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1、第第7章章 常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解法7.1 引言引言7.2 尤拉方法尤拉方法7.3 龍格龍格庫(kù)塔法庫(kù)塔法7.4 收斂性和穩(wěn)定性收斂性和穩(wěn)定性7.1 引引 言言常微分方程(ordinary differential equation ODE)的求解: 分離變量法、齊次方程的求解、可降階高階微分方程求解特殊類型的微分方程。微分方程的近似解法:(1)近似解析法:逐次逼近法、級(jí)數(shù)解法(2)數(shù)值解法:求離散點(diǎn)上的近似值。定解問(wèn)題:微分方程定解條件(初值條件、邊界條件)分別稱為初值問(wèn)題和邊值問(wèn)題。00( , )(7 1)()(72)yf x yaxby xy 一階常微分方程
2、的初值問(wèn)題:1212( , )( , ),()( ,)( ,)(7-1)(7-2)f x yx y axbyx yyLipschitzLf x yf x yL yy 函數(shù)在帶形區(qū)域 為連續(xù)函數(shù),且對(duì)任意的 滿足李普希茲條件,即存在常數(shù) ,使得由常微分方程理論知,初值問(wèn)題的解必存在且唯一。012(7-1)(7-2)naxbaxxxxb:在初值問(wèn)題解的區(qū)間上插入一系列節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)上用離散化方法將連續(xù)型微分方程轉(zhuǎn)化成離散型代數(shù)方程即數(shù)值解差分方法的程基本思想來(lái)求解。0,1,2,iy i :尋求唯一存在的解在離散節(jié)點(diǎn)數(shù)值方法的任務(wù)上的近似值 ()。01112()()ny xy xyyyy:利用求出的近似
3、值 ,再由求出 , ,直到求出 為止。該具體作法步進(jìn)式遞推算法稱為或式算法。微分方程離散化常用方法微分方程離散化常用方法11: ( , )(0,)11, nnnnxxxxdydxf x y dxndx用數(shù)值積分方法離散(數(shù)值積分化)1111,(), (),( , )(,) (,)(0,1,)nnnnnnxnnxnnnnyyy xy xf x y dxhf xyyyhf xyn用代替對(duì)右端積分采用取左端點(diǎn)的 則有矩形公式1(,)1()2()(, ()nnnnnnxynny xy xdyf xy xdxxx( )數(shù)值微分11111 ,(), () (,)(,)0, 1, 2,nnnnnnnnnnn
4、nnnhxxyy xyy xyyf xyhyyhf xyn用代替,則: 22 ()3 ()()()2 ()(, ()() ) (2nnnnnnnnnhy xhy xhxy xTayy xy xhy xhf xy xyrxlo( ) 在 附近的展開:1 () ()()0,1,2, nnnnnnnhyy xy xyyhf x y xnTaylor取的線性部分,且得的近似值: 展開法不僅可得到求數(shù)值解的公式,且容易估計(jì)截?cái)嗾`差。7.2 尤拉方法尤拉方法1. Euler 公式1111( )( , ( )()()( , ( )(73)nnnnnnxxxxxnnxy t dtf t y t dty xy
5、xf t y t dt對(duì)右端積分采用取左端點(diǎn)矩形公式的,則有:00 ( , )(7 1)()(72)yf x yaxby xy 初值問(wèn)題:12( , ( )(, ()()2nnxnnnxhf t y t dth f xy xy21()2ihhRy當(dāng) 充分小,舍去誤差項(xiàng),則:1(0,1,),nnnnxx1()()(, ()nnnny xy xh f xy x11,(), (),7-17-2nnnnyyy xy x用代替得出初值問(wèn)題()()的離散化形式:001() ( (,() (0 1 274)nnnnyy xyyh f xyn, , ,000000(,)0000 (,) ( )(,)(,) (
6、,) xyxy yy xdyf xydxf xyxy由出發(fā)取曲線的切線(存在),則斜率由于及已知,(1) 幾何必有切意義線方程。00000000(,) ()() (,)xydyyyxxyxxf xydx由點(diǎn)斜式寫出切線方程:01hxxhy等步長(zhǎng)為 ,則,可由切線算出1000(,)yyhf xy11 (,) 0 1 2 nnnnnyy xxyyhf xyn逐步計(jì)算出( ) 在點(diǎn)的值:,11()()( , ( )(73)nnxnnxy xy xf t y t dt(2)梯形公式11111(),()( (,)(,)2nnnnnnnnnnyy xyy xhyyf xyf xy積分用梯形公式,且令:則得
7、:31111()( )12nnnnnhRy xyyxx (0)1(1)( )111Euler012(,) (75) ( (,)(,) 0 1 22nnnnkknnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xyk, , ,與法結(jié)合,形成迭代算法,對(duì), , ,隱式方法1ny2. Euler方法的截?cái)嗾`差(1) 一步局部截?cái)嗾`差在中產(chǎn)生的誤差而非累積誤差:1() Taylor nny xx將在 點(diǎn)展開:111()nnnRy xy1()nnxx21()()()(, ()( )2nnnnnhy xy xhy xhf xy xy1(,)nnnnyyhf xy22111()( )()2nnnhRy xyyO
8、 h11()pnRO h:數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差為:定義pp稱該方法具有或。顯然,尤拉階精度階方法一階精度公式具有,梯形公式具有二階精度。3. 改進(jìn)的尤拉方法梯形公式雖然提高了精度,但算法復(fù)雜。而在實(shí)際計(jì)算中只迭代一次,這樣建立的預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)稱作改進(jìn)的尤拉公式。1111 (,) (,)(,)2nnnnnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xy預(yù)測(cè)校正1 (,)(,(,)2nnnnnnnnhyyf xyf xh yhf xy也可表示為11(,)(,)(78)()/2pnnncnnpnpcyyhf xyyyhf xyyyy或者表示為下列平均化形式1112(01)(0)10.12 ()2()2
9、 ()1()2nnnnnnpnnnncnppnpcxyyxyyhxyyh yyxyyh yyxyyh yyyyy :用尤拉公式和改進(jìn)的尤拉公式解初值問(wèn)題解:取步長(zhǎng),尤拉公式為:改進(jìn)的尤拉公式為:例17.3 龍格龍格-庫(kù)塔(庫(kù)塔(R-K)法)法 考察改進(jìn)的尤拉法,可以將其改寫為:考察改進(jìn)的尤拉法,可以將其改寫為:),(),(2121121211hKyhxfKyxfKKKhyyiiiiii 尤拉法尤拉法iiiiyxfkhkyy,111局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差O(hO(h2 2) )局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差O(hO(h3 3) )增加計(jì)算增加計(jì)算f(x,y)f(x,y)在不同點(diǎn)的在不同點(diǎn)的 值,能否
10、提高局部截?cái)嗾`差的階?值,能否提高局部截?cái)嗾`差的階?所以)使得(有微分中值定理,存在)(,()()()(1 , 01hxyhxfhxyhxyxyiiiii)( 9-7)(,()()(1hxyhxhfxyxyiiii 不同的計(jì)算公式??梢缘玫讲捎貌煌品椒ǎ鸵虼?,平均斜率是一般無(wú)法求得)式是精確表達(dá)式,但(中值定理知上的平均斜率,有微分在可以看作這里kkhxyxxxhxyhxfhxyiiiiii_1_,)(9-7,y)(,()(啟示如果在區(qū)間內(nèi)多取幾個(gè)點(diǎn)的斜率值,然后把它們的線性組合作為平均斜率的近似值,則有可能構(gòu)造出更高精度的計(jì)算公式,這就是龍格-庫(kù)塔法的基本思想二階龍格-庫(kù)塔公式)(22
11、111kkhyyii),(1iiyxfk ),(12phkyphxfkii(7-10)選取適當(dāng)?shù)?.32,1hop使其截?cái)嗾`差為,121),(,yyxfkkkii做泰勒展開假定對(duì))得代入(10-7)()()()(),(),(),(),(),(2 21112hxphyxyhyxfphkyxphfyxfphkyphxfphkyxfkiiiiyiixiiiiipi )()()()()(3 22211hxyphxyhxyyiiii 之間與介于!的二階泰勒展開式為在又iiiiiiiixxxxyxxxyxxxyxyxyxxy3 2 )(3)()(2)()()()(選取過(guò)程,有!時(shí),當(dāng))()(3)(33 1
12、hxxyxxii成立二階精度只要下列條件使公式具有)的系數(shù)即可發(fā)現(xiàn),要)和(比較()(!)()(2)()()(3 21hxyhxhyxyxyiiii將滿足條件(7-11)式到一簇公式(7-10)統(tǒng)稱為二階龍格-庫(kù)塔公式這里有這里有3個(gè)未知數(shù),個(gè)未知數(shù),2 個(gè)方程。個(gè)方程。存在存在無(wú)窮多個(gè)解無(wú)窮多個(gè)解121212p7-1121hkyyii),(1iiyxfk )2,2(12khyhxfkii中點(diǎn)公式變形尤拉公式庫(kù)塔公式二階龍格改進(jìn)尤拉公式庫(kù)塔公式時(shí),二階龍格-, 1, 0,21-21, 12121pp11 12233121312,iiiiiiiiyyhkkkkf x ykf xph yphkkf
13、 xqh yqh rksk同理可得三階龍格-庫(kù)塔公式112312131246,22,2iiiiiiiihyykkkkf x yhhkfxykkf xh yhkhk局部截?cái)嗾`差o(h4)標(biāo)準(zhǔn)四階龍格-庫(kù)塔公式112341213243226,22,22,iiiiiiiiiihyykkkkkfxyhhkfxykhhkfxykkfxh yhk局部截?cái)嗾`差o(h5) -20101xyxyyyxx用四階龍格 庫(kù)塔公式求解初值問(wèn)題從到(取h=0.2)各節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值解100200130024003,1,0.91818222,0.90863722,0.843239kfxyhhkfxykhhkfxykkfxh y
14、hk得2,0.2xf x yyhy由000,1xy101234221.1832296hyykkkk所以例題2111211131124113,22,22,ykfxyhhkfxykhhkfxykkfxhyh k在 計(jì) 算211234221.3416676hyykkkk所以基點(diǎn)改進(jìn)尤拉法龍格-庫(kù)塔法精確解01110.21.1840961.1832291.1832160.41.3433601.3416671.341641這樣繼續(xù)下去,計(jì)算結(jié)果列于表步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇單從第一步看,步長(zhǎng)h越小,局部截?cái)嗾`差就越??; 但隨著h的縮小,不但引起計(jì)算量的增加, 而且也引起舍入誤差的嚴(yán)重積累。所以選取合適的步長(zhǎng)h在實(shí)
15、際計(jì)算中是很重要的。 兩種情況處理適,分以下來(lái)判斷選取步長(zhǎng)是否合記得近似值計(jì)算兩步到,從然后折半取步長(zhǎng),求出近似值記為出發(fā),步長(zhǎng)以四階為例,從節(jié)點(diǎn))(12/1111,2/,hihihiiihiiyyyxxhyhx前的老值作為結(jié)果為止,這時(shí)取步長(zhǎng)加倍,直到長(zhǎng)加倍反復(fù)將步長(zhǎng)加倍,將步)如果(作為結(jié)果。的新值為止,取步長(zhǎng)折半后折半計(jì)算,直到反復(fù)將步長(zhǎng),如果)對(duì)于給定的精度(,2,012/1hiyihxxi0對(duì)于任意固定的), 2 , 1(i0h當(dāng))(iiy如果數(shù)值解0)(iixyy0)0(yyyy初值問(wèn)題尤拉法的收斂性), 0(且為常數(shù)相應(yīng)的尤拉公式為精確解為xeyxy0)(iiyhy)1 (1ii
16、hyy)1(0逐步遞推得,由于這里00 x,于是有ihxiihhihyy10)1(7.4收斂性與穩(wěn)定性時(shí)當(dāng)0h,ehh1)1 (iy所以尤拉公式的解0h當(dāng))(16-7ixy)式的精確解收斂到(控制。穩(wěn)定的,這是擾動(dòng)得以則稱該數(shù)值方法是絕對(duì)若及數(shù)值方法本身,僅依賴于擾動(dòng))(值解的擾動(dòng)步有擾動(dòng),此后各步數(shù)即第假設(shè)步數(shù)值解得擾動(dòng)。稱為第差值值為而實(shí)際計(jì)算得到的近似)的數(shù)值解()處給出初值問(wèn)題(某一數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn),.2, 1,.2, 1,0,2-71-7yiikiikiiyiiyxikikiiiiiy穩(wěn)定性滿足下述方程,于是擾動(dòng)其中尤拉公式尤拉法的穩(wěn)定性分析iiiiiihySyxhfyy)(),(1稱上式為擾動(dòng)方程,)(18-7)(1iiS時(shí),有當(dāng)1)(Sii1ik由此歸納可得, 2, 1 iik區(qū)域定區(qū)域稱為尤拉公式的絕對(duì)穩(wěn)1)(Sh可見,適當(dāng)選擇的步長(zhǎng)值方法絕對(duì)穩(wěn)定成立,從而就可保證數(shù)可使1)(S/78. 20-,0/20hhh庫(kù)塔方法對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)四階龍格無(wú)條件穩(wěn)定的此時(shí)稱梯形法是對(duì)于梯形公式對(duì)于尤拉公式例題應(yīng)滿足長(zhǎng)按絕對(duì)穩(wěn)定性要求,步這里解有何限制?考慮,對(duì)步長(zhǎng)穩(wěn)定性庫(kù)塔方法求解,從絕對(duì)用標(biāo)準(zhǔn)四階龍格對(duì)于初值問(wèn)題hyyy20-h-1t01)0(20算法不穩(wěn)定。則超出了上述范圍,固的,而取是滿足絕對(duì)穩(wěn)定性要求所以選取
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