第三章系統(tǒng)分析狀態(tài)方程的解

1、第三章第三章 狀態(tài)空間表達(dá)式的解狀態(tài)空間表達(dá)式的解一種分析系統(tǒng)狀態(tài)和輸出特性的直接法 一一. .線性定常齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程的解 二二. .狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 三三. .線性定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程的解 四四. .線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 五五. .離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 六六. .連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的離散化 一一. .線性定常齊次狀態(tài)方程的解線性定常齊次狀態(tài)方程的解1、線性齊次狀態(tài)方程解的定義2、線性齊次狀態(tài)方程解的物理意義3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的引出引出 返回主頁1.1.一階齊次微分方程組解的定義一階齊次微

2、分方程組解的定義 一階齊次微分方程： 解為： 一階齊次微分方程組： ， 解為： 返回 )()(taxtx03322)! 31! 211 ()0()(xtataatxetxat)()(taxtx)0()0()!1! 21()(22xextaitaatitxatii推導(dǎo)1階齊次微分方程的解 )0()()0()(1)0()()()0()()(xetxxassxxsxassaxxssxtaxtxat返回2. 齊次方程解的物理意義齊次方程解的物理意義 由初始條件引起的運(yùn)動規(guī)律為齊次方程的解 確定的，狀態(tài)向量在任意時刻t1的取值可由 獲得。并可以在以x（t）向量為坐標(biāo)系的n維狀態(tài)空間里繪制系統(tǒng)狀態(tài)隨時間運(yùn)

3、動的軌跡，稱為狀態(tài)軌跡。 返回)0()(xetxat)0()(11xetxat 3. 3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的引出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的引出 系統(tǒng)由初始條件引起的運(yùn)動的規(guī)律及特性主要取決與eat，eat是由系統(tǒng)矩陣a唯一確定的。系統(tǒng)由輸入引起的運(yùn)動規(guī)律除了和輸入信號的大小形式有關(guān)與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及eat的形式也密切相關(guān)，定義 為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。顯然，狀態(tài)空間表達(dá)式的求解關(guān)鍵在于求取系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 返回 nnatet)()()(taxtx)0()(xetxat二二. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2 2、幾個典型形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣幾個典型形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 3、 一般狀

4、態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法一般狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法 返回主頁返回主頁nnatet)( (1) (2) (3) (4) (5) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆為時間的逆轉(zhuǎn)。 (6) (7) (8) 若 ，則有注：上述性質(zhì)由定義導(dǎo)出。 返回nnatet)(i)0()()()(2121tttt)()(1tt)()()(020112tttttt)()(kttknnnnnnnnabbabtattbaeee)()0()0()!1! 21()(22xextaitaatitxatiiataetat)()(aa)0()0(1. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 2. 幾個典型形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣幾個典型形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 （1）若 為

5、對角陣，則 （2）若 t-1at= 為對角陣，則 （3）a= 為約旦陣，則 書上p5860頁na21tttatneeeet21)(n21121)(teeetettttatn0001000100011000100!2110! 31!211)(232tttttteettat（4）t-1at= 為約旦陣，則 （5）若 ，則 舉例1： 若 則 舉例2： 若 則 返回00010001000112321000100! 2110! 31! 211)(tttttttteettatatttteettatcossinsincos)(4311000000000001atttttateeeteee4311100000

6、0000004000000010001111atttttttateeteeetteee41111110000000002123.一般狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法一般狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法 (1) 利用定義計(jì)算 (2) 利用laplace變換計(jì)算 (3) 化a陣為對角型或約旦標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算 （利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)計(jì)算）求特征值和特征向量由變換陣p化a為對角陣或約旦標(biāo)準(zhǔn)型求對角陣或約旦標(biāo)準(zhǔn)型所對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求原矩陣a的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 返回 )!1! 21(22iiattaitaatie11)(asileat推導(dǎo)laplace變換法 11111( )( )(0)( )()(0)()(0)( )() (0)( )

7、() atx tax tsx sxax ssia x sxx ssiaxx tlsiaxtelsia返回三三. .線性定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程的解1、非齊次方程解的通式非齊次方程解的通式 直接求解 laplace變換求解 2、典型輸入下典型輸入下非齊次方程解非齊次方程解 脈沖輸入 階躍輸入 斜坡輸入 返回主頁返回主頁 已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為： 直接法積分求解直接法積分求解 初始狀態(tài)引起的解：輸入作用引起的解：由輸出方程可以求出系統(tǒng)的輸出解。 ducxybuaxxdbutxttxtdbuttxtttxttt)()()0()()(0)()()()()(00000) 0 ()(

8、)(xttxdbuttxt)()()(01.1.非齊次方程解的通式非齊次方程解的通式 laplaelaplae變換求解變換求解 狀態(tài)方程兩邊同時求拉氏變換得： 系統(tǒng)的狀態(tài)與輸出的形式取決與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)初始條件和輸入信號的形式，所以在系統(tǒng)為典型輸入信號作用時的狀態(tài)解和輸出解的形式可以依據(jù)上述通式導(dǎo)出。 返回 )()()0()()(11sbuasixasisx)()() 0()()(111sbuasixasiltx)()()0 ()(1111sbuasilxasil 2 2 典型輸入下非齊次方程的解典型輸入下非齊次方程的解 （1 1） 脈沖脈沖 輸入下的解為：輸入下的解為： （2 2） 階躍階躍 輸入

9、下的解為：輸入下的解為：( (使用條件使用條件a a的逆存在的逆存在) ) （3 3）斜坡）斜坡 輸入下的解為：輸入下的解為：( (使用條件使用條件a a的逆存在的逆存在) )注意：線性系統(tǒng)的輸出輸入特性。 返回)()(tktubkexetxatat)0()()( 1)(tktubkieaxetxatat)()0()(1)( 1)(ttktubktaieaxetxatat)()0()(12四四. .離離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解1 1、差分方程組的求解方法差分方程組的求解方法 迭代法 z變換法2、引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，簡化離散系引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，簡化離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

10、 返回主頁1. 1. 差分方程組的求解方法（差分方程組的求解方法（1 1） （1） 迭代法迭代法 得系統(tǒng)狀態(tài)的迭代計(jì)算式為： 注：計(jì)算結(jié)果為逐點(diǎn)形式，便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算，但有累積誤差。與連續(xù)狀態(tài)方程的求解公式在形式上類似)()() 1(khukgxkx10112)()0() 1()2()0()0() 1() 1()(, 1) 1 ()0()0() 1 () 1 ()2(, 1)0()0() 1 (, 0kjjkkkkjhugxgkhukghuhugxgkhukgxkxkkhughuxghugxxkhugxxk)()0()(101jhugxgkxkjjkk（2） z 變換法變換法 注：計(jì)算結(jié)果為封閉

11、的解析形式。 返回 )()() 0()()()()() 0()()()() 0()()()()() 0()()()() 1(111111zhugzizxzgzizkxzhugzixzgzizxzhuzxzxgzizhuzgxzxzzxkhukgxkx)()0()(101jhugxgkxkjjkk2. 引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，簡化離散系統(tǒng)狀態(tài)方引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，簡化離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解程的求解（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義及計(jì)算：）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義及計(jì)算：kgk )()(11zgziz)()0()(101jhugxgkxkjjkk)()() 0 ()()(1111zhugzizxzgzizkx)() 1

12、()0()()(10jhujkxkkxkj（2）g 陣為典型結(jié)構(gòu)形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算陣為典型結(jié)構(gòu)形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算g為對角型時 g為約旦型 g可化對角型（變換陣為p） g可化約旦型（變換陣為p） kkkkkkgk001)(11321000000)(ppgkkkkk110)(pkpgkkkkkkkkkkgk321321000000000000)(（3 3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 返回gkgkk)() 1(1ig 0)0(五五. 連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的離散化 1. 連續(xù)系統(tǒng)離散化的意義連續(xù)系統(tǒng)離散化的意義 意義 2. 連續(xù)系統(tǒng)離散化的假設(shè)條件連續(xù)系統(tǒng)離散化的假設(shè)條件

13、(1) 離散化按等采樣周期處理； (2) 采樣脈沖為理想脈沖信號； (3) 輸入向量u（t）只在采樣點(diǎn)變化，兩相鄰采樣點(diǎn) 之間的輸入由零階保持器保持不變； (4) 采樣周期的選擇滿足香農(nóng)定理。 3. 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化方法線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化方法 (1) 化連續(xù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程化連續(xù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程：連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程： 理論理論推導(dǎo)可得推導(dǎo)可得：取：取 時，時，t t為采樣周期，為采樣周期， 則離散化以后的狀態(tài)空間表達(dá)式為：則離散化以后的狀態(tài)空間表達(dá)式為： )()()()()()() 1(ktduktcxktyktuthktxtgtkx)()()(tbutaxtxtatatbdtethetg0)(,)(例題連續(xù)系統(tǒng)的離散化的意義連續(xù)系統(tǒng)的離散化的意義 線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1階微分方程組。可采用解析法求解。也可以采用數(shù)值解法求解，此時對微分方程做近似解，給出離散采樣時刻的狀態(tài)方程解的近似值。利用計(jì)算機(jī)對線性定常連續(xù)系統(tǒng)求數(shù)值解是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究中常用的一種方法，不但方便而且精確。由于實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中線性定常連續(xù)系統(tǒng)的被控對象需要在線控制等，必須將連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程化為離散系統(tǒng)的狀態(tài)