閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、第七節(jié)一、最大值最小值定理一、最大值最小值定理 二、零點(diǎn)定理與介值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理 閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第二章 定義定義對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間 上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)如如果果有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一都都有有則則稱稱是是函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上的的最最大大 小小 值值0000( ),( )()( )()()( )().If xxIxIf xf xf xf xf xf xI 例如例如, ,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在 . 1minmax yy,sin1xy ,2,0上上在在 ; 0min y, 1max y一、最大值最小

2、值定理一、最大值最小值定理定理定理2.18(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上延續(xù)的在閉區(qū)間上延續(xù)的即即: 設(shè)設(shè), ,)(baCxf xoyab)(xfy 那那么么, ,21ba 使使).()(min1 fxfmbxa )()(max2 fxfMbxa 記記函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值.).()()(,21 fxffbax 有有使得使得12(證明略證明略) 1 假設(shè)區(qū)間是開區(qū)間假設(shè)區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2 假設(shè)區(qū)間內(nèi)有延續(xù)點(diǎn)假設(shè)區(qū)間內(nèi)有延續(xù)點(diǎn), 定理不一定成定理不一定成立立.注注xyO)(xfy 211xyO2)

3、(xfy f (x)在在0, 2上無最大值和最小值上無最大值和最小值 推論推論 (有界性定理有界性定理) 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)在該區(qū)在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)在該區(qū) 間上一定有界間上一定有界.例例1證證( )1f xA ( )f xA yxoAA -1A +1- XX.),()()(lim),()(上上有有界界在在存存在在，則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且在在證證明明：若若 xfxfxfx存在，存在，)(limxfx ，則，則設(shè)設(shè)Axfx )(lim，使得，使得對(duì)于對(duì)于0, 1 X 時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)Xx Axf 1)(即即內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在又又),()(xf上上有有界界上上連連續(xù)續(xù)，從從而而在在在在,)(XXX

4、Xxf )(xfy 1( ),f xMxX X ( ).f xM ，使使得得故故存存在在常常數(shù)數(shù)01 M，則則取取1,max1AMM ，均有，均有),( x.),()(上上有有界界在在即即 xf定理定理2.19 ( 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 )，且且若若,)(baCxf 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ),(ba 使使.0)( f0)()( bfaf( 證明略證明略 )定義定義 假設(shè)假設(shè), 0)(0 xf那么那么稱稱0 x為為 f (x) 的零點(diǎn)的零點(diǎn).二、零點(diǎn)定理與介值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理.),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf 定定2.20 ( 介值定理介值定理

5、 )設(shè)設(shè) , ,)(baCxf 且且,)(Aaf ,)(BABbf 那么對(duì)那么對(duì) A 與與 B 之間的之間的任一數(shù)任一數(shù) C , 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn), ),(ba 證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)Cxfx )()( 那么那么,)(baCx 且且)()(ba )(CBCA 0 故由零點(diǎn)定理知故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn), ),(ba 使使,0)( 即即.)(Cf 使使.)(Cf 推論推論 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)必獲得介于最大值必獲得介于最大值 M與最小值與最小值 m 之間的一切值之間的一切值 .例例2 ,4,0)(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間xf13 xex至少有一個(gè)不超

6、越至少有一個(gè)不超越 4 的的 證證證明方程證明方程令令，1)(3 xexxf且且 )0(f13 e )4(f1434 e0 e 3由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理 , 知知, )4,0( ,0)( f原命題得證原命題得證 .顯然顯然正根正根 .0 使使4, 0 x例例3證證bxxxabaxfn 21,)(上上連連續(xù)續(xù)在在若若由于由于 f (x)在在a, b上延續(xù)上延續(xù),)(1上上連連續(xù)續(xù)在在nxxxf使使得得試試證證：, ,1nxx .)()()()(21nxfxfxffn ,21bxxxan ,1baxxn 上上,1nxx有最大值有最大值 M 和最小值和最小值 m，故故 f (x) 在在nxfxfxfn

7、)()()(21 m,M 由介值定理的推論知，由介值定理的推論知，,1nxx ),()(1nxxxMxfm 即即)(max),(min2,12,1xfMxfmxxxxxx 其其中中，令令nxfxfxfn)()()(21 那么那么Mm 使得使得)( f .)()()(21nxfxfxfn 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則則設(shè)設(shè), ,)(baCxf 在在)(. 1xf上到達(dá)最大值與最小值上到達(dá)最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的一切值上可取最大與最小值之間的一切值;4. 當(dāng)當(dāng)0)()(bfaf時(shí)時(shí), ),(ba使使. 0)(f必存在必存在,ba上有界上有界;在在)(. 2xf,ba在在)(. 3xf,ba1

8、. 任給一張面積為任給一張面積為 A 的紙片的紙片(如圖如圖), 證明必可將它證明必可將它思索與練習(xí)思索與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.xoy那么面積函數(shù)那么面積函數(shù),)(CS因因,0)(SAS)(故由介值定理可知故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S那么那么, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在證明至少存在, ,0a使使. )()(aff提示提示: 令令, )()()(xfaxfx那么那么, ,0)(aCx 易證易證0)()0(a2. 設(shè)設(shè)一點(diǎn)一點(diǎn)備用題備用題例例2-1證明方程證明方程01423 x

9、x證證 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf 又又,01)0( f02)1( f故據(jù)零點(diǎn)定理故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), )1 ,0( 使使. 0)( f即即在區(qū)間在區(qū)間)1 ,0(內(nèi)至少有一個(gè)根內(nèi)至少有一個(gè)根 .例例2-2證證), 0(, 001110為為奇奇數(shù)數(shù)naaxaxaxannnn 證明任一奇數(shù)次代數(shù)方程至少有一個(gè)實(shí)根證明任一奇數(shù)次代數(shù)方程至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)奇數(shù)次代數(shù)方程為設(shè)奇數(shù)次代數(shù)方程為,)(1110nnnnaxaxaxaxf 記記, 00 a且且不不妨妨設(shè)設(shè)由于由于 )(limxfx)(lim10nnnxxaxaax , , 01 x故故存存在在. 0)(1

10、 xf使使得得 )(limxfx又又)(lim10nnnxxaxaax , , 02 x故故存存在在使使得得,)(21上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間因因?yàn)闉閤xxf由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知,),(21xx 使使得得即方程至少有一個(gè)實(shí)根即方程至少有一個(gè)實(shí)根., 0)( f. 0)(2 xf. 0)(1 xf使使得得證明方程證明方程bxax sin，其中，其中,0,0 ba 至少有一個(gè)正根，并且它不超過至少有一個(gè)正根，并且它不超過ba . 例例2-3證證令令( )( sin),0,f xxaxb xab , 1)sin(1 ba若若.為為所所給給方方程程的的根根bax 0)()0( baff由零點(diǎn)定

11、理，知由零點(diǎn)定理，知 (0, a + b), 使使( )0.f 0)( baf則則, 1)sin(2 ba若若則則上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在則則, 0)(baxf , 0)0( bf)sin(1)(baabaf , 0)( baf證證令令 ( )( ),F xf xx 則則在在上上連連續(xù)續(xù)( ) , ,F xa b而而( )( )F af aa , 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理, ,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 即即( ).f 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù) 且且證證明明使使得得( ) , ,( ),( ).( , ),( ).f xa bf aaf bba

12、bf 例例2-4上延續(xù)上延續(xù) , 且恒為正且恒為正 ,例例2-5)(xf在在,ba證明證明:對(duì)恣意的對(duì)恣意的, ),(,2121xxbaxx 必存在一點(diǎn)必存在一點(diǎn), ,21xx 使使.)()()(21xfxff 分析分析)()()(21xfxff 0)()()(212 xfxff 證證 令令)()()()(212xfxfxfxF , 那那么么,)(baCxF )(1xF)()()()(21222xfxfxfxF )()()(2112xfxfxf )()()(211xfxfxf )()()(122xfxfxf )()(21xFxF)()(21xfxf 221)()(xfxf 0 使使,0)( x

13、f,0)()(21 xFxF故由零點(diǎn)定理知故由零點(diǎn)定理知, , ),(21xx ,0)( F即即.)()()(21xfxff 當(dāng)當(dāng))()(21xfxf 時(shí)時(shí),取取1x 或或，2x 那么有那么有；即即)()()(21xfxff )()(21xFxF)()(21xfxf 221)()(xfxf 0 )()()()(212xfxfxfxF , 0)( F當(dāng)當(dāng))()(21xfxf 時(shí)時(shí),例例2-6證證令令( )( )(1),0,1F xf xf xxn (01)f00()(1).f xf x上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)設(shè)設(shè), 0)(,Nnxfn )()0(nff ).1()(, 0000

14、xfxfnx，使使證證明明存存在在點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)11 n)1()0(ff 由由條條件件，使使知知, 000nx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)22 n.1, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則 nxF方法方法1 (用反證法用反證法)假設(shè)：假設(shè)：，有，有1, 0 nx, 0)1()0()0( ffF則則, 0)1()()( xfxfxF(0)(1)ff , 0)1()0()0( ffF不不妨妨設(shè)設(shè)上上連連續(xù)續(xù)，在在1, 0)( nxF.1, 0(, 0)( nxxF可可以以斷斷定定：11(0,1,()00,(0,1)( )(0,)()0.xnF xxnF xxxF x 否否則則，若若使使，則則在在上上對(duì)對(duì)用用零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理，得得知知，使使，這這與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾, 0)1( F從從而而(1)(2)ff (2)0,F (2)(3)ff (1)0,F n (1)( )f nf n ),()1(nff 故故這與題設(shè)條件這與題設(shè)條件)()0(nff 矛盾！矛盾！方法方法2( )( )(1),0,1F xf xf xxn (0)(0)(1)Fff (