數(shù)學(xué)振動(dòng)理論基礎(chǔ)PPT課件

1、一、振動(dòng)系統(tǒng)由剛性物塊、線性彈簧和線性阻尼組成的振動(dòng)系統(tǒng)稱為線性振動(dòng)系統(tǒng)。 振動(dòng)：是物體在其平衡位置附近所做的來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，描述最基本參數(shù)是頻率和加速度。第1頁/共79頁一、振動(dòng)系統(tǒng) 阻尼：阻礙物體振動(dòng)的因素，如空氣的阻力，材料的內(nèi)阻，物體之間的摩擦等。第2頁/共79頁一、振動(dòng)系統(tǒng)按系統(tǒng)自由度分單自由度系統(tǒng)振動(dòng) 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) 按微分方程分線性振動(dòng) 非線性振動(dòng)按系統(tǒng)輸入類型分自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)（受迫振動(dòng)） 自激振動(dòng)按輸出規(guī)律分周期振動(dòng) 隨機(jī)振動(dòng)第3頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)第4頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)作用在質(zhì)量塊上的彈性力總是指向平衡位置（恢復(fù)力） 。若沒有能量損耗

2、，振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大位移不變，稱之為振幅。 自由振動(dòng)具有周期性。從某一位置開始運(yùn)動(dòng)，總是在一個(gè)固定的時(shí)間 內(nèi)回到開始位置，這一時(shí)間 叫做振動(dòng)的周期，單位為秒。為了描述振動(dòng)的快慢程度，引入振動(dòng)的頻率 f ，它定義為單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，單位為赫茲（Hz）。頻率 f 和周期 互為倒數(shù)，即：TTT1fT第5頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)1. 單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)力學(xué)模型設(shè)彈簧的原長為L0，彈簧靜變形stmgk 運(yùn)動(dòng)方程的建立考慮到得：stmgkFkxmg 由圖（d ）可知，質(zhì)量塊受到的合力為：第6頁/共79頁1. 單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)kmgststx mgkxFkkxFst

3、二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 力學(xué)模型設(shè)彈簧的原長為L0，彈簧靜 變形第7頁/共79頁0, 0,2222xxxxkxxmdtxdmmaFkxmgFFmkmk 設(shè) 由牛頓第二定理得：第8頁/共79頁002)0(,)0(00vxxxtxx 時(shí)，初始位移和速度002)0(,)0(0vxxxxx )cos()sin()(00txttxv)arctan(,)sin(),cos(002022000vxxvAAxAv可得令)sin()(tAtx 位移方程的求解第9頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)的固有頻率和固有圓頻率物塊振動(dòng)一次經(jīng)歷的時(shí)間稱為周期。根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，時(shí)間每經(jīng)歷一個(gè)周期，正

4、弦函數(shù)的相位角增加2，故：km因?yàn)樗?，周期?2mTk頻率為12kfm第10頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 無阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的速度與加速度方程對(duì)位移方程 求一次導(dǎo)數(shù)，得系統(tǒng)自由振動(dòng)的速度方程為對(duì)位移方程 求二次導(dǎo)數(shù)，得系統(tǒng)自由振動(dòng)的加速度方程為 tAtVcos tAtasin2第11頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例：已知一包裝件的產(chǎn)品質(zhì)量m = 10 kg，緩沖墊等效彈性系數(shù)為k = 100000 N/m，將其簡化為無阻尼單自由度模型，給緩沖墊一個(gè)初始位移x0 = -0.01m，使之從靜止開始振動(dòng)，求固有頻率和位移方程。解：由公式 得系統(tǒng)固有圓頻率為： 固有頻率為：

5、 （Hz）km100000100/10krad sm15.922f第12頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)又已知初始條件為： x0 = -0.01m，v0 = 0。得：因此運(yùn)動(dòng)方程為：2220000.01( )vxAxm00tantan2xacracrv 0.01sin 1002x tt sinx tAt第13頁/共79頁 建立運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)量塊m作自由振動(dòng)，在任一瞬時(shí)t，作用在質(zhì)量塊上的力有：重力 mg彈性力 阻力 二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2、單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)由于包裝緩沖系統(tǒng)都是有阻尼的，所以，分析有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)具有十分重要的作用。力學(xué)模型stFkxRcx 根據(jù)牛頓

6、第二定律，質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：()stmxFRmgkxcxmgkxcx 第14頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)將方程mxFRmgkxcx 簡化后得：0kcxxxmm令上式中 ， ，就得到有阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2km2cnm220 xnxx式中： 是質(zhì)量塊彈簧系統(tǒng)的固有圓頻率； n 是衰減系數(shù)，其單位為s-1 第15頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)設(shè)特解為txe代入上式得：2220n根據(jù)微分方程220 xnxx22nn解方程得 n ，稱為大阻尼。質(zhì)量塊受初干擾離開平衡位置后又緩慢地回到平衡位置，不可能振動(dòng)； n =，稱為臨界阻尼。 n ，稱為小阻尼。質(zhì)量塊系統(tǒng)受干

7、擾產(chǎn)生振動(dòng)。因此我們只討論這種情況 位移方程的求解第16頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)當(dāng)n 時(shí)，設(shè)1j ，故22njn 將上式代入 中得：txe22ntjn txee將它按歐拉公式展開，得到兩個(gè)特解：221222cossinntntxen txen t將這兩個(gè)特解線性組合，即得通解為22sinntxAen t第17頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由上式可以看出：小阻尼n 時(shí)質(zhì)量塊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為正弦波形；因?yàn)?1 1，所以質(zhì)量塊系統(tǒng)的位移被限制在兩條曲線 和 之間；質(zhì)量塊系統(tǒng)的振動(dòng)隨時(shí)間的增加而逐漸衰減，是衰減振動(dòng)。22sinn txA entntxAentxAe 第18頁/共7

8、9頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)設(shè)初始條件為： ，由此可確定常數(shù)A和 。計(jì)算公式為： ，得：22sinntxAen t衰減振動(dòng)雖然不是真正地周期性運(yùn)動(dòng)，但它仍具有等時(shí)性，因此質(zhì)量塊來回往復(fù)一次所經(jīng)歷的時(shí)間仍然稱為周期，用 表示1T第19頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)111iintnTin tTiAAedeAAeiA1iA阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響主要表現(xiàn)在振幅。設(shè)相鄰兩次振動(dòng)的振幅分別為 和 ，則前后兩次的振幅比為：d 稱為振幅系數(shù)，由上式得：因?yàn)閐 1 ，所以小阻尼自由振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)的規(guī)律迅速衰減。12AAd2132AAAdd11iiiAAAdd第20頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由

9、振動(dòng)例：已知一包裝件產(chǎn)品質(zhì)量m =10kg，緩沖墊等效彈性系數(shù)為k = 100000N/m，將其簡化為有阻尼單自由度模型，設(shè)阻尼比為 。給緩沖墊一個(gè)初始位移x0 =0.01m ，使之從靜止開始振動(dòng)，求振動(dòng)周期、位移方程，并計(jì)算振動(dòng)多少次后的振幅小于初始振幅的5%。解：系統(tǒng)的固有圓頻率為： 得無阻尼固有圓頻率為： 阻尼系數(shù)為： 振動(dòng)周期為： 0.052kfm100/krad sm100 0.055n 220.0631Ts第21頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)又已知初始條件為：x0 =0.01m，v0 = 0得得20020222202000.01tan63.24nxvAxmnxnnxv1.5

10、55 rad由公式 得位移方程為： 22sinntxAen t 50.01sin 99.871.555tx tet0.10.20.30.40.50.6-0.0075-0.005-0.00250.00250.0050.00750.01因?yàn)?， ，所以振幅系數(shù)為： 5n 0.063Ts10.31461.37nTdee1110.05iiAAAd有即要求1209.520.05idi 第22頁/共79頁3、支座運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)設(shè)支座受到初干擾后，系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)，但支座靜止不動(dòng)，這時(shí)支座受到的初位移為 ，初速度為 。令 表示質(zhì)量塊對(duì)支座的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即彈性力得運(yùn)動(dòng)方程為二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)0y0y x

11、ystFkkmg 0mk將 代入上式中得當(dāng) t = 0 時(shí)，2km20 000 xyy 000 xyy得振動(dòng)位移方程為sinAt第23頁/共79頁二、單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)所以振幅為 初相位為因?yàn)?、 均為負(fù)號(hào)，所以初相位應(yīng)取代入位移方程得因?yàn)?，所以得22002yAy00tanyy00sinsinAtAt xy0sinxyyAt由此可見，支座運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)也是簡諧振動(dòng)，自由振動(dòng)開始時(shí)質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方向總是與支座激勵(lì)的方向相反。第24頁/共79頁作業(yè)1. 已知一包裝件的產(chǎn)品質(zhì)量m = 6 kg，緩沖墊等效彈性系數(shù)為k = 600 N/m，作無阻尼自由振動(dòng)，給一個(gè)初始位移 0.04 m，使之從

12、靜止開始振動(dòng)，求其固有頻率、位移方程和最大加速度。2. 已知一包裝件產(chǎn)品質(zhì)量 m = 8 kg，緩沖墊等效彈性系數(shù)為k = 500 N/m，將其簡化為有阻尼單自由度模型，設(shè)阻尼比為 。當(dāng)其作有阻尼自由振動(dòng)時(shí)初始振幅為 A = 0.02 m ，使之從靜止開始振動(dòng)，求振動(dòng)周期、位移方程，并計(jì)算振動(dòng)多少次后的振幅小于初始振幅的10%。0.05第25頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)：有周期性變化的外力（激振力）在振動(dòng)過程中一直作用在系統(tǒng)上，則系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生響應(yīng)。這種由激振力引起的振動(dòng)就是受迫振動(dòng)。涉及的內(nèi)容有：1、支座系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)2、支座系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)第26頁/共79頁式中：ym

13、為最大簡諧激振振幅； p 是簡諧激振圓頻率。在系統(tǒng)振動(dòng)的任一瞬時(shí)，質(zhì)量塊所受的彈性力為：三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)ststyxkkF1、支座系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng) 建立力學(xué)模型： 運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)支座系統(tǒng)作持續(xù)的簡諧運(yùn)動(dòng)：根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：sinmyyptyxkmgkykxmgFmgxm 第27頁/共79頁上式的解是由兩部分組成的：式中： x1 為與運(yùn)動(dòng)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解； x2 為運(yùn)動(dòng)方程的特解。三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)令 化簡得運(yùn)動(dòng)方程為：12xxx2km運(yùn)動(dòng)方程的齊次方程是：若加上初始條件，就成為單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)方程，它的通解就是1sinxAtptyxxms

14、in22 位移方程的求解第28頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)將上式代入質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)微分方程得化簡得2sinmxxpt所以運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為：根據(jù)實(shí)驗(yàn)知道，系統(tǒng)的響應(yīng)頻率與激振頻率相等。因此設(shè)ptyxxmsin22 ptyptxptxpmmmsinsinsin222222pyxmmptpyptxxmmsinsin2222第29頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)因此，運(yùn)動(dòng)微分方程的解（也就是位移方程）為：由于x1 是自由振動(dòng)，在實(shí)際情況中會(huì)很快衰減，故穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的位移方程可寫為：上式表明，系統(tǒng)在外部簡諧力激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)也是簡諧運(yùn)動(dòng)，其頻率與激勵(lì)頻率相同。振幅與系統(tǒng)本身及外部激勵(lì)的性

15、質(zhì)有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)。ptpytAxxxmsinsin22221ptpyxxmsin2222第30頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)的振幅放大系數(shù)振幅的大小反映系統(tǒng)振動(dòng)的強(qiáng)弱，因此要推導(dǎo)振幅放大系數(shù)。系統(tǒng)響應(yīng)圓頻率與系統(tǒng)固有圓頻率之比為：將 改寫成令響應(yīng)振幅與輸入振幅之比為：則上式可寫成如下形式：取為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，畫出一條曲線，稱為幅頻函數(shù)。222pyxmmp222211pyxmmmmyx211mmyx第31頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)頻率等于激振頻率，都是 ； 式 為放大系數(shù)，也叫幅頻函數(shù)；2p 放大系數(shù)中 表示激振頻率與系統(tǒng)固有頻率之比。當(dāng) 時(shí)

16、， ，這種現(xiàn)象叫共振，這時(shí)響應(yīng)加速度也趨于無窮大，從而振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)力也趨于無窮大，所以一般振動(dòng)破壞都發(fā)生在產(chǎn)生共振的時(shí)刻。mpff1 211mmyx第32頁/共79頁支座系統(tǒng)無阻尼受迫振動(dòng)的加速度與速度激振輸入的最大加速度為：響應(yīng)的最大加速度為：所以響應(yīng)最大加速度與輸入最大加速度之比為：同理，響應(yīng)速度與輸入速度的關(guān)系為： 三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)mxmmymxpaypa22mmmmymxmyxypxpaa22mmymxmyxvv第33頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)例：有一包裝件，產(chǎn)品質(zhì)量為m = 1kg，襯墊的彈性系數(shù)為k = 200N/m。將其放置在振動(dòng)臺(tái)上做實(shí)驗(yàn)，振動(dòng)臺(tái)輸入的激振頻率為

17、2.5Hz，最大輸入加速度為0.01g，求產(chǎn)品響應(yīng)的最大位移和最大加速度值。解：包裝件的固有頻率為： 已知f = 2.5Hz，所以 放大系數(shù)為： 式中負(fù)號(hào)表示輸入與輸出方向相反12.252mkfm2.51.112.25mpff214.261 第34頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)最大響應(yīng)加速度為：因?yàn)?， ，所以最大位移為：2xmmax p2pf4.26 0.010.426xmymaagg mpaxxmm017. 02第35頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)2、支座系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng) 建立力學(xué)模型： 運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)支座作持續(xù)的簡諧運(yùn)動(dòng)：式中： 為外部激勵(lì)的最大振幅； 是外部激勵(lì)的振動(dòng)圓頻率。

18、在系統(tǒng)振動(dòng)的任一瞬時(shí)，物塊所受的彈性力為：質(zhì)量塊所受的阻尼力為： 根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為：化簡得：sinmyyptRc xy222sin2cosmmxnxxyptnpyptmypststyxkkFyxcyxkRmgFxm 第36頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)為將上式等號(hào)的右邊化簡成一個(gè)正弦函數(shù)的形式，令242224222tan2sin4cos4npnpn pn p運(yùn)動(dòng)微分方程就化成：242224sinmxnxxyn ppt第37頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)再令12xxx4224mbyn ptp 運(yùn)動(dòng)微分方程又可化成：22sinxnxxbp上式的解是由兩部分組成的：

19、相對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解是：221sinnxAen由于阻尼的影響，上式很快衰減。 是穩(wěn)態(tài)的強(qiáng)迫振動(dòng)的特解，設(shè)其為將其代入式 ，得2sinmxxp22sinxnxxbp1x2x第38頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)因?yàn)?可表示為22sin2coscossinsincosmmpxpnpxpbpp 22sin2cossinmmpxpnpxpbp sin psinsincossinsincospppp 將其代入本頁最上面公式中式中化簡得：22cossin2sincos0mmpxbpnpxbp 第39頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)因?yàn)樵谡駝?dòng)的任一瞬時(shí)，上式都成立。所以 前的系數(shù)都應(yīng)為 0 。即：si

20、n pcos p22cos02sin0mmpxbnpxb 從而求得：222222242tanmbxpn pnpp 第40頁/共79頁將式 代入式 ，就得到質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅公式：三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)令 ，再將 代入得 tp 2sinmxxpsinmxxpt式中： xm 為質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅； 為質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)外部激勵(lì)的相位差。4224mbyn p222224mbxpn p4222222244mmn pxypn p第41頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)同理將式242224222tan2sin4cos4npnpn pn p222tannpp 可得到質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的相位差的

21、正切為：3222222tan4nppn ptantan() 代入第42頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)支座受迫振動(dòng)的放大系數(shù)與幅頻函數(shù)令響應(yīng)振幅與輸入振幅之比為：系統(tǒng)響應(yīng)圓頻率與系統(tǒng)固有圓頻率之比為：阻尼比為：于是系統(tǒng)的幅頻函數(shù)為：mmxypn2222221414mmxy 為了便于分析，取 為參變量，取為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，繪出一系列不同 的 曲線，就是幅頻特性曲線。第43頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)的幅頻特性曲線第44頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)由上圖可看出如下規(guī)律： 當(dāng)= 0 時(shí)， = 1 ，即各條 曲線有共同的起點(diǎn)；當(dāng)= 時(shí)，又有 = 1 ，即各條 曲線相交于這個(gè)公共

22、點(diǎn)。 當(dāng)0 時(shí)，1，且 曲線有最大值；當(dāng) 較小而又接近于 1 時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的振動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為共振。 當(dāng) 時(shí)，放大系數(shù)小于 1 ，并逐漸趨于 0 ，即激振頻率越高系統(tǒng)響應(yīng)振幅越小。所以對(duì)包裝件來說，損壞基本都發(fā)生在低頻區(qū)域。222第45頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)為求共振時(shí)的放大系數(shù)，令 ，求導(dǎo)得：0dd2011 812共振時(shí)的頻率比為：將上式代入幅頻函數(shù)中，就可求得max 。當(dāng) 不是很大時(shí)當(dāng) 很小時(shí)（ 0.15） 時(shí)，可近似取2max1 42max12可見max隨 的增加而減小，所以增加阻尼是降低共振振幅的主要措施。第46頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)相頻曲線將 ， 代入得：

23、pn3222222tan4nppn p32222tan14 根據(jù)上式繪出曲線，稱為相頻特性曲線。在 較小的情況下， 曲線在= 1 時(shí)有突變，這一特征可用于測(cè)試系統(tǒng)的共振頻率。時(shí)， 曲線無共同的漸近線；在 1的區(qū)間內(nèi)， 值越大，值 越小。第47頁/共79頁加速度曲線支座在簡諧激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為所以支座的輸入加速度為質(zhì)量塊在簡諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)為所以質(zhì)量塊的響應(yīng)加速度為三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)sinmyypt2sinmyp ypt 2mmyp ysinmxxpt2sinmxp xpt 2mmxp x所以22mmmmmmxp xxyp yy第48頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)例：設(shè)有一個(gè)包裝件系統(tǒng)

24、，其固有頻率f = 30Hz，阻尼比 ，試求這個(gè)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)的激振頻率；已知外部激勵(lì)振幅為0.8cm，試求系統(tǒng)共振時(shí)的振幅；當(dāng)阻尼比 時(shí)，再次求系統(tǒng)共振時(shí)的振幅。解：系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)的頻率比為 0.250.12011 810.952 系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)的激振頻率為當(dāng) 時(shí)，共振時(shí)的放大系數(shù)為028.5mffHz0.252max1 42.242第49頁/共79頁三、支座系統(tǒng)的受迫振動(dòng)系統(tǒng)共振時(shí)的振幅為當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)共振時(shí)的放大系數(shù)為系統(tǒng)共振時(shí)的振幅為由此可見，阻尼能有效地衰減振動(dòng)的幅度。max1.79mmxycmmax4mmxycm0.1max152第50頁/共79頁1. 試根據(jù)無阻尼受迫振動(dòng)放大系數(shù)與

25、關(guān)系圖分析：當(dāng) 1、 = 1、 1這三種情況下放大系數(shù)的特點(diǎn)。2. 試根據(jù)有阻尼受迫振動(dòng)的幅頻特性曲線分析：當(dāng)= 0 、 0 、= 、 這四種情況下幅頻特性曲線的特點(diǎn)。3.有一包裝件，產(chǎn)品質(zhì)量為m = 2 kg，襯墊的彈性系數(shù)為k = 600N/m。將其放置在振動(dòng)臺(tái)上做實(shí)驗(yàn)，振動(dòng)臺(tái)輸入的激振頻率為3Hz，最大輸入加速度為0.02g，求產(chǎn)品響應(yīng)的最大加速度值。作業(yè)222第51頁/共79頁作業(yè)1. 一個(gè)包裝件系統(tǒng)，其固有頻率 f = 20Hz，阻尼比 ，試求這個(gè)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)的激振頻率；已知外部激勵(lì)振幅為0.5cm，試求系統(tǒng)共振時(shí)的振幅；當(dāng)阻尼比 時(shí)，再次求系統(tǒng)共振時(shí)的振幅。2.有一包裝件，產(chǎn)品質(zhì)

26、量為m = 4 kg，襯墊的彈性系數(shù)為k = 800N/m。阻尼比為 ，試求這個(gè)系統(tǒng)共振時(shí)的激振頻率；當(dāng)外部激勵(lì)振幅為0.2cm時(shí)，求系統(tǒng)共振時(shí)的振幅。3.單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)有什么區(qū)別？4. 將一個(gè)固有頻率為 fm =16 Hz ，阻尼比為 的有阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固定在作簡諧振動(dòng)的振動(dòng)臺(tái)上，其激振頻率為 f =12 Hz ，最大加速度為1g，求： 振動(dòng)臺(tái)運(yùn)動(dòng)的振幅 ym ； 放大系數(shù)； 產(chǎn)品響應(yīng)最大位移 xm ； 產(chǎn)品響應(yīng)最大加速度 。0.20.10.250.1mx 第52頁/共79頁四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)建立力學(xué)模型質(zhì)量塊1：靜變形 彈性力質(zhì)量塊2：靜變形 彈性力所以得運(yùn)動(dòng)方

27、程質(zhì)量塊1質(zhì)量塊211111 112stFkxk xm gm g 1211stm gm gk222stm gk222stFkx 21xxx因?yàn)? 122121222122m xk xkkxm xk xk x1 11212222222100m xkkxk xm xk xk xgmxkxkF212222第53頁/共79頁四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率設(shè)方程組的特解為代入方程組中得將上式換成矩陣形式A1、A2有非零解的必要條件是111222sinsinxAtxAt212112222122200kkmAk Ak AkmA211212222220AkkmkAkkm2121222220kkmkkk

28、m第54頁/共79頁四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)按線性方程解2221212121222222220kkmkkkmkmkkkkm 得4212212121120kkkk kmmmm m解上式得221221221212112112142kkkkkkk kmmmmmmm m由上式可以看出： 系統(tǒng)的固有頻率完全取決于系統(tǒng)的彈性和慣性，與初干擾無關(guān)，因此系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率 、 ； 設(shè) ，所以稱 為第一固有頻率， 為第二固有頻率。1n1n2n2n12nn第55頁/共79頁四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)系統(tǒng)的主振型將方程組改寫成然后將 、 分別代入式中，并設(shè) 和 為兩個(gè)振幅之比，得212112222122200kk

29、mAk Ak AkmA21222221212AkkmAkkmk1n2n 12221121211211222222212222121222nnnnkmAkrkkmkAkmAkrkkmkA1r2r第56頁/共79頁四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由此可以看出： 和 的性質(zhì)與 和 相同，因此稱為系統(tǒng)的主振型； 當(dāng)系統(tǒng)以 振動(dòng)時(shí)，兩個(gè)振幅之比必等于 ； 當(dāng)系統(tǒng)以 振動(dòng)時(shí)，兩個(gè)振幅之比必等于 。1r2r1n2n2n1n1r2r系統(tǒng)的振幅與初相位兩個(gè)主振型是方程組 的兩個(gè)特解，其組合就是通解，所以得111222sinsinxAtxAt 222211122222111111sinsinsinsintAtAxtAt

30、Axnnnn第57頁/共79頁對(duì)通解方程組求導(dǎo)，得兩質(zhì)量塊的速度方程組當(dāng) t = 0 時(shí)，所以，通解方程組可改寫為速度方程組可改寫為四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2222211121222212111111coscoscoscostAtAxtAtAxnnnnnnnn101101xxxx 202202xxxx 2022221121210221211111coscoscoscosxAAxxAAxnnnn 202221122102211111sinsinsinsinxAAxxAAx第58頁/共79頁解得的振幅必須滿足 的條件，由此可得二自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的振幅和初相位。四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 22

31、21212111AArAAr二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為： 二自由度系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率，每個(gè)固有頻率都對(duì)應(yīng)有一個(gè)主振型，每個(gè)主振型都有確定的振幅比； 一般情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)是兩個(gè)不同頻率的簡諧振動(dòng)的疊加，疊加后就不再是簡諧振動(dòng)，也不是周期運(yùn)動(dòng)。第59頁/共79頁四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)例 設(shè)一個(gè)二自由度系統(tǒng)，k1 = k2 = k，m1 = m2 = m，當(dāng) t = 0時(shí)，x1 = x2 = 0， ， ，試分析這個(gè)系統(tǒng)的自由振動(dòng)。解：求出系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率求系統(tǒng)的兩個(gè)主振型101xx 02x 2222249321mkmkmkmkmknn618. 2382. 02221120.6181.618

32、nnkmkm618. 1618. 2212618. 0382. 0212222211nnmkkrmkkr 1211618. 0AA 2221618. 1AA所以得第60頁/共79頁四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)求系統(tǒng)的振幅與初相位 0sinsin0sinsin222112221111AAAA 0coscoscoscos222211211022121111AAxAAnnnn將前面求得的參數(shù)代入上面的方程組中，得 kmxAkmxA1021101121447. 0447. 000 kmxAkmxA10221012276. 0724. 0第61頁/共79頁四、二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)求兩質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律km

33、xtmktmkxkmxtmktmkx102101618. 1sin276. 0618. 0sin724. 0618. 1sin447. 0618. 0sin447. 0運(yùn)動(dòng)波形如圖所示第62頁/共79頁1、二自由度支座系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng)建立力學(xué)模型激擾力的變形質(zhì)量塊1：靜變形 彈性力 其中 所以得質(zhì)量塊2：靜變形 彈性力 其中 ，所以得五、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)1211stm gm gk111stFk 11 1112Fk xk ym gm g 222stm gk222212Fk xk xm g222stFkx 21xxx1xysinmyypt第63頁/共79頁五、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)

34、方程質(zhì)量塊1質(zhì)量塊21 11122122221m xkxykxxm xkxx 1 1121221222221sin0mm xkkxk xk yptm xk xk x 振幅與放大系數(shù)設(shè)方程組的特解為代入方程組中得111222sinsinmmxxtxxt212112212212220mmmmmkkm pxk xk yk xkm px第64頁/共79頁五、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)將上式換成矩陣形式設(shè)所以 的兩個(gè)根也是系統(tǒng)的固有頻率 、 。故得2111212222220mmmxk ykkm pkxkkm p120Dm m1n2n222212121210nnm mppm m22221212nnDm mpp

35、21212122211421222222121mmkkpmkmkmkpmmpmkkkpmkkD第65頁/共79頁五、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)同理，設(shè)由此得系統(tǒng)中兩質(zhì)量塊的振幅為12211222220mmk ykDk ykm pkm p2121121220mmkkm pk yDk k yk21221122221212mmnnkkm pyDxDm mpp122222221212mmnnk k yDxDm mpp第66頁/共79頁因?yàn)?、 、 、 都是系統(tǒng)的固有頻率，而 為激振頻率，所以二自由度系統(tǒng)的幅頻曲線方程用 、 表示。五、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)設(shè)兩質(zhì)量塊的放大系數(shù)為 、因?yàn)樗缘?H2H111

36、km222km2222122121122222222121212mmnnnnkkm ppxHym mpppp2221212222222222121212mmnnnnxk kHym mpppp 1n2n12p 11HHp 22HHp第67頁/共79頁從圖中可以看出： 因?yàn)?，所以當(dāng) p = 0 時(shí)，H11，H21，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)； 當(dāng) 和 時(shí)， ， ，這時(shí)出現(xiàn)共振現(xiàn)象。由于系統(tǒng)的固有頻率有兩個(gè)，所以通常的兩個(gè)共振區(qū)； 當(dāng) 時(shí)，H10， ，此時(shí)質(zhì)量塊1處于平衡，只有質(zhì)量塊2在振動(dòng)，相當(dāng)于一個(gè)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)； 當(dāng) p 后， H1、 H2均趨于零，此區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)。五、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)2

37、n22221212nn 1np2np1H 2H 2p122kHk第68頁/共79頁2、二自由度支座系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng)建立力學(xué)模型激擾力的變形質(zhì)量塊1：靜變形 彈性力 阻力質(zhì)量塊2：靜變形 彈性力 阻力五、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)1211stm gm gk1111 1112stFkk xk ym gm g 111RCxy222stm gk2221RCxx22222212stFkxk xk xm g sinmyypt第69頁/共79頁因?yàn)樗粤畲肷鲜降梦?、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)量塊1質(zhì)量塊21 1112211122122221221m xkxykxxCxyCxxm xkxxCxx 1 112112122221122222221210m xCCxkkxC xk xk yC ym xC xk xC xk xsinmyypt1111sincosmmk yC yk yptC pypt122211sinC pkC p122211coskkC p2221111sinmk yC yykC ppt第70頁/共79頁五、二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)令代入上式得所以得到運(yùn)動(dòng)方程的最終化簡為 穩(wěn)態(tài)振幅與放大系數(shù)使用復(fù)指數(shù)函數(shù)替代原函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅為其中111222sins