2022年經典九年級中考二次函數(shù)知識點總結[1],推薦文檔

1、1 二次函數(shù)知識點一、二次函數(shù)概念：1 二次函數(shù)的概念： 一般地，形如2yaxbxc （ abc， ， 是常數(shù)，0a） 的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)0a，而 bc， 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)2yaxbxc的結構特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x 的二次式，x 的最高次數(shù)是2abc， ， 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c 是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：2yax 的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。2. 2yaxc 的性質：上加下減。3. 2ya xh的性質：左加右減。a的符號開口方

2、向頂點坐標對稱軸性質0a向上00，y軸0 x時，y隨 x 的增大而增大；0 x時，y隨x 的增大而減??；0 x時，y有最小值00a向下00，y軸0 x時，y隨 x 的增大而減??；0 x時，y隨x 的增大而增大；0 x時，y有最大值0a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質0a向上0c，y軸0 x時，y隨 x 的增大而增大；0 x時，y隨x 的增大而減小；0 x時，y有最小值 c 0a向下0c，y軸0 x時，y隨 x 的增大而減?。? x時，y隨x 的增大而增大；0 x時，y有最大值 c a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質0a向上0h，x=h xh時，y隨 x 的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減

3、?。粁h時，y有最小值00a向下0h，x=h xh時，y隨 x 的增大而減小；xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y有最大值0精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -2 4. 2ya xhk 的性質：三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉化成頂點式2ya xhk ，確定其頂點坐標hk，； 保持拋物線2yax 的形狀不變

4、，將其頂點平移到hk，處，具體平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0) 【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|個單位y=a (x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移” 概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二：cbxaxy2沿y軸平移 :向上（下）平移m個單位，cbxaxy2變成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿軸平移：向左（右）平移m個單位，cbxaxy2變成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二

5、次函數(shù)2ya xhk與2yaxbxc的比較從解析式上看，2ya xhk 與2yaxbxc是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質0a向上hk，x=h xh時，y隨 x 的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減??；xh時，y有最小值k0a向下hk，x=h xh時，y隨 x 的增大而減??；xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y有最大值k精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料

6、 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -3 五、二次函數(shù)2yaxbxc圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)2yaxbxc化為頂點式2()ya xhk，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、 與y軸的交點0c，、以及0c，關于對稱軸對稱的點2hc，、與 x 軸的交點10 x ，20 x ，（若與 x 軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）. 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y軸的交點 . 六、二次

7、函數(shù)2yaxbxc的性質1. 當0a時，拋物線開口向上，對稱軸為2bxa，頂點坐標為2424bacbaa，當2bxa時，y隨 x 的增大而減??；當2bxa時，y隨 x 的增大而增大；當2bxa時，y有最小值244acba2. 當0a時，拋物線開口向下，對稱軸為2bxa，頂點坐標為2424bacbaa，當2bxa時，y隨x 的增大而增大；當2bxa時，y隨 x 的增大而減??；當2bxa時，y有最大值244acba七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a，b， c 為常數(shù)，0a） ；2. 頂點式：2()ya xhk （ a，h，k為常數(shù)，0a） ；3. 兩根式：12()()

8、ya xxxx（0a，1x ，2x 是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即240bac時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1. 二次項系數(shù)a二次函數(shù)2yaxbxc中， a作為二次項系數(shù)，顯然0a 當0a時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a 的值越小，開口越大； 當0a時，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a 的值越大，開口越大總結起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開

9、口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸 在0a的前提下，當0b時，02ba，即拋物線的對稱軸在y軸左側；當0b時，02ba，即拋物線的對稱軸就是y軸；當0b時，02ba，即拋物線對稱軸在y軸的右側精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -4 在0a的前提下，結論剛好與上述相反，即當

10、0b時，02ba，即拋物線的對稱軸在y軸右側；當0b時，02ba，即拋物線的對稱軸就是y軸；當0b時，02ba，即拋物線對稱軸在y軸的左側總結起來，在a 確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置ab的符號的判定：對稱軸abx2在y軸左邊則0ab，在y軸的右側則0ab，概括的說就是“左同右異”總結：3. 常數(shù)項 c 當0c時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正； 當0c時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0； 當0c時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負總結起來，c 決定了拋物線與y軸交點的位置總之，只要abc， ，

11、都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與x 軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關于 x 軸對稱2yaxbxc關于 x 軸對稱后，得到的解析式是2yaxbxc ；2y

12、a xhk 關于 x 軸對稱后，得到的解析式是2ya xhk ；2. 關于y軸對稱2yaxbxc關于y軸對稱后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 關于y軸對稱后，得到的解析式是2ya xhk ；3. 關于原點對稱2yaxbxc關于原點對稱后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 關于原點對稱后，得到的解析式是2ya xhk ；4. 關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180）2yaxbxc關于頂點對稱后，得到的解析式是222byaxbxca；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 10 頁 - - - - -

13、 - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -5 2ya xhk 關于頂點對稱后，得到的解析式是2ya xhk 5. 關于點mn，對稱2ya xhk 關于點mn，對稱后，得到的解析式是222ya xhmnk根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a 永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后

14、再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）：一元二次方程20axbxc是二次函數(shù)2yaxbxc 當函數(shù)值0y時的特殊情況 . 圖象與 x 軸的交點個數(shù)： 當240bac時，圖象與x 軸交于兩點1200a xb x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的兩根這兩點間的距離2214bacabxxa. 當0時，圖象與x軸只有一個交點； 當0時，圖象與x軸沒有交點 . 1當0a時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數(shù)，都有0y；2當0a時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數(shù)，都有0y2. 拋物

15、線2yaxbxc 的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0 ，)c ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結： 求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)2yaxbxc 中 a ，b， c 的符號，或由二次函數(shù)中a，b， c 的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合； 二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式2(0)axbxc a本身就是所含字母x 的二次函數(shù)；下面以0

16、a時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)系：0拋物線與x 軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根0拋物線與x 軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根0拋物線與x 軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -6 圖像參考

17、：y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -7 十一、函數(shù)的應用二次函數(shù)應用剎車距離何時獲得最

18、大利潤最大面積是多少二次函數(shù)考查重點與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數(shù)2)2(22mmxmy的圖像經過原點，則m的值是2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)bkxy的圖像在第一、 二、三象限內， 那么函數(shù)12bxkxy的圖像大致是 （） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x a b c d 3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋

19、物線經過(0,3) ， (4,6) 兩點，對稱軸為35x，求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如：已知拋物線2yaxbxc （a0）與 x 軸的兩個交點的橫坐標是1、3，與 y 軸交點的縱坐標是32（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題?！纠}經典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例 1 （1）二次函數(shù)2yaxbxc 的圖像如圖1，則點),(acbm在（） a第一象限 b第二象限 c 第三象限 d 第四象限（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c

20、（a0）的圖象如圖2 所示， ?則下列結論：a、b 同號；當x=1和 x=3 時，函數(shù)值相等；4a+b=0；當 y=-2 時， x 的值只能取0. 其中正確的個數(shù)是（）a1 個 b2 個 c3 個 d4 個精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -8 (1) (2) 【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c 之間的關系，是解決問題的關鍵例 2.

21、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象與x 軸交于點 (-2 ， o)、(x1，0) ，且 1x12，與 y 軸的正半軸的交點在點 (o，2) 的下方 下列結論： abo ；4a+co，其中正確結論的個數(shù)為( ) a 1個 b. 2個 c. 3個 d 4 個答案： d 會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 3.已知： 關于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一個根為x=-2 ，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為( ) a(2，-3) b.(2，1) c(2，3) d(3， 2) 答案： c 例 4、 （2006 年煙臺市）如圖（單位：m ） ，等腰

22、三角形abc以 2 米/秒的速度沿直線l 向正方形移動，直到ab與 cd重合設x 秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（1）寫出 y 與 x 的關系式；（2）當 x=2，3.5 時， y 分別是多少？（3） 當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、對稱軸 . 例 5、已知拋物線y=12x2+x-52（1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸（2）若該拋物線與x 軸的兩個交點為a、b，求線段ab的長【點評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關系例 6.已知： 二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經過

23、點p(4， 10) ， 交 x 軸于)0,(1xa，)0,(2xb兩點)(21xx，交 y 軸負半軸于c點，且滿足3ao=ob (1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 在二次函數(shù)的圖象上是否存在點m ，使銳角 mco aco? 若存在，請你求出m點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你說明理由(1) 解：如圖拋物線交x 軸于點 a(x1，0) ，b(x2 ，o)，則 x1x2=30，又 x1o ，x1o ， 30a=ob ， x2=-3x1x1x2=-3x12=-3 x12=1. x10， x1=-1 x2=3點 a(-1 ， o)，p(4，10) 代入解析式得解得a=2 b=3 二次函數(shù)的解析式為y

24、-2x2-4x-6 (2) 存在點 m使 mc0 aco (2) 解：點 a關于 y 軸的對稱點a(1 ，o)，直線 a，c解析式為 y=6x-6 直線 ac 與拋物線交點為(0 ，-6) ，(5 ，24) 符合題意的x 的范圍為 -1x0 或 ox5 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -9 當點 m的橫坐標滿足-1xo 或 ox aco

25、 例 7、 “已知函數(shù)cbxxy221的圖象經過點a（c， 2） ，求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。 ”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。（ 1）根據(jù)已知和結論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。（ 2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。點評：對于第（ 1）小題，要根據(jù)已知和結論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當作已知來用，再結合條件“圖象經過點a（c， 2） ” ，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未

26、知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。 解答 （1）根據(jù)cbxxy221的圖象經過點a （c， 2） ，圖象的對稱軸是x=3，得,3212,2212bcbcc解得.2,3cb所以所求二次函數(shù)解析式為.23212xxy圖象如圖所示。（ 2）在解析式中令y=0，得023212xx，解得.53,5321xx所以可以填“拋物線與x 軸的一個交點的坐標是（3+)0 ,5”或“拋物線與x

27、軸的一個交點的坐標是).0,53(令 x=3 代入解析式，得,25y所以拋物線23212xxy的頂點坐標為),25,3(所以也可以填拋物線的頂點坐標為)25,3(等等。函數(shù)主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關注函數(shù)與相關知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例 1 已知邊長為4 的正方形截去一個角后成為五邊形abcde （如圖），其中 af=2，bf=1試在 ab上求一點p，使矩形pndm 有最大面積【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可