Hermit插值學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1Hermit插值插值第一頁，共28頁。第五章插值與逼近(bjn)第1頁/共28頁第二頁，共28頁。不少實際問題不但要求在節(jié)點(ji din)上函數(shù)值相等，而且還要求它的導(dǎo)數(shù)值也相等（即要求在節(jié)點(ji din)上具有一階光滑度），甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項式就是埃爾米特（Hermite）插值多項式。Hermite插值插值第2頁/共28頁第三頁，共28頁。011niiNnmNH x 以以上上總總共共有有個個插插值值條條件件，要要求求構(gòu)構(gòu)造造不不低低于于次次插插值值函函數(shù)數(shù) （ ）滿滿足足以以上上插插值值條條件件。第3頁/共28頁第四頁，共28頁。第4頁/共28頁第五頁

2、，共28頁。001 02110 110H xxHHxHH 求求一一個個三三次次插插值值多多項項式式（ ），使使 時時， （ ）， （ ）； 時時， （） ， （）例例第5頁/共28頁第六頁，共28頁。第6頁/共28頁第七頁，共28頁。HermiteHermite插值多項式的構(gòu)造插值多項式的構(gòu)造(guzo)(guzo)2122121210.(.)1nnnnnHxaxaxa xa 設(shè)設(shè)由由待待定定系系數(shù)數(shù)法法插插值值條條件件012212222,.,.nnnna aaa 共共個個方方程程，可可求求出出個個系系數(shù)數(shù)niyxHyxHiiniin，210)()(1212 第7頁/共28頁第八頁，共28頁。

3、Hermite插值多項式的構(gòu)造插值多項式的構(gòu)造(guzo)2121()0 1 2()niiniiHxyinHxy 使使其其滿滿足足插插值值條條件件， ， ，2100( )( )() 2)nniniiiiiHxh x yhLagrangex y 型型插插設(shè)設(shè)HermiteHermite插插值值多多項項式式為為值值基基函函數(shù)數(shù)法法第8頁/共28頁第九頁，共28頁。( )(1) ( )2111(2) ().( )(00 ()0(0 1 2,1,2, )iiiijijijh xh xnhijh xijhxinjnx i 應(yīng)應(yīng)滿滿足足條條件件：應(yīng)應(yīng)是是次次多多項項式式；， ， ， ，構(gòu)構(gòu)造造0()2(

4、)()( )()( )njijijj iiixxLagrangel xxxh xaxb lx 利利用用插插值值基基函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)22()() ()1()()2() () ()0iiiiiiiiiiiiiih xaxb lxhxalxaxb lx l x 由由條條件件(2)(2)可可列列出出方方程程組組第9頁/共28頁第十頁，共28頁。()1,1,2 ()0iiiiil xaxbal x 200()()( )(12() ()()(0,1,2,)1( )(),()()iiiiiinnjiiijjijijj ij ih xxx l xlxinxxl xlxxxxx 所所以以其其中中2 ()12()ii

5、i iial xbx l x 解解出出22()() ()1()()2() () ()0iiiiiiiiiiiiiih xaxb lxhxalxaxb lx l x 由由條條件件(2)(2)可可列列出出方方程程組組第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。( )(1)2.( )211(2) ()0()0(0 1 2( ),(0),1,2, )iiijijiijh xh xnijhxh xinijh xijn 應(yīng)應(yīng)滿滿足足條條件件：應(yīng)應(yīng)是是次次多多項項式式；， ， ， ，構(gòu)構(gòu)造造2( )()( )iih xcxd lx設(shè)設(shè)22()() ()0 ()()2() () ()1iiiiiiiiiiiiiih

6、 xcxd lxhxclxcxd lx l x 由條件(2)可列出方程組由條件(2)可列出方程組第11頁/共28頁第十二頁，共28頁。2120( )( )( )(12() ()() ( )iinniiiiiiiih xh xHxxx lxyxxy lx 代代入入和和經(jīng)經(jīng)整整理理得得到到2()1,0,11( )() ( )iiiiiiil xcxdccdxh xxx lx 解解出出于于是是求求出出22()() ()0 ()()2() () ()1iiiiiiiiiiiiiih xcxd lxhxclxcxd lx l x 由條件(2)可列出方程組由條件(2)可列出方程組第12頁/共28頁第十三頁

7、，共28頁。12121233331122112232111112,1,21,2( )( )( ) ( ) ( )12( )1iiiixxyyyyHermiteHxHxyiHxyiHxh x yh x yh x yh x yHermiteHxh xxxl xlxh x 在在節(jié)節(jié)點點 和和上上已已知知和和。試試構(gòu)構(gòu)造造兩兩點點三三次次插插值值多多項項式式 （ ）滿滿足足條條件件（ ）（ ）（ ）由由插插值值基基函函數(shù)數(shù)的的一一般般形形式式，用用于于兩兩點點三三次次 （ ）上上，有有（）（ ） （ ）解解（例例：22222211122222( )( )xxlxlxh xxxlxh xxxlx （）（

8、 ） （ ）（） （ ）（） （ ）211121212221211( )( )1( )( )xxlxlxxxxxxxlxlxxxxx 其其中中，第13頁/共28頁第十四頁，共28頁。2212211121121222211222122121( )1 2( )( )1 2( )xxxxxxh xh xxxxxxxxxxxxxxxh xh xxxxxxxxx 代代入入后后得得到到（）（） ，（）（）（）（） ，（）（）311221122( )( )( ) ( ) Hxh x yh x yh x yh x y（ ）第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。第15頁/共28頁第十六頁，共28頁。170000

9、01110(),(),().f xcfxcf xc 0 x0 x1x00c00c10c001,f x x x01,f x x00,f x x1010000000101101001001000010012101010200000010( )0100()(),(),.,.()( )(),(),()1,( ),!kkf xf xccf xxfxcf xxxxxxf xxf xxcccf xxxxxxxxxp xf xf xxxxf xxxxxf xxxff xxk由 ( )0011()!kkxfxk第16頁/共28頁第十七頁，共28頁。18(1)2,(1)3,(2)6,(2)7,(2)8.fffff

10、 1 2 1 2 3 2 6 4 1 2 6 7 3 2 2 6 7 4 1 1(2)22221,()42!f x x xfx2222( )23(1)(1)2(1) (2)(1) (2)p xxxxxxx第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。1913131(),( ),( )1,(2)3.24242ffff -0.5 -0.75 0.5 -0.75 0 0.5 -0.75 1 1 2 3 2.5 1 023311( )()()1422p xxxx 第18頁/共28頁第十九頁，共28頁。第19頁/共28頁第二十頁，共28頁。1. 1.問題問題(wnt)(wnt)的提法的提法01331,331()

11、()0 1( )(1)( ) , ;,(3)(),()(0,1, )niiiihhiihhiiiinxxxyf xyfxinHermiteHxHxCa bx xHxyHxy in 設(shè)設(shè)個個插插值值節(jié)節(jié)點點 ， ，。已已知知在在節(jié)節(jié)點點上上的的函函數(shù)數(shù)值值和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值， ， ， 。分分段段三三次次插插值值多多項項式式應(yīng)應(yīng)滿滿足足條條件件：(2)(2)在在局局部部的的每每個個小小區(qū)區(qū)間間上上是是三三次次多多項項式式；定定義義: :。分段三次分段三次HermiteHermite插值多項式存在插值多項式存在(cnzi)(cnzi)唯一唯一第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。300( )( )(

12、 )nnhiiiiiiHermixx yeHytx 分分段段三三次次插插值值多多項項式式的的一一般般形形式式2.2.分段分段(fn dun)(fn dun)三次三次HermiteHermite插值的表達式插值的表達式( )( )iixixi 是是對對應(yīng)應(yīng)于于第第 個個節(jié)節(jié)點點函函數(shù)數(shù)的的基基函函數(shù)數(shù), ,是是對對應(yīng)應(yīng)于于第第 個個節(jié)節(jié)點點導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的基基函函數(shù)數(shù), ,( )(),()0( ,0,1,2, )iijijijxxxi jn 應(yīng)應(yīng)滿滿足足: :(1)(1)分分段段三三次次多多項項式式，(2)(2)，( )()0,()( ,0,1,2, )iijijijxxxi jn 應(yīng)應(yīng)滿滿足足:

13、:(1)(1)分分段段三三次次多多項項式式，(2)(2)，第21頁/共28頁第二十二頁，共28頁。01211110,( )1 2,nnnnnnnnnnxx xa xxxxxxxxxxxx （）（）2111121111111,2,(1)(12)(),( )(12)(),0,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiinxxxxxxxxxxxxxxxaxxx xxxxxxxx 時時；2010110010112(),( )0,nxxxxxxxxxxxxxxx 具具體體形形式式如如下下：（）第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。21112111111,2,(1)()(),()()(),0,iiiiiii

14、iiiiiiiiinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 時時；0121110 ,( ),nnnnnnnnxx xxx xx xxxxxx （）（）210010101,( )0,nxxxxxx xxxxxx x （）（）第23頁/共28頁第二十四頁，共28頁。3.3.分段分段(fn dun)(fn dun)三次三次HermiteHermite插值的余項插值的余項定理：設(shè)定理：設(shè)f(x)在在a,b上有四階連續(xù)上有四階連續(xù)(linx)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)f(4)(x) ， 且且| f(4)(x) | m4, 記：記： h = max |xi+1-xi|,就有估就有估計：計：4(4)34 , |( )|

15、( )( )max |( )|4!2hhxa bhRxf xHxf 131111,( )( )( )( )( )iihiiiiiiiixx xHxx yx yx yx y 在在上上的的表表達達式式第24頁/共28頁第二十五頁，共28頁。13.8100.38.hh 最最大大步步長長 應(yīng)應(yīng)取取4( )cos1102hf xxHermite 考考慮慮構(gòu)構(gòu)造造一一個個函函數(shù)數(shù)的的等等距距節(jié)節(jié)點點函函數(shù)數(shù)表表，要要使使分分段段三三次次插插值值的的誤誤差差不不大大于于，最最大大步步長長 應(yīng)應(yīng)例例：取取多多大大？4(4)4 , |( )|max |( )|4!2hxa bhRxf 解解：(4)(4)( )cos ,|( )| 1fxxfx4444441|( )|1012 2104!22hhRxh第25頁/共28頁第二十六頁，共28頁。 上面介紹的分段低次插值，雖然具有計算簡便上面介紹的分段低次插值，雖然具有計算簡便(jinbin)，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它卻不能保證整條曲線的光計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不