，輸出反饋則是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的不完全反饋，前者在功能上要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于后者。本節(jié)1/2汽車四自由度系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制，即尋找適當(dāng)?shù)姆答伩刂坡蒏，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)到達(dá)滿足穩(wěn)定性和性能要求的位置。從控制理論角度講，以期望閉環(huán)極點(diǎn)組為性能指標(biāo)，可以嚴(yán)格和簡潔地建立相應(yīng)綜合理論和算法，于是在用極點(diǎn)配置方法改善系統(tǒng)性能之前，首先需要在直觀性能指標(biāo)和期望閉環(huán)極點(diǎn)組之間建立起對應(yīng)的聯(lián)系。閉環(huán)極點(diǎn)常用的確定方法為把所有的閉環(huán)極點(diǎn)區(qū)分為2個主導(dǎo)極點(diǎn)和n-2個非主導(dǎo)極點(diǎn)，因?yàn)槎A系統(tǒng)各項(xiàng)性能指標(biāo)與極點(diǎn)有簡單的

14、對應(yīng)關(guān)系，如果系統(tǒng)非主導(dǎo)極點(diǎn)足夠遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)對，那么整個系統(tǒng)的性能就可以用這兩個主導(dǎo)極點(diǎn)來表征。在二階系統(tǒng)中，系統(tǒng)極點(diǎn)，實(shí)部，虛部，其中為系統(tǒng)的阻尼比，為系統(tǒng)的固有頻率，極點(diǎn)實(shí)部越大，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間越短，系統(tǒng)反應(yīng)越快速；極點(diǎn)虛部越大系統(tǒng)響應(yīng)的震蕩越劇烈。慣常做法是將取0.707，此時各項(xiàng)性能指標(biāo)綜合最優(yōu)，并通過不斷試驗(yàn)確定適當(dāng)?shù)?確定主導(dǎo)極點(diǎn)對后，剩余n-2個極點(diǎn)可在左半s平面遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)對區(qū)域內(nèi)任取，區(qū)域右端離虛軸距離至少等于主導(dǎo)極點(diǎn)對離虛軸距離的4至6倍。直接使用Matlab的place（）命令求解K。期望極點(diǎn) -2， -3 ，-10 ，-12 ，-20 ，-15 ，-18 ，-19則K =

15、 1.0e+04 * Columns 1 through 5 3.9215 -2.5595 0.0087 0.0010 2.1821 4.8295 4.4730 0.0007 0.0126 2.1831 Columns 6 through 8 -1.8444 0.0010 0.0001 2.1105 0.0001 0.0012系統(tǒng)框圖如下：圖8 系統(tǒng)一的狀態(tài)反饋系統(tǒng)一仿真時，輸入，為了更直觀地觀察到系統(tǒng)一狀態(tài)在閉環(huán)控制下隨時間衰減，初始狀態(tài)取1 1 1 1 1 1 1 1T期望極點(diǎn)-2， -3 ，-10 ，-12 ，-20 ，-15 ，-18 ，-19，通過觀察系統(tǒng)一的階躍響應(yīng)圖得到設(shè)計(jì)完?duì)顟B(tài)

16、反饋控制器后，階躍響應(yīng)下系統(tǒng)是收斂的，這就完成了系統(tǒng)一的鎮(zhèn)定問題，系統(tǒng)一達(dá)到了漸進(jìn)穩(wěn)定狀態(tài)。（a）（b）圖9 系統(tǒng)一期望極點(diǎn)處的響應(yīng)曲線2、極點(diǎn)配置后的正弦響應(yīng)圖 10五、 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)1、全維狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)前面為了解決系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，引入了狀態(tài)反饋對系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置，從而使其達(dá)到穩(wěn)定。但引入狀態(tài)反饋的前提條件是所有狀態(tài)都是可以得到的。因此，需要對系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，并用這個重構(gòu)的狀態(tài)代替系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)，來實(shí)現(xiàn)所要求的狀態(tài)反饋。 狀態(tài)重構(gòu)的實(shí)質(zhì)，就是重新構(gòu)造一個系統(tǒng)，利用原系統(tǒng)中可直接測量的變量，如輸出變量和輸入變量作為它的輸入信號并使其輸出信號在一定條件下等價與原系統(tǒng)的狀態(tài)x。通常稱這個用

17、于實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)為狀態(tài)觀測器。如果狀態(tài)觀測器能夠觀測所有的狀態(tài)量，而不管其是否能夠直接測量，這種觀測器稱為全維狀態(tài)觀測器。由于全維狀態(tài)觀測器要求系統(tǒng)能觀，現(xiàn)在選擇系統(tǒng)變量如下：X1=z,X2=,X3=z1,X4=z2,X5=z,X6=,X7=z1,X8=z2稱此系統(tǒng)為系統(tǒng)，通過驗(yàn)證，系統(tǒng)能控能觀，可進(jìn)行全維觀測器的設(shè)計(jì)。全維狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)框圖如下圖11：圖11 全維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)框圖全維狀態(tài)觀測器仿真框圖如下圖12圖 12 全維狀態(tài)觀測器仿真框圖由上圖可以推導(dǎo)出它的全維狀態(tài)觀測器動態(tài)方程如下：，化簡為：。全維狀態(tài)觀測器是以系統(tǒng)的輸入u和輸出y為輸入，以估計(jì)狀態(tài)為輸出的系統(tǒng)，為全維狀態(tài)觀測

18、器所估計(jì)出的系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)觀測器的估計(jì)誤差為：。觀察上圖，發(fā)現(xiàn)被觀測系統(tǒng)的前饋矩陣Dss并沒有出現(xiàn)。原因很簡單，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中，前饋矩陣僅僅影響到系統(tǒng)的輸出，而對系統(tǒng)的狀態(tài)變化沒有影響，系統(tǒng)的狀態(tài)主要由輸入，矩陣Bss和Ass確定。所以在搭建全維狀態(tài)觀測器時引入的被觀測系統(tǒng)的輸出并不是完整的系統(tǒng)輸出，而是不包含前饋的部分輸出。所以簡明起見，圖12中略去了前饋矩陣Dss，這并不影響系統(tǒng)運(yùn)行，也不影響重構(gòu)狀態(tài)生成。由上式可知，誤差動態(tài)特性由矩陣的特征值決定。因此只要該矩陣特征值位于負(fù)半平面，則對于任意的初始狀態(tài)誤差e(0)，系統(tǒng)的狀態(tài)誤差e(t)就能夠趨近于零。對于可觀測系統(tǒng)，矩陣的特征值可以通

19、過觀測器增益矩陣實(shí)現(xiàn)任意配置。則系統(tǒng)全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)問題就轉(zhuǎn)化為確定觀測器增益矩陣L，使系統(tǒng)的特征值位于期望位置，以實(shí)現(xiàn)誤差動態(tài)方程以足夠快的速度漸進(jìn)穩(wěn)定，這其實(shí)也是一個極點(diǎn)配置的問題。全維觀測器在構(gòu)造思路上由“復(fù)制”和“反饋”合成，復(fù)制就是，基于被觀測系統(tǒng)的的系數(shù)矩陣Ass、Bss、Css，按照相同結(jié)構(gòu)建立一個復(fù)制系統(tǒng)。反饋指取被觀測系統(tǒng)輸出和復(fù)制系統(tǒng)的輸出的差作為修正變量，經(jīng)過增益矩陣L反饋到復(fù)制系統(tǒng)的輸入端構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。之所以引入矩陣L，是因?yàn)榭梢杂镁仃嘗來調(diào)節(jié)重構(gòu)系統(tǒng)收斂于實(shí)際狀態(tài)的速度，除此之外矩陣L還可以在觀測器初始狀態(tài)與實(shí)際系統(tǒng)初始狀態(tài)不重合時迫使重構(gòu)狀態(tài)在一定時間內(nèi)收斂于實(shí)

20、際狀態(tài)。下面就要對狀態(tài)觀測器進(jìn)行極點(diǎn)配置使其很好的跟隨原系統(tǒng)的狀態(tài)，理論上只要Ass-L*Css矩陣的特征值（也是狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)）的負(fù)實(shí)部全部都比原系統(tǒng)的特征值的負(fù)實(shí)部小，就可以使得重構(gòu)狀態(tài)很好的跟隨原系統(tǒng)的狀態(tài)x。對于本次的設(shè)計(jì)的系統(tǒng)來說，原系統(tǒng)的特征值分別為1= -0.0170 + 2.1727i2= -0.0170 - 2.1727i 3= -0.0200 + 0.9916i4= -0.0200 - 0.9916i5= -0.0020 + 0.2557i6= -0.0020 - 0.2557i 7= -0.0006 + 0.1599i8= -0.0006 - 0.1599設(shè)計(jì)觀測器的目

21、的是對系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行重構(gòu),使得其很好的跟隨原狀態(tài)，用這些重構(gòu)的狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)反饋，設(shè)置狀態(tài)反饋器。圖13系統(tǒng)一重構(gòu)狀態(tài)反饋控制圖 14 系統(tǒng)二重構(gòu)狀態(tài)反饋控制在仿真時，期望系統(tǒng)極點(diǎn)為p=2， -3 ，-10 ，-12 ，-20 ，-15 ，-18 ，-19觀測器極點(diǎn)為pb=-4 -6 -20 -24 -40 -30 -36 -50;系統(tǒng)輸入為常量1 1T，系統(tǒng)初始狀態(tài)為1 1 1 1 1 1 1 1T，全維狀態(tài)觀測器初始狀態(tài)為0 0 0 0 0 0 0 0T.圖15系統(tǒng)一使用重構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行反饋控制時系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài) 圖16 系統(tǒng)一使用重構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行反饋控制時觀測器重構(gòu)的狀態(tài)圖17系統(tǒng)二使用重構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行反

22、饋控制時系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài) 圖18 系統(tǒng)二使用重構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行反饋控制時觀測器重構(gòu)的狀態(tài)由圖得出采用重構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行反饋控制依然能夠使系統(tǒng)鎮(zhèn)定，顯然也可以改善系統(tǒng)的性能。狀態(tài)觀測器在與實(shí)際系統(tǒng)構(gòu)成閉環(huán)時依然能夠在一定時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)重構(gòu)狀態(tài)對實(shí)際狀態(tài)的跟蹤，采用重構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行反饋控制與采用實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行反饋控制只在仿真初期存在較小差異，隨著時間推移，差異最終收斂于0，這說明，只要使用足夠快速的狀態(tài)觀測器，使用重構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行反饋控制完全可以完成對系統(tǒng)性能的改善。2、降維狀態(tài)觀測器考慮到系統(tǒng)的輸出已經(jīng)包含了系統(tǒng)狀態(tài)的部分信息，因此直接利用這部分信息可以構(gòu)造出維數(shù)低于被估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，即降維狀態(tài)觀測器，降維觀測器需要較

23、少的積分器就可以構(gòu)成，簡化了觀測器的結(jié)構(gòu)，因此在工程應(yīng)用中更具有意義。類似于全維狀態(tài)觀測器的討論，本節(jié)研究觀測器與被估計(jì)系統(tǒng)構(gòu)成閉環(huán)時的狀態(tài)。降維狀態(tài)觀測器的求解過程如下。Ass = 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 -0.0565 -0.0173 0.0246 0.0319 -0.0043 -0.0006 0.0022 0.0022 -0.0098 -0.0628 -0.0174 0.0272 -0.0003 -0.0047 -0.0015 0.0019 0.4198 -0.5247 -0.9630 0 0.0370 -0.0463 -0.0370 0 0.4846 0.7317 0 -4.7137 0.0330 0.0499 0 -0.0330Bss = 0 0 0 0 0